Aufgabe 10: (6 Punkte) Bitte kreuzen Sie die richtige LÃ¶sung an. Es ...

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d) Das Newton–Verfahren konvergiert lokal quadratisch. Weshalb benutzt man es dann nicht zur Lösung eines linearen Gleichungssystems Ax − b = 0? (a) Weil die Newton–Iteration einen geeigneten Startwert benötigt, den man bei linearen Gleichungssystemen nur schwer ermitteln kann. (b) Im ersten Newton–Schritt muß ein lineares Gleichungssystem gelöst werden, das in diesem speziellen Beispiel Ax = b lautet. Man muss also wieder das ursprüngliche Gleichungssystem lösen. Somit liefert das Newton–Verfahren hier keinen Vorteil. (c) Weil das Newton–Verfahren nur für skalare Gleichungen der Form f(x) = 0 mit f : R → R funktioniert. (d) Im Newton–Verfahren muss die erste Ableitung von F (x) := Ax − b berechnet werden. In diesem Beispiel ist F ′ (x) = 0. Daher kann das Newton–Verfahren nicht angewandt werden, weil man durch F ′ (x) dividieren muss. Lösung: (a) □ (b) □ (c) □ (d) □ e) Welche Aussage zum Banachschen Fixpunktsatz ist korrekt? (a) Sind die Voraussetzungen des Fixpunktsatzes erfüllt, dann ist die a-posteriori Fehlerabschätzung mindestens ebenso genau wie die a-priori Fehlerabschätzung. (b) Wenn die Selbstabbildung der Funktion F in der abgeschlossenen Menge D nicht gezeigt werden kann, kann man sicher sein, dass F keinen Fixpunkt in D besitzt. (c) Sind die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt, so konvergiert die Fixpunktiteration lokal mindestens quadratisch. (d) Keine der Aussagen (a)–(c) ist korrekt. Lösung: (a) □ (b) □ (c) □ (d) □ f) Die Anfangswertaufgabe y ′ (t) = y 3 (t) + t 3 , y(1) = 2 soll mit dem expliziten Euler– Verfahren (Schrittweite h) gelöst werden. (a) Die zugehörige Iterationsvorschrift lautet y k+1 = y k + h(y 3 k + t3 k ) mit y 0 = 1 und t k = 2 + kh. (b) Die zugehörige Iterationsvorschrift lautet y k+1 = y k + h(y 3 k+1 + t3 k+1 ) mit y 0 = 2 und t k = 1 + kh. (c) Weil die rechte Seite der Differentialgleichung nichtlinear ist, kann man das explizite Euler–Verfahren nicht anwenden. Man muss ein implizites Verfahren benutzen. (d) Keine der Aussagen (a)–(c) ist korrekt. Lösung: (a) □ (b) □ (c) □ (d) □
Aufgabe 11: Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem Ax = b mit ⎛ ⎞ ⎛ 1 7 2 0 7 A = ⎝0 1 0⎠ und b = ⎝ 9 0 0 1 6 3 7 1 9 1 6 ⎞ ⎠ . (1+1+4 Punkte) a) Berechnen Sie die exakte Lösung von Ax = b. b) Runden Sie die Einträge in der Matrix A und der rechte Seite b auf drei Dezimalstellen. Sie erhalten dann ein gestörtes Gleichungssystem Ã˜x = ˜b. Geben Sie Ã und ˜b explizit an. möglichst gut ab ohne ˜x explizit zu berech- c) Schätzen Sie den relativen Fehler ||˜x−x|| ∞ ||x|| ∞ nen.
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Aufgabe 10: (6 Punkte) Bitte kreuzen Sie die richtige LÃ¶sung an. Es ...

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