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2.2. MOMENTENSCHREIBWEISE 23
Der x 50 -Wert einer Verteilung ist derjenige Wert des Merkmals, bei dem
die Verteilungssumme den Wert 0, 5 annimmt:
Q(x 50 ) = 0, 5 (2.11)
Bei großen Probenumfängen fällt der x 50 -Wert mit dem Medianwert zusammen,
bei kleinen liegt er in der Nähe.
Der Modalwert ist derjenige Wert des Merkmals, bei dem die Verteilungsdichte
ein Maximum annimmt, der häufigste Wert mit anderen Worten. Bimodale
Verteilungen – beispielsweise Mischungen – haben zwei Maxima und
entsprechend zwei Modalwerte. Das Minimum zwischen den beiden Maxima
äußert sich in der Verteilungssumme als Stufe.
Der Begriff Zentralwert wird synonym zu Medianwert, vereinzelt aber
auch als Oberbegriff zu Medianwert, Modalwert und Mittelwert gebraucht,
da alle drei Werte im Zentrum der Verteilung liegen. Im allgemeinen Fall
sind Medianwert, Modalwert und arithmetischer Mittelwert verschieden.
2.2 Momentenschreibweise
Wir haben bereits kurz erwähnt, dass einige in der Statistik vorkommende
Summen oder Integrale als Momente bezeichnet werden, mit denen sich Formeln
kürzer schreiben lassen. Neue Erkenntnisse gehen mit den Momenten
nicht einher. Ein statistisches Moment ist wie folgt definiert:
oder als Integral:
M k,r =
M k,r =
i max ∑
0
x∫
max
x min
x k i q r (x i ) ∆x i (2.12)
x k q r (x) dx (2.13)
Umfassen die Summations- oder Integrationsgrenzen den ganzen vorkommenden
Teilchengrößenbereich, spricht man von vollständigen Momenten,
umfassen sie nur einen Ausschnitt daraus, so hat man unvollständige Momente
und muss die Grenzen zusätzlich zu k und r angeben:
M k,r (x 1 , x 2 ) =
∫x 2
x 1
x k q r (x) dx (2.14)
2.3 Mittelwerte und Streuungsmaße
Gelegentlich möchte man eine Verteilung durch wenige Zahlenwerte kennzeichnen,
sei es für Vergleiche oder für weitere Rechnungen. Hierfür gibt es
zwei Wege. Erstens lassen sich unter Verlust von Information Kennzahlen
berechnen, die möglichst für das Ziel unserer Untersuchungen eine Bedeutung
haben, das heißt aussagekräftig sind. Am gebräuchlichsten sind Mittelwerte,
aber auch Median- oder Modalwert sind in Grenzen brauchbar. Darf