Aufgabe 10: (6 Punkte) Bitte kreuzen Sie die richtige Lösung an. Es ...

d) Das Newton–Verfahren konvergiert lokal quadratisch. Weshalb benutzt man es dann
nicht zur Lösung eines linearen Gleichungssystems Ax − b = 0?
(a) Weil die Newton–Iteration einen geeigneten Startwert benötigt, den man bei
linearen Gleichungssystemen nur schwer ermitteln kann.
(b) Im ersten Newton–Schritt muß ein lineares Gleichungssystem gelöst werden,
das in diesem speziellen Beispiel Ax = b lautet. Man muss also wieder das
ursprüngliche Gleichungssystem lösen. Somit liefert das Newton–Verfahren hier
keinen Vorteil.
(c) Weil das Newton–Verfahren nur für skalare Gleichungen der Form f(x) = 0 mit
f : R → R funktioniert.
(d) Im Newton–Verfahren muss die erste Ableitung von F (x) := Ax − b berechnet
werden. In diesem Beispiel ist F ′ (x) = 0. Daher kann das Newton–Verfahren
nicht angewandt werden, weil man durch F ′ (x) dividieren muss.
Lösung: (a) □ (b) □ (c) □ (d) □
e) Welche Aussage zum Banachschen Fixpunktsatz ist korrekt?
(a) Sind die Voraussetzungen des Fixpunktsatzes erfüllt, dann ist die a-posteriori
Fehlerabschätzung mindestens ebenso genau wie die a-priori Fehlerabschätzung.
(b) Wenn die Selbstabbildung der Funktion F in der abgeschlossenen Menge D
nicht gezeigt werden kann, kann man sicher sein, dass F keinen Fixpunkt in D
besitzt.
(c) Sind die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt, so konvergiert
die Fixpunktiteration lokal mindestens quadratisch.
(d) Keine der Aussagen (a)–(c) ist korrekt.
Lösung: (a) □ (b) □ (c) □ (d) □
f) Die Anfangswertaufgabe y ′ (t) = y 3 (t) + t 3 , y(1) = 2 soll mit dem expliziten Euler–
Verfahren (Schrittweite h) gelöst werden.
(a) Die zugehörige Iterationsvorschrift lautet y k+1 = y k + h(y 3 k + t3 k ) mit y 0 = 1 und
t k = 2 + kh.
(b) Die zugehörige Iterationsvorschrift lautet y k+1 = y k + h(y 3 k+1 + t3 k+1 ) mit y 0 = 2
und t k = 1 + kh.
(c) Weil die rechte Seite der Differentialgleichung nichtlinear ist, kann man das
explizite Euler–Verfahren nicht anwenden. Man muss ein implizites Verfahren
benutzen.
(d) Keine der Aussagen (a)–(c) ist korrekt.
Lösung: (a) □ (b) □ (c) □ (d) □