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2.1. VERTEILUNGEN 17
Tab. 2.3: Rechenbeispiel für eine Anzahlverteilung
Index Klasse Breite Anzahl Summe rel. H’keit V’dichte V’summe
i x ∆x n N h q Q
- mm mm - - - 1/mm -
0 >0-2 2 0 0 0 0 0
1 >2-4 2 4 4 4/36 2/36 4/36
2 >4-6 2 8 12 8/36 4/36 12/36
3 >6-7 1 6 18 6/36 6/36 18/36
4 >7-8 1 6 24 6/36 6/36 24/36
5 >8-10 2 8 32 8/36 4/36 32/36
6 >10-12 2 4 36 4/36 2/36 1
7 >12-14 2 0 36 0 0 1
8 >14 0 36 0 0 1
i ist die Klassennummer, brauchen wir als Index in Formeln. x ist der
Teilchendurchmesser, hat also die Dimension einer Länge. Die obere Klassengrenze
gehört noch zur Klasse. Die Klassen könnten auch durch einen mittleren
Durchmesser gekennzeichnet werden, von dem wir leider nicht mehr wissen,
als dass er zwischen den Klassengrenzen liegt. Die Klassenbreite ∆x ist
nicht unbedingt konstant. Klassengrenzen und -breite haben hier die Dimension
einer Länge, allgemein die des Dispersitätsmerkmals. n ist die Anzahl
der Teilchen in der Klasse (absolute Häufigkeit oder Besetzungszahl), könnte
aber auch ein anderes Mengenmaß sein wie die Masse. N ist die aufsummierte
(kumulative) Anzahl aller Teilchen, deren Durchmesser kleiner oder gleich
der jeweiligen oberen Klassengrenze sind. h ist die Anzahl in der Klasse, bezogen
auf die Gesamtzahl N max (relative Häufigkeit). Da wir ekelhafterweise
die Klassenbreite nicht konstant gewählt haben, sagt dieser Wert nicht viel.
Dividieren wir die relative Häufigkeit h durch die jeweilige Klassenbreite, so
erhalten wir die Verteilungsdichte q. Schließlich beziehen wir die kumulative
Anzahl N auf die Gesamtzahl N max und erhalten die kumulative relative
Anzahl, die als Verteilungssumme Q bezeichnet wird. Die ganze Rechnerei
dient dazu, von dem zufälligen Probenumfang und der willkürlichen Klasseneinteilung
loszukommen. Verteilungsdichte und Verteilungssume sind zwei
Darstellungsweisen einer Verteilung. Beide können als Tabelle, als Kurve in
einem Diagramm oder in seltenen Fällen auch als Funktionsgleichung vorliegen.
Verteilungsdichte und -summe sind verschiedene Darstellungen derselben
Information. Eine Bevorzugung der einen oder anderen Darstellung ist mehr
durch die Gewohnheit als die Mathematik begründet. Die Unterschiede der
beiden Darstellungen sind:
• Die Verteilungssumme setzt keine Klassenbildung voraus,