Aufgabe 10: (6 Punkte) Bitte kreuzen Sie die richtige Lösung an. Es ...

Aufgabe 10:
(6 Punkte)
Bitte kreuzen Sie die richtige Lösung an. Es ist jeweils genau eine Antwort korrekt. Für jede
richtige Antwort erhalten Sie einen Punkt, für jede falsche Antwort wird Ihnen ein Punkt
abgezogen. Wird keine Antwort gegeben, erhalten Sie Null Punkte. In dieser Aufgabe
kann insgesamt keine negative Punktzahl erreicht werden.
a) Die relative Konditionszahl der Funktion f(x, y) = x 3 y 3 ist
(a) 3,
(b) 6,
(c) x2 +y 2
x 3 y 3 ,
(d) 3x 2 y 3 .
Lösung: (a) □ (b) □ (c) □ (d) □
b) Ein Algorithmus heißt stabil, wenn
(a) die im Laufe der Rechnung erzeugten Fehler in der Größenordnung des durch
die Kondition des Problems bedingten unvermeidbaren Fehlers bleiben.
(b) die mit Hilfe der Taylor–Entwicklung berechnete Konditionszahl größer Null ist.
(c) die Störungen in den Eingangsdaten in der Größenordnung der Maschinengenauigkeit
liegen.
(d) das zu Grunde liegende Problem gut konditioniert ist.
Lösung: (a) □ (b) □ (c) □ (d) □
c) Die Cholesky–Zerlegung einer Matrix A
(a) wird zur einfachen und schnellen Berechnung der Eigenwerte von A benutzt.
(b) wird zur schnellen Lösung von linearen Gleichungssystem verwendet, falls A
orthogonal ist.
(c) erfordert für eine symmetrisch positiv definite Matrix A nur rund die Hälfte des
Rechenaufwandes der LR–Zerlegung von A.
(d) läßt sich effizient mittels Givens–Rotationen berechnen.
Lösung: (a) □ (b) □ (c) □ (d) □

d) Das Newton–Verfahren konvergiert lokal quadratisch. Weshalb benutzt man es dann
nicht zur Lösung eines linearen Gleichungssystems Ax − b = 0?
(a) Weil die Newton–Iteration einen geeigneten Startwert benötigt, den man bei
linearen Gleichungssystemen nur schwer ermitteln kann.
(b) Im ersten Newton–Schritt muß ein lineares Gleichungssystem gelöst werden,
das in diesem speziellen Beispiel Ax = b lautet. Man muss also wieder das
ursprüngliche Gleichungssystem lösen. Somit liefert das Newton–Verfahren hier
keinen Vorteil.
(c) Weil das Newton–Verfahren nur für skalare Gleichungen der Form f(x) = 0 mit
f : R → R funktioniert.
(d) Im Newton–Verfahren muss die erste Ableitung von F (x) := Ax − b berechnet
werden. In diesem Beispiel ist F ′ (x) = 0. Daher kann das Newton–Verfahren
nicht angewandt werden, weil man durch F ′ (x) dividieren muss.
Lösung: (a) □ (b) □ (c) □ (d) □
e) Welche Aussage zum Banachschen Fixpunktsatz ist korrekt?
(a) Sind die Voraussetzungen des Fixpunktsatzes erfüllt, dann ist die a-posteriori
Fehlerabschätzung mindestens ebenso genau wie die a-priori Fehlerabschätzung.
(b) Wenn die Selbstabbildung der Funktion F in der abgeschlossenen Menge D
nicht gezeigt werden kann, kann man sicher sein, dass F keinen Fixpunkt in D
besitzt.
(c) Sind die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt, so konvergiert
die Fixpunktiteration lokal mindestens quadratisch.
(d) Keine der Aussagen (a)–(c) ist korrekt.
Lösung: (a) □ (b) □ (c) □ (d) □
f) Die Anfangswertaufgabe y ′ (t) = y 3 (t) + t 3 , y(1) = 2 soll mit dem expliziten Euler–
Verfahren (Schrittweite h) gelöst werden.
(a) Die zugehörige Iterationsvorschrift lautet y k+1 = y k + h(y 3 k + t3 k ) mit y 0 = 1 und
t k = 2 + kh.
(b) Die zugehörige Iterationsvorschrift lautet y k+1 = y k + h(y 3 k+1 + t3 k+1 ) mit y 0 = 2
und t k = 1 + kh.
(c) Weil die rechte Seite der Differentialgleichung nichtlinear ist, kann man das
explizite Euler–Verfahren nicht anwenden. Man muss ein implizites Verfahren
benutzen.
(d) Keine der Aussagen (a)–(c) ist korrekt.
Lösung: (a) □ (b) □ (c) □ (d) □

Aufgabe 11:
Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem Ax = b mit
⎛ ⎞
⎛
1
7
2
0
7
A = ⎝0 1 0⎠ und b = ⎝
9
0 0 1 6
3
7
1
9
1
6
⎞
⎠ .
(1+1+4 Punkte)
a) Berechnen Sie die exakte Lösung von Ax = b.
b) Runden Sie die Einträge in der Matrix A und der rechte Seite b auf drei Dezimalstellen.
Sie erhalten dann ein gestörtes Gleichungssystem Øx = ˜b. Geben Sie à und ˜b
explizit an.
möglichst gut ab ohne ˜x explizit zu berech-
c) Schätzen Sie den relativen Fehler ||˜x−x|| ∞
||x|| ∞
nen.

Aufgabe 12:
(6+2 Punkte)
Die Parabel y(x) = x 2 soll im Intervall [−1, 1] durch eine trigonometrische Funktion
f(x) = a cos(πx) + b sin(πx) + c
so approximiert werden, dass die Summe der Fehlerquadrate zu den vier Stützstellen
−1, −0.5, 0.5 und 1 minimal ist.
a) Berechnen Sie a, b und c.
b) Wie groß ist das Residuum in der 2–Norm?

Aufgabe 13:
Gegeben sei das Anfangswertproblem
(2+6 Punkte)
y ′′ (t) + y 2 (t) + t = 0, y(0) = 1, y ′ (0) = 0.
a) Transformieren Sie die Differentialgleichung in ein System erster Ordnung, und bestimmen
Sie die zugehörigen Anfangswerte.
b) Berechnen Sie mit Hilfe des expliziten Euler–Verfahrens (Schrittweite h = 0.4) einen
Näherungswert für y(1.2).