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2.1. VERTEILUNGEN 21
1 ist. Bei der unteren Integrationsgrenze ist in manchen Zusammenhängen
Vorsicht geboten: ein x min ist immer richtig, eine 0 kann Probleme bereiten.
Dummerweise ist x min nur selten bekannt.
Man vergesse nicht, dass der Grenzübergang eine Gedankenkonstruktion
ist, in der Wirklichkeit haben wir es immer mit endlichen Klassenbreiten,
endlichen Mengen und alltäglichen Summen, Differenzen oder Brüchen zu
tun. Im Zweifelsfall bleibe man bei den Differenzen und Summen.
Tab. 2.4: Rechenbeispiel für eine Massenverteilung
Index Klasse Breite Masse Summe rel. Masse V’dichte V’summe
i x ∆x m M h q Q
- mm mm mg mg - 1/mm -
0 >0-2 2 0 0 0 0 0
1 >2-4 2 153 153 0,007 0,003 0,007
2 >4-6 2 1420 1573 0,061 0,030 0,066
3 >6-7 1 2376 3949 0,102 0,102 0,156
4 >7-8 1 3594 7543 0,154 0,154 0,323
5 >8-10 2 8281 15824 0,354 0,177 0,677
6 >10-12 2 7560 23384 0,323 0,162 1
7 >12-14 2 0 23384 0 0 1
8 >14 0 23384 0 0 1
Wir könnten unsere Teilchen auch wägen, anstatt sie zu zählen. Dann
erhielten wir eine Massenverteilung anstelle obiger Anzahlverteilung. Unter
der Vorraussetzung konstanter Form und Dichte lassen sich beide Verteilungen
ineinander umrechnen. Mit Kugelform und der beliebten Dichte
2,71 g/cm 3 (Kalkstein) liefert unsere Messung die Tabelle 2.4 auf Seite 21 (gerechnet,
nicht gemessen).
Anzahl- und Massenverteilungssummen sind in Abb. 2.4 auf Seite 22
dargestellt. Die Massenverteilungssumme Q 3 (x) ist zum Groben verschoben.
Ebenso hat sich das Maximum der Verteilungsdichte zum Groben verschoben,
wie man aus Abb. 2.5 auf Seite 22 sieht. Ein einzelner dicker Brocken trägt
zur Anzahl wenig bei, zur Masse aber viel. Sofern das Mengenmaß die Potenz
einer Länge ist (Anzahl = Länge 0 , Volumen = Länge 3 ), schreibt man den
Exponenten als Index an die Verteilungen q und Q, also q 0 (x) für die Anzahl-
Verteilungsdichte und q 3 (x) für die Volumen-Verteilungsdichte.
Bei konstanter Dichte sind Volumen- und Massenverteilung identisch.
Mithilfe der Exponenten oder Indizes lassen sich dann Umrechnungen durchführen
(Momente), die jedoch im Zeitalter der Computer nur noch begrenzt
interessieren. Die Momente sind schlichtweg Summen oder Integrale, die bei
diesen Umrechnungen vorkommen.
Die Umrechnungen sind zwar mathematisch einwandfrei, aber praktisch
bedenklich. Unsere Meßwerte haben Fehler, jede Zahl ist eigentlich ein Intervall.
Das müßte in die Umrechnungen einbezogen werden. Die Konsequenz
lautet, möglichst die Mengeninhalte in der Größe zu messen, die von der Aufgabe
verlangt wird, und wenig umzurechnen.