Zufall - Prof. Dr. Horst Völz

Betrifft Geschwindigkeiten der Gasmoleküle
Die vorhandene thermische Energie sei:
Die mittlere Geschwindigkeit ergibt sich dann zu
Ihr Maximum liegt bei etwa
Für Zimmertemperatur gilt etwa
f ( v)
=
Maxwell-Verteilung
2
= ⋅
π
m ⋅ v
W =
2
2 ⎛ m ⎞
⋅⎜
⎟
π ⎝ k ⋅T
⎠
v th
−
k⋅T
( k ⋅T
) 3 / 2
⋅ W ⋅e
=
v
=
2
3 / 2
2
⋅v
⋅e
3⋅
k ⋅
2
2 T
Gas H 2 N 2 Cl 2 Luft
v in m/s 1900 500 330 550
χ 2 -Verteilung
geht auf Astronomen Helmert zurück. Ihre Dichtefunktion lautet:
Die Testgröße ist
f
x
x)
=
2
( n / 2)
(
n / 2
2
χ
=
∑
2
− m⋅v
/ 2⋅k⋅T
W
−1
− x / 2
⋅e
⋅Γ(
n / 2)
( h − k )
i=
1 i
• Darin sind h i die Häufigkeiten und den gemessenen Klassen und k i die theoretischen Häufigkeiten der Klassen.
• Auf diese Art und Weise können zwei Verteilungen bzgl. ihrer statischen Gleichheit verglichen werden.
k
i
k
Student-Verteilung
stammt von WILLIAM S. GOSSET (Pseudonym Student) 1907. Ihre Dichte-Funktion lautet:
⎛ n + 1⎞
Γ⎜
⎟
2
−(
n+
1)/ 2
2 1 ⎞
( )
⎝ ⎠ ⎛ + x
f x =
⋅
( / 2)
⎜
⎟
Γ n ⋅ n ⋅ x ⎝ n ⎠
wobei die Gammafunktion (von Euler)
Für positive ganzzahlige x gilt speziell
Γ
+∞
−t
x−1
( x)
= ∫ e ⋅t
⋅dt
0
Γ(x) = (x-1)!
Anwendung des Tests ein Beispiel
• Ergebnis: 49 Proben eines Werkstoffes enthalten 2,4 % Si mit s = 0,4.
• Frage: Ist die Abweichung gegenüber dem Sollwert 3 % zufallsbedingt?
• Ergebnis: t=6,6 (statt >48) für eine Irrtumswahrscheinlichkeit 5 %
Also liegt eine systematische Abweichung vor.
Objektivität
Reliabilität
Validität
Signifikanz
Relevanz
Forderungen an die Statistik-Aussagen
unabhängig vom Standpunkt (Wünschen) des Erstellers und Auftraggebers (von Zeit und Ort)
Verlässlichkeit, Genauigkeit (bei geringem zeitlichem Abstand etwa gleiches Ergebnis)
Überkontextuell gültig (in Bezug auf Hypothese)
Bedeutend, aussagekräftig, wesentliche Aussagen
Wichtig, dem Anliegen angemessen
Kommentare zur Statistik
Von SIR WINSTON LEONARD SPENCER CHURCHILL (1874 – 1965) stammen:
Die Statistik ähnelt einem Bikini: Sie zeigt fast alles, verhüllt das Wesentliche
Ich glaube nur eine Statistik, die selbst gefälscht habe
i
2
Zufall.doc H. Völz angelegt am 03.03.08, aktuell 28.12.2009 Seite 17 von 41