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Technische Universität München
Ingenieurfakultät Bau Geo Umwelt
Lehrstuhl für Astronomische und Physikalische Geodäsie
Univ.-Prof. Dr. techn. Mag. rer. nat. Roland Pail
Konzept einer zukünftigen Schwerefeldmission:
GNSS-LEO-Tracking
Elisabeth Reußner
Bachelor's Thesis
Bearbeitung: 15. 04. 2013 - 22. 07. 2013
Studiengang:
Betreuer:
Geodäsie und Geoinformation (Bachelor)
Univ.-Prof. Dr. techn. Mag. rer. nat. Roland Pail
Dipl.-Ing. Michael Murböck
2013

Zusammenfassung
In der vorliegenden Arbeit wird ein Konzept einer möglichen zukünftigen Erdschwerefeldmission
untersucht, das auf der μm-genauen Distanzmessung zwischen Global Navigation Satellite System
(GNSS)-Satelliten (Global Positioning System (GPS) und Galileo) und „Low Earth Orbitern“ (LEOs)
beruht. Hierbei werden zunächst numerische Simulationen durchgeführt und analysiert, bei welchen
stets ein LEO geflogen wird und jeweils in der Anzahl der GNSS-Satelliten und deren Bahnen variiert
wird. Im Zuge dessen werden jeweils Satellitenkonstellationen betrachtet, die entweder nur GPSoder
nur Galileo-Satelliten enthalten. Außerdem werden Unterschiede in der
Beobachtungsgeometrie untersucht, die das Sichtspektrum des LEOs in Bezug auf die GNSS-
Satelliten betreffen. Die Ergebnisse der Simulationen zeigen, dass bei jeweils gleicher Anzahl der
GNSS-Satelliten, gleichem Sichtspektrum des LEOs und identischer Wahl der aufsteigenden
Bahnknoten sowie der mittleren Anomalie sich zum Teil markante Unterschiede zwischen
Konzepten mit GPS-Satelliten und denen mit Galileo-Satelliten erkennen lassen.
Darüber hinaus werden im Zuge numerischer Simulationen ausgewählte Varianten des GNSS-LEO-
Missionskonzepts, die zunächst nur für Beobachtungen des statischen Erdschwerefelds untersucht
und für weitere Untersuchungen als geeignet befunden wurden, auf das zeitvariable Schwerefeld
angewendet und deren Leistungsfähigkeit untersucht. Das verwendete zeitvariable Schwerefeld
enthält Einflüsse der Atmosphäre, der Ozeane, der Hydrologie, der Eismassen und der festen Erde.
Hierbei werden Untersuchungen in Bezug auf die Anzahl der geflogenen LEOs sowie Variationen
im Hinblick auf die Länge der Beobachtungszeit vorgenommen, um die zeitliche Auflösung der sich
ergebenden Beobachtungskonfiguration signifikant zu erhöhen. Die Ergebnisse dieser Simulationen
zeigen, dass bei jeweils gleicher Anzahl der LEOs, aber unterschiedlichen aufsteigenden Knoten
zum Startzeitpunkt der Simulationen unterschiedliche Ergebnisse auftreten.
Die Ergebnisse lassen darauf schließen, dass das GNSS-LEO-Missionskonzept eine
erfolgversprechende Alternative für eine zukünftige Satelliten-Schwerefeldmission darstellt.
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Abstract
In this thesis a concept of a future earth gravity field mission, that is based on inter-satellite distance
measurements with μm precision between GNSS satellites (GPS and Galileo) and „Low Earth
Orbiters“ (LEOs), is investigated. In this case at first numerical simulations are carried out and
analysed, for which one LEO is flown and the number of GNSS satellites and their orbits is varied
respectively. In the course of this case study, satellite constellations either containing only GPS or
only Galileo satellites are considered. Moreover differences of the constellation geometry regarding
the field of view of the LEO with respect to the GNSS satellites are investigated. The results of the
simulations show, that with the same number of satellites, the same field of view of the LEOs and
identical choice of the ascending node as well as the mean anomaly partly considerable differences
between the concepts with GPS satellites and those with Galileo satellites occur.
Furthermore, in the case of numerical simulations selected variants of the GNSS-LEO-mission
concept, which first have been only investigated for observations of the static earth gravity field and
have been qualified to be appropriate for further investigations, are applied to the time variable
gravity field, and their capability is investigated. The used time variable gravity field contains
influences of atmosphere, oceans, hydrology, ice masses and solid earth. In this case investigations
regarding the number of the flown LEOs as well as variations with respect to the length of the
observation time are undertaken for raising significantly the temporal resolution of the observation
configuration. The results of these simulations show that for the same number of LEOs, but different
ascending nodes at the simulation’s starting time different results appear.
The results indicate the GNSS-LEO-mission concept to be a promising alternative for a future
satellite gravity field mission.
3

Inhaltsverzeichnis
Zusammenfassung ……………….………………...…...………………………………………………... 2
Abstract ……………………..……..………………………………………………………………………... 3
Inhaltsverzeichnis …..…………..………………………..………………………………………………… 4
Abkürzungsverzeichnis …………………………………………………………………………………..... 5
1 Einführung ……………………………………………………………………………………………….... 6
2 Theoretische Grundlagen satellitengestützter Schwerefeldmessung ………………………….…… 8
2.1 Mathematische Grundlagen des Erdschwerefelds …………………………………………….…. 8
2.2 Bisherige satellitengestützte Schwerefeldmissionen ……………………………………..…….. 10
2.3 Geplante satellitengestützte Schwerefeldmissionen …………………………….……………… 13
2.4 Die GETRIS Mission ……………………………………………………………………………….. 15
3 Missionssimulator und Datengrundlagen …………………………………………………………..… 17
3.1 Durchführung mit dem Missionssimulator ……………………………………………………...... 17
3.2 Verwendete Erdschwerefeldmodelle …………………………………………………………...… 19
3.3 Verwendete Satellitenbahnen ……………………………………………………………………... 21
4 Die Methode des GNSS-LEO-Trackings ……………………………………………………………… 23
5 Übersicht der durchgeführten Simulationen ………………………………………………………….. 26
5.1 Simulationen im statischen Erdschwerefeld über 27 Tage ……………………………...……… 26
5.2 Simulationen im statischen und zeitvariablen Erdschwerefeld über 27 Tage ………...……… 29
5.3 Simulationen im statischen und zeitvariablen Erdschwerefeld über 5 Tage …………………. 30
6 Ergebnisse ………………………………………………………………………………………………. 31
6.1 Simulationen mit GPS Satelliten im statischen Erdschwerefeld …………………………….…. 31
6.2 Simulationen mit Galileo Satelliten im statischen Erdschwerefeld …………………………….. 38
6.3 Diskussion der Simulationen im statischen Erdschwerefeld ………………………………..….. 45
6.4 Simulationen im statischen und zeitvariablen Erdschwerefeld ………………………………… 48
6.5 Simulationen im statischen und zeitvariablen Erdschwerefeld für wenige Tage …………….. 57
7 Abschließende Betrachtungen ……………………………………………………………………...…. 65
7.1 Abschließende Diskussion der Ergebnisse ………………………………………………………. 65
7.2 Ausblick …………………………………………………………………………………………….... 67
Literaturverzeichnis …………………………………………………………………………………….…. 69
Eidesstattliche Erklärung ……………………………………………………………………………….… 71
4

Abkürzungsverzeichnis
CHAMP
e.motion
GEO
GETRIS
GGOS
GNSS
GOCE
GPS
GRACE
LEO
LOS
SGG
SST-hl
SST-ll
Challanging Minisatellite Payload
Earth System Mass Transport Mission
Geostationärer Satellit
Geodesy and Time Reference in Space
Global Geodetic Observing System
Global Navigation Satellite System
Gravity Field and Steady-State Ocean Circulation Explorer
Global Positioning System
Gravity Recovery And Climate Experiment
Low Earth Orbiter
Line of Sight
Satellite gravity gradiometry
High-low satellite-to-satellite tracking
Low-low satellite-to-satellite tracking
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1 Einführung
Die Methoden der Geodäsie bieten ein breites Spektrum globaler Erdbeobachtungssysteme, das
zur Sicherheit der Menschen und der Ressourcen der Erde beiträgt und somit den Bedürfnissen der
Gesellschaft dient. Dies gilt zum Beispiel in Bezug auf den Schutz vor Naturkatastrophen [Sahagian
et al., (2009)]. Eine gute und vor allem homogen über die Erde verteilte Kenntnis des globalen
Erdschwerefelds ist für viele wissenschaftliche Disziplinen, wie beispielsweise Glaziologie und
Hydrologie, von Bedeutung. Zum einen spiegelt es die inhomogene Massenverteilung im Erdinneren
wieder. Zum anderen dient das Geoid in vielen Anwendungen als Bezugs- oder Referenzfläche, wie
beispielsweise bei der Definition von Höhensystemen. Ein weiterer wichtiger Aspekt, der vor allem
auch das zeitvariable Schwerefeld betrifft, ist, dass die Messungen zeitlicher Veränderungen des
Erdschwerefelds Aussagen über Massentransportprozesse im System Erde zulassen. Dies kann
durch Satelliten-Schwerefeldmissionen erreicht werden. Nach dem Erfolg bisheriger Missionen, wie
GRACE („Gravity Recovery And Climate Experiment“) und GOCE („Gravity Field and Steady-State
Ocean Circulation Explorer“), werden nun neuartige Missionskonzepte entwickelt, um auch in
Zukunft die zeitlichen Veränderungen des Schwerefeldes der Erde und somit Massentransporte im
System Erde zu erkunden.
Neben vielen anderen stellt die GETRIS Mission („Geodesy and Time Reference in Space“) [Schlie,
2012] eine mögliche erfolgsversprechende zukünftige Satelliten-Schwerefeldmission dar. Während
das GRACE-Konzept auf der Distanzmessung zwischen zwei niedrig fliegenden Satelliten beruht,
basiert das Konzept der GETRIS Mission auf der Distanzmessung zwischen geostationären
Satelliten (GEOs) und niedrig fliegenden Satelliten (LEOs). In dieser Arbeit soll das GERTIS
Konzept dahingehend adaptiert werden, dass die GEOs durch GNSS Satelliten (GPS und Galileo)
ersetzt werden. Somit werden hier hochgenaue Distanzmessungen zwischen GNSS Satelliten und
LEOs numerisch simuliert und analysiert. Diese Distanzmessungen erfolgen durch ein Zwei-Wege-
Messsystem mit μm-Genauigkeit. Nachdem zuerst Simulationen nur im statischen Schwerefeld
durchgeführt werden, zielt die Untersuchung der Simulationsergebnisse im Weiteren darauf ab, die
Leistungsfähigkeit des GNSS-LEO-Missionskonzepts für die Messung zeitvariabler Signale des
Schwerefelds, die zum Beispiel durch den globalen Wasserkreislauf hervorgerufen werden, zu
untersuchen.
Für die Untersuchungen werden closed-loop Simulationen mit einem Repeat Orbit der LEOs von 27
Tagen mit einem Missionssimulator durchgeführt. Neben den Orbitbahnen werden in diesen
Missionssimulator ein statisches Erdschwerefeld und je nach Simulation auch ein zeitvariables
Erdschwerefeld eingelesen. Die Beobachtungsgröße im Simulator, der mit Methoden der
Ausgleichungsrechnung arbeitet, sind Beschleunigungsdifferenzen entlang der Line-of-Sight (LOS)
zwischen den LEOs und den GNSS Satelliten. In Bezug auf die Beobachtungsgenauigkeit wird ein
GRACE-ähnliches Fehlerniveau angenommen. Für die Analyse der Leistungsfähigkeit der jeweils
getesteten Konstellation sind vor allem die in der Simulation geschätzten Koeffizienten für die
Darstellung des Potentials der Erde als sphärisch harmonische Reihe von Interesse. Anhand der
Differenzen zwischen den Eingabewerten und den in der Simulation geschätzten Ergebnissen kann
darauf geschlossen werden, in welchem Maße sich die getestete Variante als zukünftige
Erdschwerefeldmission eignet.
6

Zur Darstellung der Untersuchungsergebnisse wurde folgender Aufbau der Arbeit gewählt:
Kapitel 2 beinhaltet den theoretischen Hintergrund dieser Arbeit. Neben den mathematischen
Grundlagen der Schwerefeldmessung werden hier bisher durchgeführte sowie einige mögliche
zukünftige Satelliten-Schwerefeldmissionen erläutert. Bei den mathematischen Grundlagen ist vor
allem die Darstellung des Schwerefelds durch Kugelflächenfunktionen von Interesse für diese Arbeit.
In Bezug auf mögliche zukünftige Satelliten-Schwerefeldmissionen liegt hier ein besonderes
Augenmerk auf der GETRIS Mission.
Kapitel 3 beschreibt die Eingangssituation dieser Arbeit. Hier wird der verwendete Missionssimulator
vorgestellt. Außerdem sind dort die verwendeten Erdschwerefeldmodelle und die verwendeten
Satellitenbahnen beschrieben.
Kapitel 4 stellt das Prinzip des GNSS-LEO-Trackings vor. Hierbei geht es insbesondere um die
Frage der Sichtverbindung der LEOs und GNSS Satelliten zueinander.
Kapitel 5 gibt einen Überblick über die durchgeführten Simulationen, die in dieser Arbeit vorgestellt
werden.
Kapitel 6 stellt die Ergebnisse der Simulationen vor und beinhaltet eine erste Interpretation der
Resultate. Hierbei werden zunächst die Varianten betrachtet, die nur im statischen Erdschwerefeld
simuliert wurden. Anschließend werden diejenigen analysiert, die im statischen und zeitvariablen
Erdschwerefeld simuliert wurden. Abschließend erfolgt eine Betrachtung von Simulationen, die sich
jeweils nur über einen Zeitraum von fünf Tagen erstrecken.
Kapitel 7 befasst sich zum einen mit der abschließenden Diskussion der Untersuchungsergebnisse
und gibt zum andern einen Ausblick auf mögliche andere Untersuchungsaspekte des GNSS-LEO-
Missionskonzepts, die hier nicht untersucht werden.
7

2 Theoretische Grundlagen satellitengestützter Schwerefeldmessung
In diesem Kapitel werden die theoretischen Grundlagen der satellitengestützten
Schwerefeldmessung in kurzer Form behandelt. Kapitel 2.1 befasst sich mit den mathematischen
Grundlagen des Erdschwerefelds. Hier ist für die spätere Arbeit vor allem die Darstellung mittels
Kugelflächenfunktionen von Interesse. Die wichtigsten Informationen zu den bisher durchgeführten
satellitengestützten Schwerefeldmission CHAMP (Challanging Minisatellite Payload), GRACE und
GOCE werden in Kapitel 2.2 dargestellt. Anschließend stellt Kapitel 2.3 einige wenige geplante
Erdschwerefeldmissionen vor. Kapitel 2.4 geht anschließend im Speziellen auf die GETRIS Mission
als eine mögliche zukünftige satellitengestützte Erdschwerefeldmission ein.
2.1 Mathematische Grundlagen des Erdschwerefelds
Als erstes soll hier eine kurze Einführung in die Darstellung des Erdschwerefelds mittels
Kugelflächenfunktionen gegeben werden. Für eine ausführliche Herleitung sei hier auf Hoffmann-
Wellenhof & Moritz [2005] und Torge [2003] verwiesen. Im Folgenden werden nur ausgewählte
Formeln vorgestellt.
Ausgangspunkt ist das Newtonsche Gravitationsgesetz
F = G m 1m 2
l 2 (1)
mit F als resultierender Kraft [m kg s −2 ], G = 6,6742 ∙ 10 −11 m 3 kg −1 s −2 als Gravitationskonstante,
m 1 und m 2 als Massen zweier Massenpunkte [kg] und l als Abstand der beiden Massenpunkte [m].
Wenn man nun die Erde als System infinitesimal kleiner Massen betrachtet, lässt sich das
Gravitationspotential der Erde als Volumenelement über alle Massen im sogenannten Newton
Intergral darstellen
V = G ∭
v
dm l
= G ∭ ρ l dv v
(2)
mit V als Gravitationspotential der Erde [m 2 s −2 ], dm als Massenelement [kg], l als Abstand zwischen
einem gewählten Aufpunkt und einem Massenelement dm [m], ρ als Dichte eines Massenelements
dm [kgm −3 ] und dv als Volumenelement [m 3 ].
Schließlich erhält man das Gravitationspotential der Erde in Darstellung einer sphärisch
harmonischen Reihe mit sphärischen Koordinaten (mit Radius r, Kobreite θ und Länge λ)
V(r, θ, λ) = GM ∑ N max
R (R r )n+1
n
n=0
∑m=0
P̅nm (cos θ)
[C̅
nm cos(mλ) + S̅nm sin(mλ)] (3)
mit M als Masse der Erde [kg], R als mittleren Erdradius [m], P̅nm als vollständig normierte
Legendrepolynome vom Grad n und Ordnung m und {C̅nm; S̅nm } als korrespondierende vollständig
8

normierte Kugelfunktionskoeffizienten. Letztere gilt es mittels der Messungen der
satellitengestützten Erdschwerefeldmissionen zu ermitteln.
Dabei kann der Term ( R r )n+1 als Tiefpassoperator im Spektralbereich interpretiert werden, der die
Fehlerfortpflanzung mit zunehmender Orbithöhe repräsentiert [Rummel & Pail, 2011]. Daher ist aus
diesem Gesichtspunkt eine möglichst niedrige Flughöhe für eine Mission zu wählen, um die
Leistungsfähigkeit zu erhöhen. Andererseits steigt mit abnehmender Flughöhe der Luftwiderstand
exponentiell. Es sollten also die Amplituden der hohen Frequenzen durch einen Filter mit Hochpass-
Charakteristik verstärkt werden. Deshalb ist es gewünscht, die höheren Ableitungen des Potentials
im Satellitenniveau zu betrachten.
Die erste Ableitung des Schwerepotentials in radialer Richtung lautet
∂V n
∂r
= − n+1
r V n (4)
und die zweite Ableitung des Schwerepotentials in radialer Richtung lautet
Dabei stellen die Terme − n+1
r
∂ 2 V n
∂r 2
= (n+1)(n+2)
r 2 V n (5)
und (n+1)(n+2)
r 2 Filterfaktoren im Spektralbereich dar.
Eine Übersicht über die Anwendung unterschiedlicher Filteroperatoren stellt das Meissl-Rummel-
Schema (siehe Abbildung 1) dar, das mit dem Störpotential als tatsächliche Beobachtungsgröße
arbeitet.
Abbildung 1: Meissl-Rummel-Schema [Pail, 2011]
9

Nachdem die mathematischen Grundlagen des Erdschwerefelds erläutert wurden, soll in den
folgenden Abschnitten auf bisherige und geplante satellitengestützte Schwerefeldmissionen
eingegangen werden.
2.2 Bisherige satellitengestützte Schwerefeldmissionen
Dieser Abschnitt soll einen kurzen Überblick über die bisherigen satellitengestützten
Schwerefeldmissionen CHAMP, GRACE und GOCE geben.
CHAMP
CHAMP (Challenging Minisatellite Payload) startete im Jahr 2000 und war die erste
Satellitenmission, deren Hauptaufgabe es war, das Erdschwerefeld zu messen [Pail, 2013]. Das
Prinzip von CHAMP beruht auf der 3D-Distanzmessung zwischen dem Low Earth Orbiter und den
höher fliegenden GPS-Satelliten. Hierzu war der LEO unter anderem mit einem GPS-Empfänger
ausgestattet. Außerdem besaß er ein Akzelerometer zur Erfassung der auf den Satelliten
einwirkenden nicht-gravitativen Störbeschleunigungen. Dieses Verfahren bezeichnet man als highlow
satellite-to-satellite tracking (SST-hl) und ist in Abbildung 2 dargestellt. Die geometrische
Abweichung der realen Satellitenbahn von einer Referenzbahn ist in diesem Fall die
Beobachtungsgröße. Somit wird also die unregelmäßige Bahn des Satelliten beobachtet. Die
gemessene Differenz kann man schließlich auf die Störbeschleunigung zurückführen [Rummel &
Pail, 2011].
Abbildung 2: CHAMP Messprinzip [Rummel & Pail, 2011]
10

Die wichtigsten Missionsparameter waren [Rummel & Pail, 2011]:
nahezu kreisförmiger (e < 0,004) und polarer (i = 87°) Orbit
projektierte Missionsdauer: 5 Jahre (tatsächlich: 10 Jahre)
Anfangshöhe: 454 km, Orbithöhe während der Mission abnehmend
Die Missionsziele waren [Hofmann-Wellenhof & Moritz, 2005]:
Messung des globalen Schwerefelds
Messung des globalen Magnetfelds
Atmosphärenmodellierung (Ionosphäre und Troposphäre)
GRACE
Im Jahr 2002 startete die GRACE-Mission (Gravity Recovery And Climate Experiment), die aus zwei
baugleichen LEOs besteht, wobei einer der beiden dem anderem in einem Abstand von ca. 200 km
auf derselben Bahnspur folgt [Rummel & Pail, 2011]. Neben dem SST-hl basiert das GRACE
Messprinzip auf der Distanzmessung zwischen den beiden LEOs. Die Messung des Abstands
zwischen dem GRACE-Paar erfolgt über ein K-Band-Mikrowellen-System [Pail, 2013]. Dieses
Beobachtungsverfahren wird als low-low satellite-to-satellite tracking (SST-ll) bezeichnet und ist in
Abbildung 3 dargestellt. Dabei befinden sich in beiden LEOs Beschleunigungsmesser zur
Eliminierung nicht-gravitativer Kräfte. Dieses Konzept ermöglicht die Bestimmung der niedrigen und
mittleren Grade des Gravitationsfelds mit sehr hoher Genauigkeit. So können nicht nur Informationen
über das statische Schwerefeld, sondern auch über langwellige zeitliche Veränderungen, wie
periodische Signale und Massentrends, abgeleitet werden [Rummel & Pail, 2011].
Abbildung 3: GRACE Messprinzip [Rummel & Pail, 2011]
11

Die wichtigsten Missionsparameter sind [Rummel & Pail, 2011]:
nahezu kreisförmiger (e < 0,005) und polarer (i = 89°) Orbit
projektierte Missionsdauer: 5 Jahre; voraussichtlich bis 2014
Anfangshöhe: ca. 450 km, Orbithöhe während der Mission abnehmend
Die Missionsziele sind [Rummel & Pail, 2011]:
Statisches Schwerefeld der Erde
Zeitliche Variationen des Schwerefelds der Erde
Atmosphärenmodellierung
Der Start einer nahezu baugleichen GRACE follow-on Mission ist für August 2017 geplant.
GOCE
Die GOCE (Gravity Field and Steady-State Ocean Circulation Explorer) Mission startete im Jahr
2009 und basiert neben dem SST-hl-Konzept auf dem sogenannten satellite gravity gradiometry
(SGG) Verfahren. Dabei wird die Basislinie zwischen zwei Beschleunigungsmessern derart verkürzt,
dass sie sich in einem einzigen Satelliten befinden. Im Gegensatz zum SST-ll Konzept werden hier
differentielle Beschleunigungen, also die 2. Ableitungen des Gravitationspotentials V, gemessen
[Rummel & Pail, 2011]. Abbildung 4 stellt dieses Messprinzip graphisch dar. Entscheidend für dieses
Messkonzept ist, dass sich der Satellit bzw. dessen Massenschwerpunkt im sogenannten „dragfree“-Zustand
befindet. Das bedeutet, dass alle nicht-konservativen Kräfte mit Hilfe von Schubdüsen
in-situ korrigiert werden, so dass sich der Satellit im freien Fall um die Erde befindet.
Die wichtigsten Missionsparameter sind:
nahezu kreisförmiger (e < 0,0035) und sonnensynchroner (i ≈ 96,5°) Orbit
projektierte Missionsdauer: 2Jahre; tatsächliche Missionsdauer voraussichtlich bis Oktober
2013
konstante Orbithöhe von ca. 255 km; 61-Tage-Wiederholorbit; Absenkung um bis zu 30 km
in der letzten Missionsphase
Die Missionsziele sind [Hofmann-Wellenhof & Moritz, 2005]:
Bestimmung von Schwereanomalien mit einer Genauigkeit von 1 mGal
Bestimmung von Geoidhöhen mit einer Genauigkeit von 1-2 cm
Erreichen dieser Ergebnisse bei einer räumlichen Auflösung besser als 100 km
12

Abbildung 4: GOCE Messprinzip [Rummel & Pail, 2011]
Während in diesem Kapitel bisher durchgeführte Missionen behandelt wurden, geht es im nächsten
Abschnitt um geplante satellitengestützte Schwerefeldmissionen.
2.3 Geplante satellitengestützte Schwerefeldmissionen
Nachdem im vorangegangenen Kapitel bisher durchgeführte Schwerefeldmissionen vorgestellt
wurden, werden in diesem Kapitel einige Konzepte für mögliche zukünftige Missionen kurz
vorgestellt. In diesem Zusammenhang sei noch einmal auf die geplante Mission GRACE Follow-on
hingewiesen. Da das Hauptproblem bei den Schwerefeldern aus GRACE Daten die starken Streifen
entlang der Flugrichtung sind, bemüht man sich bei zukünftigen Missionen mit zwei Satelliten darum,
dies zu beheben, indem die relative Lage der Satelliten zueinander während des Flugs verändert
wird [Schlie, 2012].
13

e.motion
Beim e.motion (Earth System Mass Transport Mission) Konzept fliegen zwei Satelliten auf einer fast
polaren Bahn, wobei diese leicht um die Polachse gedreht sind. Dies stellt ein sogenanntes Pendel-
Konzept dar, bei dem die beiden Satelliten relativ zueinander eine Pendelbewegung quer zur
Flugrichtung vollführen. Abbildung 5 veranschaulicht dieses Konzept [Panet et al., 2012].
Abbildung 5: Konzept der e.motion Mission [Panet et al., 2012]
Cartwheel
Cartwheel bezeichnet eine Formation von zwei oder mehreren Satelliten, die sich ähnlich wie ein
Wagenrad um ihren gemeinsamen Schwerpunkt drehen [Wiese et al. 2009 in Schlie, 2012]. Dieses
Konzept stellt hohe Ansprüche an die Bahnkontrolle und die Lageregelung der Satelliten. Abbildung
6 veranschaulicht dieses Prinzip.
Abbildung 6: Cartwheel Formationen [Wiese et al., 2009 in Schlie, 2012]
14

Bender-Design
Einen weiteren Ansatz einer Schwerefeldmission, das sogenannte „temporal aliasing“ in
ökonomischer Art und Weise zu reduzieren, bietet dieses Verfahren, das mehrere Satellitenpaare
zu einer gemeinsamen Lösung verbindet. Dabei fliegt eines der beiden Satellitenpaare mit einer
niedrigeren Inklination, um so zusätzlich die Ost-West Information zu verbessern. Außerdem wird
hierbei die Anzahl der Beobachtungen erhöht und die Streifenbildung in den Lösungen verringert
[Bender et al., 2008 in Wiese et al., 2011].
Der nachfolgende Abschnitt beschäftigt sich nun mit dem Konzept einer zukünftigen
Schwerefeldmission, das als Vorlage für diese Arbeit dient.
2.4 Die GETRIS Mission
Nachdem nun einige mögliche zukünftige Schwerefeldmissionen angesprochen wurden, soll nun die
GETRIS Mission betrachtet werden. Die hier aufgeführten Informationen stammen aus dem
„Technical Proposal“ zur Mission (GETRIS 2011) und sind von Schlie [2012] entnommen, soweit sie
nicht anders gekennzeichnet sind.
Die Intention der GETRIS (Geodesy and Time Reference in Space) Mission ist die Schaffung einer
Orts- und Zeitreferenz im Weltraum. Die Mission ist also nicht primär für die Schwerefeldbestimmung
gedacht, sondern zur Realisierung eines Zeit- und Ortsreferenzrahmens für andere
Satellitenmissionen und geodätische Raumverfahren durch geostationäre Satelliten. Die
geostationären Satelliten stellen ihre Position und ein Zeitsignal anderen Satelliten und Benutzern
auf der Erde zur Verfügung. Die Ziele der Mission lassen sich in folgenden beiden Punkten
zusammenfassen:
„Ein genaues weltraum-basiertes geodätisches Bezugssystem mit Navigationsunterstützung
für LEO Satelliten bereit zu stellen“
„Eine hochgenaue Zeit- und Frequenzreferenz für Benutzer am Boden und im Weltraum zur
Verfügung zu stellen“
Somit würde eine gute Ergänzung zum bestehenden globalen geodätischen Beobachtungssystem
(GGOS) geschaffen.
Das Grundprinzip der Schwerefeldmessung besteht hier nun im Tracking zwischen den
geostationären Satelliten (GEOs) und einem oder mehreren LEOs. In diesem Fall könnte man von
einem extremen SST-hl Verfahren sprechen, da die Distanzen hier erheblich größer sind als bei
einer Distanzmessung zwischen einem GNSS-Satelliten und einem LEO. Für die Realisierung
dieses Konzepts sind mindestens zwei GEOs nötig, damit der LEO stets eine „Sichtverbindung“ zu
einem GEO hat. Abbildung 7 stellt eine mögliche GETRIS Konfiguration vor.
Mittels hochgenauer Entfernungsmessung wird die Abweichung der nominellen Bahn des LEOs von
seiner tatsächlichen ermittelt und so durch Zurückführen auf die Störbeschleunigung das
Schwerefeld der Erde berechnet. In diesem Zusammenhang hat Schlie [2012] gezeigt, dass das
Schwerefeld besser bestimmt werden kann, weil der Messung zwischen GEO und LEO die
Intersatelliten-Distanzmessung primär in radialer Richtung durchgeführt wird.
15

Abbildung 7: Mögliche GETRIS Konfiguration [Schlie, 2012]
Ziel dieser Arbeit ist es nun, dieses Missionskonzept, das eine Erfolg versprechende mögliche
zukünftige satellitengestützte Erdschwerefeldmission darstellt, dahingehend zu adaptieren, dass an
Stelle von Distanzmessungen zwischen GEOs und LEOs Distanzmessungen zwischen GNSS
Satelliten und LEOs Beobachtungsgrößen des Missionskonzepts sind.
Im nun folgenden Kapitel soll unter anderem auf den Missionssimulator eingegangen werden, mit
dem sowohl Simulationen für die GETIRS Mission durch Schlie [2012] als auch die Simulationen für
die Methode des GNSS-LEO-Trackings durchgeführt wurden. Darüber hinaus werden auch die für
die Simulation erforderlichen Datengrundlagen besprochen.
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3 Missionssimulator und Datengrundlage
In diesem Kapitel wird zunächst im Abschnitt 3.1 der Missionssimulator erläutert, mit dem die
numerischen Simulationen für das GNSS-LEO-Tracking Konzept durchgeführt wurden. Kapitel 3.2
stellt das verwendete statische und zeitvariable Schwerefeld vor. Anschließend wird in Abschnitt 3.3
noch auf die verwendeten Satellitenbahnen eingegangen.
3.1 Durchführung mit dem Missionssimulator
Die Methode des GNSS-LEO-Trackings wird in einer closed-loop Simulation simuliert. Hierzu wird
der vorhandene Missionssimulator (Pail, Mayerhofer, 2009) eingesetzt, der mit dem Prinzip einer
closed-loop Simulation arbeitet. Dabei wird ein Eingangsschwerefeld in das Programm eingelesen
und am Ende der Simulation erhält man ein Ausgabeschwerefeld. Anhand der Differenz zwischen
dem Eingangsschwerefeld und dem ausgegebenen Schwerefeld lassen sich Rückschlüsse auf die
Leistungsfähigkeit der simulierten Mission ziehen. Abbildung 8 stellt die Funktionsweise des
Simulators, die im Weiteren erläutert werden soll, graphisch dar.
Abbildung 8: Funktionsweise des Missionssimulators [Schlie, 2012]
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Die Satellitenorbits werden zusammen mit einem statischen Erdschwerefeld und je nach Simulation
auch mit einem zeitvariablen Erdschwerefeld eingelesen. Bei den Satellitenorbits handelt es sich
jeweils um zwei Datensätze (ein „Satellitenpaar“), die die Positionen eines LEOs und eines GNSS
Satelliten beinhalten zu Zeitpunkten, an denen Sichtverbindung entlang der Sichtlinie (LOS) besteht
und keine Trennung eben dieser auf Grund der Erde, die sich gegebenenfalls entlang der LOS
zwischen den beiden Satelliten befindet. Die Problematik der Überprüfung der Sichtverbindung wird
in Kapitel 4 weitergehend besprochen. Zusätzlich werden pro Satellitenpaar eine Rauschzeitreihe
mit weißem Rauschen und ein entsprechender Filter eingelesen, damit realistische Ergebnisse
erzielt werden können. Am Ende des numerischen Simulationsprozesses erhält man geschätzte
Schwerefeldkoeffizienten sowie deren zugehörige formale Fehler. Der Simulationsprozess
beinhaltet eine sphärisch harmonische Analyse, bei der ausgehend von den Beobachtungen der
Satelliten die Koeffizienten des Schwerefelds bestimmt werden. Da hierbei die Anzahl der zu
schätzenden Koeffizienten deutlich geringer ist als die der Beobachtungen, geschieht dies mittels
einer Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate, dem sogenannten Gaus-Markov-
Modell [Schlie, 2012]. Für weitere Informationen zur Funktionsweise des Schätzverfahrens nach
der Methode der kleinsten Quadrate sei an dieser Stelle auf Niemeier [2008] verwiesen. Abbildung
9 veranschaulicht, wie anhand der geschätzten Koeffizienten Rückschlüsse auf die
Leistungsfähigkeit der simulierten Mission gezogen werden können.
Abbildung 9: Durchführungsprinzip der Arbeit [Schlie, 2012]
Für den Fall, dass kein zeitvariables Schwerefeld in den Simulator eingelesen wird, genügt es die in
der Graphik rot hinterlegten Schritte durchzuführen. Dabei wird von dem in der Simulation
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geschätzten Schwerefeld das Eingangsschwerefeld abgezogen. Anschließend lassen sich anhand
von Analysen der Koeffizientendifferenzen, der mittleren Amplituden je Grad n und je Koeffizient und
der Geoidhöhendifferenzen oder auch anderen Darstellungsarten Aussagen in Bezug auf die
Leistungsfähigkeit der simulierten Mission treffen. Im Falle, dass zusätzlich noch zeitlich variable
Schwerefelder eingelesen werden, muss das Mittel dieser Schwerefelder ebenfalls von den
geschätzten Koeffizienten abgezogen werden. Dies entspricht den blau hinterlegten Schritten in der
Graphik. Für die hier durchgeführten Simulationen wurde ein zeitlich variables Erdschwerefeld mit
einer Auflösung von sechs Stunden verwendet (siehe Kapitel 3.2).
Für weitere Informationen zum Missionssimulator sowie zur verwendeten Konfigurationsdatei sei an
dieser Stelle auf Schlie [2012] verwiesen. Die Konfigurationsdatei dient dazu, dass der Benutzer mit
ihr die wichtigsten Variablen deklariert sowie die Pfade zu den Eingabe – und Ausgabedaten festlegt.
Außerdem wird dort bestimmt, welche Beobachtungsart simuliert werden soll. In dieser Arbeit
werden die Messungen als Beschleunigungsdifferenzen entlang der LOS ausgewertet.
Da nun die Funktionsweise des Missionssimulators geklärt wurde, beschäftigen sich die beiden
folgenden Kapitel mit den Eingangsdaten für diesen.
3.2 Verwendete Erdschwerefeldmodelle
In diesem Abschnitt werden sowohl das in den Simulationen verwendete statische
Erdschwerefeldmodell als auch das zeitvariable Erdschwerefeldmodell besprochen.
Das statische Eingangsschwerefeld
Als statisches Eingangsschwerefeld wird das GO_CONS_GCF_2_TIM_R4 Modell [Pail et al., 2011]
verwendet. An dessen Erstellung waren das Institut für Theoretische Geodäsie und
Satellitengeodäsie der Technischen Universität Graz, das Institut für Geodäsie und Geoinformation
der Universität Bonn und das Institut für Astronomische und Physikalische Geodäsie der
Technischen Universität München beteiligt. Als Methode für die Prozessierung wurde hier die Timewise
Methode verwendet, die versucht, das ausgegebene Modell möglichst realistisch an die
stochastischen Eigenschaften der Eingangsdaten anzupassen. In diesem Modell stehen
Koeffizienten bis zu maximalem Grad und maximaler Ordnung 250 zur Verfügung. Als
zugrundeliegende Schwerefeldmission dient hier ausschließlich die GOCE Mission. Die Periode der
Datenerhebung erstreckt sich vom 01.11.2009 bis zum 19.06.2012; also über ca. 26,5 Monate
[ICGEM, 2013]. In dieser Arbeit werden aus diesem Schwerefeld nur Koeffizienten bis Grad und
Ordnung 60 verwendet, um somit die Rechenlaufzeit der Simulationen zu verkürzen. Abbildung 10
zeigt die Geoidhöhen des verwendeten statischen Eingangsschwerefelds.
19

Abbildung 10: Geoidhöhen des GO_CONS_GCF_2_TIM_R4 Modells in Metern
Das zeitvariable Erdschwerefeld
Das für diese Arbeit verwendete zeitvariable Erdschwerefeld beinhaltet Einflüsse der Atmosphäre,
der Ozeane, der Hydrologie, der Eismassen und der festen Erde und stammt aus dem ESA Projekt,
das das Monitoring und die Modellierung individueller Ursachen von Massenverteilungen und
Massentransporte im System Erde unter Verwendung von Satelliten behandelt [Gruber et al., 2011].
An dessen Erstellung waren das Institut für Astronomische und Physikalische Geodäsie der
Technischen Universität München, das Glaziologische Zentrum der Universität Bristol, der Lehrstuhl
für physikalische Geographie der Universität Utrecht, das Deutsche GeoForschungsZentrum
Potsdam, die Universität Luxembourg und das Institut für Erdbeobachtung und Weltraumsysteme
der Technischen Universität Delft beteiligt. Dabei wurden die verschiedenen Datensätze zunächst
entsprechend ihrer jeweiligen Eigenheiten prozessiert und anschließend miteinander kombiniert.
Ziel war es dabei, ein möglichst realistisches zeitvariables Erdschwerefeld zu berechnen, das für
Simulationen verwendet werden kann. Die Koeffizienten liegen hier bis zu einem maximalen Grad
und einer maximalen Ordnung von 180 vor. Ein Datensatz an Koeffizienten beinhaltet das mittlere
Signal eines sechs Stunden Intervalls. Da bei den Simulationen für diese Arbeit als Startzeitpunkt
für die Missionen der 01.01.2001 und ein Zeitraum von 27 Tagen gewählt wurde, müssen die
entsprechenden Datensätze (also 4*27 Datensätze) in den Simulator eingelesen werden. Das
zeitvariable Signal einer Beobachtungsepoche wird durch lineare Interpolation ermittelt. Wie beim
statischen Schwerefeld werden hier auch nur die Koeffizienten bis Grad und Ordnung 60 verwendet.
20

Nachdem nun die verwendeten Erdschwerefelder betrachtet wurden, soll im Folgenden auf die
verwendeten Satellitenbahnen eingegangen werden.
3.3 Verwendete Satellitenbahnen
Dieser Abschnitt gibt einen Überblick über die verwendeten Satellitenbahnen sowie deren
zugehörigen Bahnparameter.
Die Position eines Satelliten kann vereinfacht durch determinierte Keplerelemente beschrieben
werden. Darauf soll hier jedoch nicht eingegangen werden, sondern es sei auf Hofmann-Wellenhof
et al. [2008] verwiesen. Da auf die Satelliten aber permanent Kräfte von außen wirken, verändern
sich auch die Bahnelemente ständig. Somit kann die Satellitenbewegung als Keplerbewegung mit
zeitveränderlichen Bahnelementen interpretiert werden. Um diesen Einfluss der
Störbeschleunigungen in der Bewegungsgleichung der Satellitenbahnen Rechnung zu tragen, führt
man die oskulierenden sowie die mittleren Bahnelemente ein [Rothacher & Hugentobler, 2008]. Für
die Simulationen in dieser Arbeit werden derartige Bahnstörungen nicht berücksichtigt und daher
nur nominelle Keplerelemente verwendet. Die Orbitbahnen sind als kreisförmig angenommen
(Exzentrizität e = 0). Aus diesen werden jeweils die Positionen der Satelliten im Abstand von zehn
Sekunden berechnet (10 Sekunden Sampling). Für die Erde ist ein Radius von 6378136,3 m
angenommen.
Die für die jeweiligen Satellitentypen verwendeten Bahnparameter führen Tabelle 1, Tabelle 2 und
Tabelle 3 auf:
GPS Satelliten [Rothacher et al., 2012]:
Bahnhöhe über der Erde
20200 km
Umläufe/Sterntag 2/1
Inklination 55°
Anzahl der Bahnebenen 6
Abstand der Bahnen zueinander 60°
Tabelle 1: Bahnparameter der GPS Satelliten
Galileo Satelliten [Rothacher et al., 2012]:
Bahnhöhe über der Erde
23200 km
Umläufe/Sterntag 17/10
Inklination 56°
Anzahl der Bahnebenen 3
Abstand der Bahnen zueinander 120°
Tabelle 2: Bahnparameter der Galileo Satelliten
21

Niedrig fliegende Satelliten mit Repeat Orbit (LEOs) [Schlie, 2012]:
Bahnhöhe über der Erde
470 km
Anzahl der Umläufe 413
Anzahle der Sterntage 27
Inklination 89°
Tabelle 3: Bahnparameter der LEO
Bei der Generierung der Satellitenorbits wird zuerst der Orbit des LEOs im 10 Sekunden Sampling
erzeugt. Dieser besitzt einen Repeat Orbit mit einer Bodenspur auf der Erde, die sich nach 27 Tagen
wiederholt. Es werden also im Abstand von 10 Sekunden mittels der aufgeführten Bahnparameter
die jeweiligen Positionen des LEOs für einen gesamten Zeitraum von 27 Tagen berechnet. Als
nächstes werden die Positionen der GNSS Satelliten nach dem gleichen Verfahren ermittelt, so dass
sie von den Zeitpunkten der Positionsbestimmung her denen des LEOs entsprechen. Für den Fall,
dass Simulationen mit mehreren LEOs durchgeführt werden, ist dies für die weiteren LEOs analog
zu berechnen. Anschließend wird für jeden Zeitpunkt überprüft, ob eine Beobachtung entlang der
LOS möglich ist (siehe Kapitel 4). Schließlich entstehen als Eingabedaten für den Missionssimulator
für jede mögliche Kombination von LEOs und GNSS Satelliten („Satellitenpaar“) je zwei Matrizen,
die Uhrzeit und zugehörige Position des Satelliten beinhalten für den Fall, dass eine Beobachtung
zum anderen Satelliten des entsprechenden Satellitenpaares möglich ist, sowie eine
Rauschzeitreihe mit weißem Rauschen mit identischer Datenlänge.
Die Methode des GNSS-LEO-Trackings wird nun im nachfolgenden Kapitel erklärt.
22

4 Die Methode des GNSS-LEO-Trackings
Das nun folgende Kapitel befasst sich mit der Methode des GNSS-LEO-Trackings und der daraus
resultierenden Notwendigkeit der Überprüfung der Sichtverbindung zwischen dem GNSS Satelliten
und dem LEO.
Beim GNSS-LEO-Tracking wird die Distanz zwischen einem niedrig fliegenden Low Earth Orbiter
(LEO) und einem höher fliegenden GNSS Satelliten (in dieser Arbeit: GPS oder Galileo) gemessen.
Als Messsystem wird hier ein Zwei-Wege Mikrowellenmesssystem angenommen. Die Art des
Messsystems spielt jedoch bei den hier durchgeführten Simulationen keine Rolle und soll daher nicht
weiter erläutert werde. Außerdem werden hier keine Spezialfälle wie Satellitenausfälle und
Satellitenmanöver berücksichtigt.
Bei diesen Simulationen werden die Messungen als Beschleunigungsdifferenzen ∆b LOS (t) entlang
der LOS ausgewertet. Die LOS entspricht dem Differenzvektor zwischen den Ortsvektoren zweier
Satelliten. Die Beschleunigungen, die die Satelliten jeweils erfahren, werden dabei auf die LOS
projiziert und voneinander abgezogen. Dies führt zu folgender Beobachtungsgleichung:
∆b LOS (t) = 〈a A (t), LOS A (t)〉 − 〈a B (t), LOS B (t)〉 (6)
dabei stehen die Indizes A und B hier dafür, dass die Vektoren in den jeweiligen lokalen
nordorientierten Koordinatensystemen der Satelliten mit Ursprung im Schwerpunkt des Satelliten
ausgedrückt werden. a A (t) und a B (t) sind die Beschleunigungsvektoren für die Beschleunigungen,
die jeweils auf die Satelliten A und B wirken, und LOS A (t) und LOS B (t) bezeichnet die normierten
Vektoren der LOS, die beide identische Orientierung besitzen.
Nachdem die Satellitenpositionen mittels der im Kapitel 3.3 vorgestellten Orbitparameter im 10
Sekunden Sampling berechnet wurden, muss vor der Simulation geprüft werden, ob eine
Beobachtungsmessung zwischen einem LEO und einem GNSS Satelliten möglich ist. Vereinfacht
gesagt bedeutet das: es muss geprüft werden, ob Sichtverbindung zwischen den Satelliten eines
Satellitenpaars besteht. Diese Überprüfung soll im Folgenden anhand von Abbildung 11 erläutert
werden.
Abbildung 11: GNSS Satellit und LEO mit uneingeschränktem Sichtspektrum
23

Hier wird angenommen, dass weder das Sichtspektrum des GNSS Satelliten noch das des LEOs
eingeschränkt sind. Das bedeutet, dass sowohl der GNSS Satellit als auch der LEO in jede
Raumrichtung sehen können. Maßgebend für die Entscheidung, ob Sichtverbindung zwischen den
beiden Satelliten besteht oder nicht, sind die Winkel φ max und φ GNSS,LEO am Erdmittelpunkt im
Dreieck, das vom GNSS Satelliten, dem LEO und dem Erdmittelpunkt aufgespannt wird. Es gilt
folgendes Entscheidungskriterium: Falls φ GNSS,LEO ≤ φ max oder 360° − φ GNSS,LEO ≤ φ max sehen
die beiden Satelliten einander, sonst nicht. φ max lässt sich wie folgt ermitteln:
Winkel am GNSS Satelliten:
Winkel φ GNSS am Erdmittelpunkt:
Winkel am LEO:
Winkel φ LEO am Erdmittelpunkt:
Und so folgt schließlich:
Der Winkel φ GNSS,LEO lässt sich berechnen durch:
sin δ GNSS = ρ Erde
ρ GNSS
∙ sin 90° (7)
φ GNSS = 180° − 90° − δ GNSS (8)
sin δ LEO = ρ Erde
ρ LEO
∙ sin 90° (9)
φ LEO = 180° − 90° − δ LEO (10)
φ max = φ GNSS + φ LEO (11)
cos φ GNSS,LEO =
ρ⃗ GNSS ∙ ρ⃗ LEO
|ρ⃗ GNSS | ∙ |ρ⃗ LEO |
(12)
Obiger Test muss für jedes Satellitenpaar zu jedem Zeitpunkt durchgeführt werden. Nur falls
Sichtverbindung besteht, werden die entsprechenden Zeitpunkte sowie die zugehörigen Positionen
im erdfesten System in der jeweiligen Datenmatrix eingetragen. Die anderen Werte werden
verworfen.
Eine andere Variante der Sichtbarkeitsverhältnisse zwischen GNSS Satelliten und LEO ist, dass
zwar der GNSS Satellit in jeden Raumwinkel sehen kann, aber es dem LEO nur unter einem
bestimmten Elevationswinkel (α LEO ) möglich ist, in den Raum zu blicken. Abbildung 12
veranschaulicht diesen Sachverhalt.
24

Zusätzlich zu obigem Test muss eine weitere Überprüfung durchgeführt werden: Falls φ GNSS,LEO ≤
φ max oder 360° − φ GNSS,LEO ≤ φ max und φ GNSS,LEO ≤ α max oder 360° − φ GNSS,LEO ≤ α max ,
sehen die beiden Satelliten einander, sonst nicht. Hier wird also α max als zusätzliches
Entscheidungskriterium eingeführt. α max lässt sich bei gegebenem Elevationswinkel α LEO folgender
maßen berechnen:
Für den Winkel α GNSS am GNSS Satelliten gilt:
Abbildung 12: LEO mit eingeschränktem Sichtspektrum
sin α GNSS = ρ LEO
ρ GNSS
∙ sin(180° − α LEO ) (13)
Und so folgt:
α max = 180° − (180° − α LEO ) − α GNSS (14)
Analog zu obigem Test muss dieses Entscheidungskriterium für jedes Satellitenpaar zu jedem
Zeitpunkt zusätzlich überprüft werden.
In dieser Arbeit wird bei Simulationen unter den Bedingungen der hier als zweites beschriebenen
Variante stets ein Zenitwinkel von α LEO = 75° angenommen wird. Dies entspricht einem
Elevationswinkel von 15°.
Da das Messsignal, aus dem die Distanz zwischen den beiden Satelliten ermittelt werden soll, beim
Durchqueren der Erdatmosphäre zu stark beeinträchtigt würde, um verwendbare Beobachtungen
zu erzeugen, wird noch ein Sicherheitsbereich von 200 km um die Erde herum eingeführt. Bei der
Überprüfung der Sichtbarkeit entspricht dies einer Vergrößerung des Erdradius um 200 km. Weitere
Einflüsse durch die Atmosphäre werden in dieser Arbeit nicht berücksichtigt.
Eine Übersicht über die durchgeführten Simulationen gibt das nächste Kapitel.
25

5 Übersicht der durchgeführten Simulationen
Bevor die Simulationsergebnisse selbst vorgestellt werden, soll in diesem Kapitel ein Überblick über
die durchgeführten Simulationen gegeben werden.
Zunächst lassen sich die Simulationen in drei Gruppen unterteilen: Simulationen im statischen
Erdschwerefeld über 27 Tage, Simulationen im statischen und zeitvariablen Erdschwerefeld über 27
Tage sowie Simulationen im statischen und zeitvariablen Erdschwerefeld über 5 Tage. Diese
Gruppen werden nun nacheinander vorgestellt.
5.1 Simulationen im statischen Erdschwerefeld über 27 Tage
In dieser Gruppe wird nur ein statisches Erdschwerefeld in den Simulator eingelesen. Außerdem
wird bei dieser Simulationsreihe immer nur ein LEO verwendet und die Anzahl der GNSS Satelliten
variiert. Die Startposition des LEOs liegt bei jeder Simulation bei einem aufsteigenden Knoten von
0° und einer mittleren Anomalie von 0°. Im Simulationszeitraum beschreibt der LEO genau einen
Repeat Orbit (siehe Kapitel 3.3). Es werden entweder GPS oder Galileo Satelliten verwendet.
Konstellationen, die beide GNSS-Typen gleichzeitig enthalten, werden nicht simuliert. Die
Simulationen im statischen Erdschwerefeld lassen sich zum einen unterteilen in Simulationen mit
GPS Satelliten und einem LEO sowie Simulationen mit Galileo Satelliten und einem LEO. Zum
anderen ist eine Einteilung in Simulationen mit uneingeschränktem Sichtspektrum des LEOs (siehe
Kapitel 4, erste Variante) sowie Simulationen mit eingeschränktem Sichtspektrum des LEOs (siehe
Kapitel 4, zweite Variante) möglich.
Tabelle 4 führt die Simulationen zeilenweise auf, die mit GPS Satelliten durchgeführt wurden:
Name der Variante in
dieser Arbeit
Anzahl der
Satellitenbahnen der
GNSS Satelliten
Anzahl der
verwendeten GNSS
Satelliten
Art des
Sichtspektrums des
LEOs
2GPS_1_1_U 1 2 uneingeschränkt
2GPS_1_1_E 1 2 eingeschränkt
3GPS_1_1_U 1 3 uneingeschränkt
3GPS_1_1_E 1 3 eingeschränkt
3GPS_3_1_U 3 3 uneingeschränkt
3GPS_3_1_E 3 3 eingeschränkt
6GPS_6_1_U 6 6 uneingeschränkt
6GPS_6_1_E 6 6 eingeschränkt
Tabelle 4: Simulationen mit GPS Satelliten im statischen Erdschwerefeld über 27 Tagen
Bei den vergebenen Namen für die Varianten bezeichnet die erste Zahl im Variantennamen die
Anzahl der verwendeten GNSS Satelliten, die zweite Zahl die Anzahl der Bahnen und die dritte die
der LEOs. U steht für uneingeschränktes Sichtspektrum des LEOs und E für eingeschränktes
Sichtspektrum des LEOs.
26

Bei den Simulationen mit zwei GPS Satelliten auf einer Bahn starten die Satelliten an den in Tabelle
5 aufgeführten Positionen:
Aufsteigender Knoten der
Bahn
Mittlere Anomalie des
Satelliten
Satellit 1 0° 0°
Satellit 2 0° 180°
Tabelle 5: Startpositionen der GPS Satelliten bei Simulationen mit zwei GNSS Satelliten auf einer Bahn im statischen
Erdschwerfeld über 27 Tage
Bei den Simulationen mit drei GPS Satelliten auf einer Bahn starten die Satelliten an den in Tabelle
6 aufgeführten Positionen:
Aufsteigender Knoten der
Bahn
Mittlere Anomalie des
Satelliten
Satellit 1 0° 0°
Satellit 2 0° 120°
Satellit 3 0° 240°
Tabelle 6: Startpositionen der GPS Satelliten bei Simulationen mit drei GNSS Satelliten auf einer Bahn im statischen
Erdschwerfeld über 27 Tage
Bei den Simulationen mit drei GPS Satelliten auf drei Bahnen starten die Satelliten an den in Tabelle
7 aufgeführten Positionen:
Aufsteigender Knoten der
Bahn
Mittlere Anomalie des
Satelliten
Satellit 1 0° 0°
Satellit 2 120° 120°
Satellit 3 240° 240°
Tabelle 7: Startpositionen der GPS Satelliten bei Simulationen mit drei GNSS Satelliten auf drei Bahnen im statischen
Erdschwerfeld über 27 Tage
27

Bei den Simulationen mit sechs GPS Satelliten auf sechs Bahnen starten die Satelliten an den in
Tabelle 8 aufgeführten Positionen:
Aufsteigender Knoten der
Bahn
Mittlere Anomalie des
Satelliten
Satellit 1 0° 0°
Satellit 2 60° 60°
Satellit 3 120° 120°
Satellit 4 180° 180°
Satellit 5 240° 240°
Satellit 6 300° 300°
Tabelle 8: Startpositionen der GPS Satelliten bei Simulationen mit sechs GNSS Satelliten auf sechs Bahnen im
statischen Erdschwerfeld über 27 Tage
Tabelle 9 führt die Simulationen zeilenweise auf, die mit Galileo Satelliten durchgeführt wurden:
Name der Variante in
dieser Arbeit
Anzahl der
Satellitenbahnen der
GNSS Satelliten
Anzahl der
verwendeten GNSS
Satelliten
Art des
Sichtspektrums des
LEOs
2Galileo_1_1_U 1 2 Uneingeschränkt
2Galileo_1_1_E 1 2 Eingeschränkt
3Galileo_1_1_U 1 3 Uneingeschränkt
3Galileo_1_1_E 1 3 Eingeschränkt
3Galileo_3_1_U 3 3 Uneingeschränkt
3Galileo_3_1_E 3 3 Eingeschränkt
6Galileo_6_1_U 3 6 Uneingeschränkt
6Galileo_6_1_E 3 6 Eingeschränkt
Tabelle 9: Simulationen mit Galileo Satelliten im statischen Erdschwerefeld über 27 Tagen
Bei den Simulationen mit sechs Galileo Satelliten auf drei Bahnen starten die Satelliten an den in
Tabelle 10 aufgeführten Positionen:
Aufsteigender Knoten der
Bahn
Mittlere Anomalie des
Satelliten
Satellit 1 0° 0°
Satellit 2 0° 180°
Satellit 3 120° 120°
Satellit 4 120° 300°
Satellit 5 240° 60°
Satellit 6 240° 240°
Tabelle 10: Startpositionen der Galileo Satelliten bei Simulationen mit sechs GNSS Satelliten auf drei Bahnen im
statischen Erdschwerfeld über 27 Tage
28

In den übrigen Simulationen mit Galileo Satelliten sind die Startpositionen identisch mit den analog
durchgeführten Varianten mit GPS Satelliten.
Zusätzlich zu den oben aufgeführten Varianten wird als Referenzszenario eine Simulation mit einem
GRACE Paar durchgeführt. Die Parameter für diese beiden Satelliten entsprechen denen des LEOs
(siehe Kapitel 3.3). Der erste GRACE Satellit startet an derselben Position wie der LEO in den hier
vorgestellten Simulationen. Der zweite GRACE Satellit beginnt seinen Umlauf 200 km hinter dem
ersten.
5.2 Simulationen im statischen und zeitvariablen Erdschwerefeld über 27 Tage
In dieser Gruppe werden nur noch Galileo Satelliten für die Simulationen verwendet. Es handelt sich
dabei um Varianten mit drei Satelliten entweder auf einer Bahn oder auf drei verschiedenen Bahnen.
Bei beiden Varianten werden jeweils Variationen in Bezug auf die Anzahl der LEOs sowie auf die
Startpositionen der LEOs vorgenommen. Simulationen werden entweder mit einem LEO oder mit
zwei oder drei LEOs durchgeführt. Alle LEOs beginnen ihren Umlauf jeweils bei einer mittleren
Anomalie von 0° und besitzen eingeschränktes Sichtspektrum.
Falls nur ein LEO verwendet wird, startet dieser mit einem aufsteigenden Knoten von 0° (Namen der
Varianten in dieser Arbeit: 3Galileo_1_1_EV, 3Galileo_3_1_EV; V zeigt an, dass hier zusätzlich ein
zeitvariables Erdschwerefeld hinzugezogen wurde).
Tabelle 11 gibt eine Übersicht über die aufsteigenden Knoten der zwei Varianten, die unter
Verwendung von zwei LEOs simuliert wurden (Namen der Varianten in dieser Arbeit:
3Galileo_1_2_1EV, 3Galileo_1_2_2EV, 3Galileo_3_1_1EV, 3Galileo_3_2_2EV; die Zahl vor dem
Kürzel EV bezeichnet die jeweilige Variante):
Variante 1 Variante 2
LEO 1 0° 0°
LEO 2 90° 180°
Tabelle 11: Simulationen mit zwei LEOs im statischen und zeitvariablen Erdschwerefeld über 27 Tage
Tabelle 12 gibt eine Übersicht über die aufsteigenden Knoten der zwei Varianten, die unter
Verwendung von drei LEOs simuliert wurden (Namen der Varianten in dieser Arbeit:
3Galileo_1_3_1EV, 3Galileo_1_3_2EV, 3Galileo_3_3_1EV, 3Galileo_3_3_2EV):
Variante 1 Variante 2
LEO 1 0° 0°
LEO 2 60° 120°
LEO 3 120° 240°
Tabelle 12: Simulationen mit drei LEOs im statischen und zeitvariablen Erdschwerefeld über 27 Tage
29

Auch in dieser Gruppe wird zusätzlich eine Simulation mit einem GRACE Paar durchgeführt. Die
Parameter hierfür stimmen mit denen von oben überein.
5.3 Simulationen im statischen und zeitvariablen Erdschwerefeld über 5 Tage
In dieser Gruppe werden lediglich Varianten betrachtet, bei denen sich drei Galileo Satelliten auf
einer Bahn befinden. Im Vergleich zu vorher erstrecken sich nun die Simulationen nur noch über
einen Zeitraum von fünf Tagen. Hier werden wieder Variationen in Bezug auf die Zahl der LEOs als
auch auf die Startpositionen der LEOs vorgenommen. Es werden Simulationen entweder mit einem
LEO oder mit zwei oder drei oder fünf LEOs durchgeführt. Bei jeder Variante besitzen wieder alle
LEOs eine mittlere Anomalie von 0° und eingeschränktes Sichtspektrum.
Bei den Varianten mit einem LEO oder zwei oder drei LEOs sind die aufsteigenden Knoten der LEOs
beim Start der Simulation identisch mit denen, die zuvor bereits für Missionen mit 27 Tage
Simulationslaufzeit verwendet wurden (Namen der Varianten in dieser Arbeit: 3Galileo_1_1_EV5,
3Galileo_1_2_1EV5, 3Galileo_1_1_2EV5, 3Galileo_1_3_1EV5, 3Galileo_1_3_2EV5; die Endung 5
zeigt an, dass es sich um Simulationen über einen Zeitraum von 5 Tagen handelt).
Tabelle 13 gibt eine Übersicht über die aufsteigenden Knoten der zwei Varianten, die unter
Verwendung von fünf LEOs simuliert wurden (Namen der Varianten in dieser Arbeit:
3Galileo_1_5_1EV5, 3Galileo_1_5_2EV5).
Variante 1 Variante 2
LEO 1 0° 0°
LEO 2 36° 72°
LEO 3 72° 144°
LEO 4 108° 216°
LEO 5 144° 288°
Tabelle 13: Simulationen mit fünf LEOs im statischen und zeitvariablen Erdschwerefeld über 5 Tage
Die Ergebnisse der hier aufgeführten Simulationen werden im nachfolgenden Kapitel vorgestellt.
30

6 Ergebnisse
In diesem Kapitel werden die Ergebnisse der Simulationen des GNSS-LEO-Tracking Verfahrens
vorgestellt. Kapitel 6.1 behandelt die Ergebnisse aus den Simulationen mit GPS Satelliten im
statischen Erdschwerefeld über 27 Tage. Die Resultate aus den Simulationen mit Galileo Satelliten
im statischen Erdschwerefeld über 27 Tage werden im Kapitel 6.2 gezeigt. Abschnitt 6.3 zieht einen
Vergleich zwischen den Ergebnissen aus Kapitel 6.1 und Kapitel 6.2. Die Auswertung der
Simulationen im statischen und zeitvariablen Erdschwerefeld über 27 Tage wird im Abschnitt 6.4
dargestellt. Kapitel 6.5 stellt die Ergebnisse der Varianten im statischen und zeitvariablen
Erdschwerefeld über 5 Tage vor.
Aussagen über die Leistungsfähigkeit der simulierten Missionen können anhand der Differenzen
zwischen dem Eingangsschwerefeld und dem aus der Simulation resultierenden Schwerefeld
getroffen werden. Dies wird hier durch Koeffizientendifferenzen, mittlere Amplituden je Grad n und
je Koeffizient, Geoidhöhendifferenzen und Histogramme veranschaulicht. Die Ergebnisse werden
nun im Einzelnen besprochen.
6.1 Simulationen mit GPS Satelliten im statischen Erdschwerefeld
In diesem Kapitel werden die Ergebnisse der simulierten Missionen mit GPS Satelliten im statischen
Erdschwerefeld vorgestellt, die sich über einen Zeitraum von 27 Tagen erstrecken. Alle acht
Varianten sind in Kapitel 5 in Tabelle 4 aufgeführt.
Als erstes werden die Koeffizientendifferenzen der acht Simulationen vorgestellt und untereinander
verglichen. In Abbildung 13 werden diese für die Varianten mit uneingeschränktem Sichtspektrum
des LEOs dargestellt und in Abbildung 14 diejenigen mit eingeschränktem Sichtspektrum des LEOs.
Abbildung 13b (Variante 3GPS_1_1_U) zeigt, dass vor allem die zonalen und nahen-zonalen
Koeffizienten in den niederen Graden besonders gut geschätzt werden können. Die Differenzen sind
in den niederen Graden geringer als in den hohen Graden. Bei dieser Variante steigen die
Differenzen ab Grad 40 deutlich an. Im Vergleich hierzu sind bei der Variante 2GPS_1_1_U die
Koeffizientendifferenzen größer, aber dennoch gut geschätzt. Dies liegt daran, dass in beiden
Varianten stets Sichtverbindung zwischen einem GNSS und dem LEO besteht und bei der
3GPS_1_1_U Variante mehr Beobachtungen zwischen den GNSS Satelliten und dem LEO
vorgenommen werden. Außerdem sind bei Varianten mit zwei GNSS Satelliten auf einer Bahn im
Vergleich zu Varianten mit drei GNSS Satelliten auf einer Bahn weniger Zeitpunkte vorhanden, in
denen der LEO von zwei GNSS Satelliten gesehen wird. Im Vergleich von Abbildung 13b zu
Abbildung 13c ist zu erkennen, dass beide Varianten in der Leistungsfähigkeit ähnlich sind. Die
Koeffizientendifferenzen in den niederen Graden sind bei der 3GPS_3_1_U Variante ein wenig
höher. Die Variante 6GPS_6_1_U liefert eindeutig die besten Resultate, da hier auch die meisten
Beobachtungen vorhanden sind.
31

Abbildung 13: Koeffizientendifferenzen der Simulationsergebnisse mit GPS Satelliten und einem LEO mit
uneingeschränktem Sichtspektrum im statischen Erdschwerefeld über 27 Tage in logarithmischer Darstellung. a) Variante
mit zwei GPS Satelliten auf einer Bahn. b) Variante mit drei GPS Satelliten auf einer Bahn. c) Variante mit drei GPS
Satelliten auf drei Bahnen. d) Variante mit sechs GPS Satelliten auf sechs Bahnen
Abbildung 14: Koeffizientendifferenzen der Simulationsergebnisse mit GPS Satelliten und einem LEO mit
eingeschränktem Sichtspektrum im statischen Erdschwerefeld über 27 Tage in logarithmischer Darstellung. a) Variante
mit zwei GPS Satelliten auf einer Bahn. b) Variante mit drei GPS Satelliten auf einer Bahn. c) Variante mit drei GPS
Satelliten auf drei Bahnen. d) Variante mit sechs GPS Satelliten auf sechs Bahnen
32

Bei Variante 3GPS_1_1_E werden die Koeffizienten zwar schlechter geschätzt als bei der
3GPS_1_1_U Mission, aber immer noch zufriedenstellend. Generell lässt sich sagen, dass die
Koeffizienten bei den Simulationen mit eingeschränktem Sichtspektrum des LEOs schlechter
geschätzt werden als bei denen mit uneingeschränktem Sichtspektrum des LEOs. Der Grund dafür
liegt in der geringeren Anzahl an Beobachtungen bei den Varianten mit eingeschränktem
Sichtspektrum des LEOs. Es fällt auf, dass die Mission 2GPS_1_1_E im Vergleich zu den anderen
deutlich schlechtere Ergebnisse liefert und daher nicht für weitergehende Untersuchungen
verwendet werden sollte. Aus denselben Gründen wie oben liefert auch hier die Simulation mit sechs
GPS Satelliten auf sechs Bahnen die besten Resultate. Gerade die Koeffizienten in den niederen
Graden werden hier sehr gut geschätzt. Die Ergebnisse der 3GPS_3_1_E Variante sind etwas
schlechter als die der 3GPS_1_1_E Variante, jedoch trotzdem zufriedenstellend.
Als nächstes sollen für diese Varianten die mittleren Amplituden je Grad n und je Koeffizient
betrachtet werden. Der Grund dafür, dass die Mittel je Grad n betrachtet werden liegt darin, dass
der Grad n mit der räumlichen Auflösung korreliert ist. Diese Grad RMS a n lassen sich berechnen
durch:
a n = √ 1
2 ∙ n + 1 ∑ (C̅ 2
mn + S̅
n
m=0
mn
2 )
Abbildung 15 zeigt diese für die Missionen mit uneingeschränktem Sichtspektrum des LEOs und
Abbildung 16 für diese mit eingeschränktem Sichtspektrum des LEOs.
Abbildung 15: mittlere Amplituden je Grad n und je Koeffizient der Simulationsergebnisse mit GPS Satelliten und einem
LEO mit uneingeschränktem Sichtspektrum im statischen Erdschwerefeld über 27 Tage in logarithmischer Darstellung. a)
Variante mit zwei GPS Satelliten auf einer Bahn. b) Variante mit drei GPS Satelliten auf einer Bahn. c) Variante mit drei
GPS Satelliten auf drei Bahnen. d) Variante mit sechs GPS Satelliten auf sechs Bahnen
33

Abbildung 16: mittlere Amplituden je Grad n und je Koeffizient der Simulationsergebnisse mit GPS Satelliten und einem
LEO mit eingeschränktem Sichtspektrum im statischen Erdschwerefeld über 27 Tage in logarithmischer Darstellung. a)
Variante mit zwei GPS Satelliten auf einer Bahn. b) Variante mit drei GPS Satelliten auf einer Bahn. c) Variante mit drei
GPS Satelliten auf drei Bahnen. d) Variante mit sechs GPS Satelliten auf sechs Bahnen
Aus Abbildung 15 ist erkennbar, dass in den dort aufgeführten vier Varianten ungefähr die gleichen
Werte angenommen werden. In jedem Fall sinkt zunächst der Kurvenverlauf, bevor er dann mit
zunehmendem Grad n ansteigt. Der Grund für den Anstieg liegt darin, dass der Satellit in einer
gewissen Höhe von der Erde entfernt ist und daher die Signale der höheren Grade schlechter
geschätzt werden können. Bei der 2GPS_1_1_U Variante ist der Verlauf der Kurve der formalen
Fehler (blaue Kurve) und der Verlauf der Kurve der Differenz zwischen ausgegebenem Schwerefeld
und Eingangsschwerefeld (rote Kurve) annähernd gleich. Die formalen Fehler werden im Rahmen
der Ausgleichungsrechnung aus der Diagonalen der inversen Normalgleichungsmatrix berechnet
und sind unter anderem von der Geometrie abhängig. In den anderen drei Fällen liegt die Kurve der
Schwerefelddifferenzen über der der formalen Fehler. Auch hier zeigt sich, dass die Variante
6GPS_6_1_U die besten Ergebnisse liefert. Die schwarze Kurve entspricht den mittleren Amplituden
je Grad n und je Koeffizient des Eingangsschwerefelds. Da bei der Simulation immer dasselbe
Eingangsschwerefeld verwendet wurde, sind diese schwarzen Kurven in allen Darstellungen
identisch. Die Variante mit drei GPS Satelliten auf einer Bahn liefert geringfügig bessere Werte als
diejenige mit drei GPS Satelliten auf drei verschiedenen Bahnen.
In Abbildung 16 fällt wieder besonders die Variante 2GPS_1_1_E auf. Die Kurvenverläufe
unterscheiden sich in diesem Fall deutlich von denen der übrigen Konfigurationen. Zum einen fallen
die Kurven der Schwerefelddifferenzen sowie der formalen Fehler am Ende zum Grad 60 hin ab.
Zum anderen ist die Kurve der Schwerefelddifferenzen an sich nicht so glatt wie in den anderen
Fällen. Generell sind hier die Werte deutlich höher als bei den übrigen Varianten. Die Werte sind
bei diesen Simulationen etwas größer als bei denen mit uneingeschränktem Sichtspektrum des
LEOs, was wiederum auf die geringere Anzahl an Beobachtungen zurückzuführen ist. Auch hier
34

liefert die 6GPS_6_1_E Mission die besten Resultate. Der Grund dafür liegt hier ebenfalls darin,
dass mehr Beobachtungen eingehen. In Bezug auf die Varianten mit drei GPS Satelliten lässt sich
sagen, dass diejenige, bei der die Satelliten nur auf einer Satellitenbahnebene positioniert sind,
etwas bessere Resultate liefert.
Nun werden die Geoidhöhendifferenzen, die aus diesen Simulationen resultieren, betrachtet. Diese
werden mittels der Koeffizientendifferenzen von aus der Simulation jeweils ausgegebenem
Schwerefeld und dem Eingangsschwerefeld ermittelt. Abbildung 17 zeigt diese für die Missionen mit
uneingeschränktem Sichtspektrum des LEOs und Abbildung 18 für die mit eingeschränktem
Sichtspektrum des LEOs.
Alle vier in Abbildung 17 dargestellten Geoidhöhendifferenzbilder zeigen zufällige Verteilung der
Werte. Wie erwartet, liefert die 2GPS_1_1_U Variante die schlechtesten und die 6GPS_6_1_U
Variante die besten Ergebnisse. Im Vergleich zur 3GPS_3_1_U Mission weist die 3GPS_1_1_U
Mission höher Differenzwerte in den polaren Regionen auf. In den übrigen Breitengraden ist das
Auftreten der Muster der Differenzwerte ähnlich.
In den Abbildungen 18b - 18d sind die Differenzwerte zufällig verteilt. Erneut liefert die Variante
2GPS_1_1_E die schlechtesten und die Variante 6GPS_6_1_E die besten Resultate (Erklärung:
siehe oben). Hier zeigen sich jedoch wieder deutliche Unterschiede bei der 2GPS_1_1_E Mission
im Vergleich zu den anderen. Die Werte sind um drei Größenordnungen schlechter. Besonders
auffällig sind die vier großen, äquatorsymmetrischen Bereiche. Die Variante mit drei GPS Satelliten
auf drei verschiedenen Bahnen liefert etwas schlechtere Ergebnisse als die mit drei GPS Satelliten
auf einer Bahn. Bei der 3GPS_3_1_E Variante gibt es mehr Gebiete mit extremen Werten, so dass
hier die 3GPS_1_1_E Mission ein besseres Ergebnisbild liefert.
Tabelle 14 gibt eine Übersicht über die quadratischen Mittelwerte der globalen
Geoidhöhendifferenzen (RMS) aus Abbildung 17 und Abbildung 18 sowie die jeweilige Anzahl an
Beobachtungen, die in die Lösung eingehen:
Variante RMS [m] Anzahl der Beobachtungen
2GPS_1_1_U 0,4459 ∙ 10 −3 237682
2GPS_1_1_E 53,2939 ∙ 10 −3 148322
3GPS_1_1_U 0,3703 ∙ 10 −3 356530
3GPS_1_1_E 0,4192 ∙ 10 −3 222487
3GPS_3_1_U 0,3809 ∙ 10 −3 358440
3GPS_3_1_E 0,5247 ∙ 10 −3 175632
6GPS_6_1_U 0,2771 ∙ 10 −3 716797
6GPS_6_1_E 0,3688 ∙ 10 −3 352534
Tabelle 14: quadratische Mittelwerte der globalen Geoidhöhendifferenzen in Metern und Anzahl der vorgenommenen
Beobachtungen für Simulationen mit GPS Satelliten im statischen Erdschwerefeld und einem LEO über 27 Tage
35

Abbildung 17: Geoidhöhendifferenzen in Metern der Simulationsergebnisse mit GPS Satelliten und einem LEO mit
uneingeschränktem Sichtspektrum im statischen Erdschwerefeld über 27 Tage. a) Variante mit zwei GPS Satelliten auf
einer Bahn. b) Variante mit drei GPS Satelliten auf einer Bahn. c) Variante mit drei GPS Satelliten auf drei Bahnen. d)
Variante mit sechs GPS Satelliten auf sechs Bahnen
Abbildung 18: Geoidhöhendifferenzen in Metern der Simulationsergebnisse mit GPS Satelliten und einem LEO mit
eingeschränktem Sichtspektrum im statischen Erdschwerefeld über 27 Tage. a) Variante mit zwei GPS Satelliten auf einer
Bahn. b) Variante mit drei GPS Satelliten auf einer Bahn. c) Variante mit drei GPS Satelliten auf drei Bahnen. d) Variante
mit sechs GPS Satelliten auf sechs Bahnen
36

Abschließend werden Histogramme betrachtet, die für 1°x1°-Gitter die Häufigkeit der Position des
LEOs über der Erde im Fall einer möglichen Sichtverbindung darstellen. Abbildung 19
veranschaulicht dies für die Varianten mit uneingeschränktem Sichtspektrum des LEOs und
Abbildung 20 für Varianten mit eingeschränktem Sichtspektrum des LEOs.
Abbildung 19: Histogramm der Positionen des LEOs über der Erde bei den Simulationsergebnissen mit GPS Satelliten
und einem LEO mit uneingeschränktem Sichtspektrum im statischen Erdschwerefeld über 27 Tage in logarithmischer
Darstellung. a) Variante mit zwei GPS Satelliten auf einer Bahn. b) Variante mit drei GPS Satelliten auf einer Bahn. c)
Variante mit drei GPS Satelliten auf drei Bahnen. d) Variante mit sechs GPS Satelliten auf sechs Bahnen
Abbildung 19 zeigt, dass im Fall der unbeschränkten Sichtbarkeit des LEOs die Beobachtungen
global verteilt sind und dass im diesem Fall die Gitterzellen der Erde abgedeckt werden. Bei den
Varianten mit drei GPS Satelliten lassen sich auffällige Muster erkennen. Bei der 2GPS_1_1_U
Variante werden hier im Vergleich zu den anderen die wenigsten Beobachtungen vorgenommen.
Dies zeigt, dass die Anzahl der Beobachtungen und die Qualität der erzielten Ergebnisse
miteinander korreliert sind. Analog lässt sich dies für die Variante 6GPS_6_1_U sagen, deren
Histogramm zeigt, dass dort die meisten Beobachtungen vorgenommen werden. Bei jeder Variante
lässt sich eine gewisse Regelmäßigkeit in den Mustern erkennen.
Abbildung 20a zeigt vier große äquatorsymmetrische Gebiete, in denen über der Erde keine
Beobachtungen vorgenommen werden. Vergleicht man dies mit dem dazugehörigen Bild der
Geoidhöhendifferenzen, so stellt man fest, dass diese Gebiete dieselben sind, in denen auch die
Geoidhöhendifferenzen auffällig hoch sind. Auch Abbildung 20c weist vier kleinere Gebiete auf, über
denen keine Beobachtungen vorhanden sind. Auch diese sind im Bild der Geoidhöhendifferenzen
wiederzuerkennen. Bei der Variante 3GPS_1_1_E sind im Vergleich zu den anderen die
Beobachtungen am gleichmäßigsten verteilt. Die Mission 6GPS_6_1_E weist ebenfalls ein
37

Abbildung 20: Histogramm der Positionen des LEOs über der Erde bei den Simulationsergebnissen mit GPS Satelliten
und einem LEO mit uneingeschränktem Sichtspektrum im statischen Erdschwerefeld über 27 Tage in logarithmischer
Darstellung. a) Variante mit zwei GPS Satelliten auf einer Bahn. b) Variante mit drei GPS Satelliten auf einer Bahn. c)
Variante mit drei GPS Satelliten auf drei Bahnen. d) Variante mit sechs GPS Satelliten auf sechs Bahnen
markantes Muster auf. Wie zu erwarten werden hier, im Vergleich zu den anderen in Abbildung 20
dargestellten Varianten, die meisten Beobachtungen vorgenommen. Auch hier sind alle
entstehenden Muster regelmäßig.
Insgesamt lässt sich sagen, dass alle Varianten mit GPS Satelliten, bis auf die 2GPS_1_1_E
Variante, gute Ergebnisse im statischen Erdschwerefeld liefern.
Als nächstes werden die Varianten im statischen Erdschwerfeld mit Galileo Satelliten analysiert.
6.2 Simulationen mit Galileo Satelliten im statischen Erdschwerefeld
Nachdem die Ergebnisse für die Simulationen mit GPS Satelliten vorgestellt worden sind, behandelt
dieses Kapitel die Resultate der simulierten Missionen mit Galileo Satelliten und einem LEO im
statischen Erdschwerefeld über 27 Tage. Die betreffenden acht Varianten sind in Kapitel 5 in Tabelle
9 aufgeführt.
Es wird wieder begonnen mit dem Vergleich der Koeffizientendifferenzen der acht Missionen.
Abbildung 21 stellt diese für die Varianten mit uneingeschränktem Sichtspektrum des LEOs vor und
Abbildung 22 diejenigen mit eingeschränktem Sichtspektrum des LEOs.
38

Abbildung 21: Koeffizientendifferenzen der Simulationsergebnisse mit Galileo Satelliten und einem LEO mit
uneingeschränktem Sichtspektrum im statischen Erdschwerefeld über 27 Tage in logarithmischer Darstellung. a) Variante
mit zwei Galileo Satelliten auf einer Bahn. b) Variante mit drei Galileo Satelliten auf einer Bahn. c) Variante mit drei Galileo
Satelliten auf drei Bahnen. d) Variante mit sechs Galileo Satelliten auf drei Bahnen
Abbildung 22: Koeffizientendifferenzen der Simulationsergebnisse mit Galileo Satelliten und einem LEO mit
eingeschränktem Sichtspektrum im statischen Erdschwerefeld über 27 Tage in logarithmischer Darstellung. a) Variante
mit zwei Galileo Satelliten auf einer Bahn. b) Variante mit drei Galileo Satelliten auf einer Bahn. c) Variante mit drei Galileo
Satelliten auf drei Bahnen. d) Variante mit sechs Galileo Satelliten auf drei Bahnen
39

Abbildung 21b (Variante 3Galileo_1_1_U) zeigt, dass die zonalen und sektoriellen Koeffizienten in
den niederen Graden sehr gut geschätzt werden können. Aber auch die Resultate für die tesseralen
Koeffizienten sind hier gut. Mit höherem Grad nehmen die Differenzen zu. Im Vergleich hierzu sind
die Koeffizientendifferenzen bei der 3Galileo_3_1_U Mission insgesamt etwas schlechter, aber
immer noch ähnlich. Aufgrund vergleichsweise weniger Beobachtungen sind die Differenzen bei der
2Galileo_1_1_U Variante höher. Hier fällt auch auf, dass in den niedersten Graden hohe Werte
angenommen werden. Die 6Galileo_3_1_U Mission weist hier die geringsten
Koeffizientendifferenzen auf, was darauf zurückzuführen ist, dass dort die größte Anzahl an
Beobachtungen vorkommt.
Generell lässt sich über Abbildung 22 im Vergleich zu Abbildung 21 sagen, dass die
Koeffizientendifferenzen für den Fall, dass der LEO ein eingeschränktes Sichtspektrum besitzt,
insgesamt größer sind. Dies liegt daran, dass beim eingeschränkten Sichtspektrum des LEOs
weiniger Beobachtungen vorgenommen werden als bei der analogen Variante mit
uneingeschränktem Sichtspektrum des LEOs. Wie erwartet, liefert die 2Galileo_1_1_E Variante die
schlechtesten und die 6Galiloe_3_1_E Variante die besten Ergebnisse. Der Grund dafür liegt in der
Anzahl der jeweiligen Beobachtungen zwischen den GNSS Satelliten und dem LEO im
Simulationszeitraum. Vergleicht man die beiden Varianten mit jeweils drei Galileo Satelliten, so
zeigen diese ähnliche Resultate. Bei der 3Galileo_1_1_E Variante werden die Koeffizienten
vergleichsweise etwas besser geschätzt.
Als nächstes sollen für diese Varianten die mittleren Amplituden je Grad n und je Koeffizient
betrachtet werden (zur Berechnung siehe Kapitel 6.1). Abbildung 23 zeigt diese für die simulierten
Missionen mit uneingeschränkten Sichtspektrum des LEOs und Abbildung 24 für die mit
eingeschränktem Sichtspektrum des LEOs.
Abbildung 23: mittlere Amplituden je Grad n und je Koeffizient der Simulationsergebnisse mit Galileo Satelliten und einem
LEO mit uneingeschränktem Sichtspektrum im statischen Erdschwerefeld über 27 Tage in logarithmischer Darstellung. a)
Variante mit zwei Galileo Satelliten auf einer Bahn. b) Variante mit drei Galileo Satelliten auf einer Bahn. c) Variante mit
drei Galileo Satelliten auf drei Bahnen. d) Variante mit sechs Galileo Satelliten auf drei Bahnen
40

Abbildung 24: mittlere Amplituden je Grad n und je Koeffizient der Simulationsergebnisse mit Galileo Satelliten und einem
LEO mit eingeschränktem Sichtspektrum im statischen Erdschwerefeld über 27 Tage in logarithmischer Darstellung. a)
Variante mit zwei Galileo Satelliten auf einer Bahn. b) Variante mit drei Galileo Satelliten auf einer Bahn. c) Variante mit
drei Galileo Satelliten auf drei Bahnen. d) Variante mit sechs Galileo Satelliten auf drei Bahnen
Bei allen vier in Abbildung 23 dargestellten Varianten sinken der Kurvenverläufe der formalen Fehler
(blaue Kurve) und der Differenzen zwischen dem nach der Simulation ausgegebenem
Erdschwerefeld und dem Eingangsschwerefeld (rote Kurve) zunächst, bevor sie dann kontinuierlich
ansteigen. Bei der 2Galileo_1_1_U Variante liegen die beiden Kurven übereinander. Bei den beiden
simulierten Missionen mit drei Galileo Satelliten sind die formalen Fehler geringfügig niedriger als
die Differenzen der Schwerefelder. Bei der 6Galileo_3_1_U ist der Abstand zwischen den beiden
Kurven vergleichsweise am größten. Darüber hinaus zeigt sich auch wieder, dass im Vergleich zu
den übrigen dargestellten Missionen die 6Galileo_3_1_U Variante die besten und die
2Galileo_1_1_U Variante die schlechtesten Ergebnisse liefert. Die Begründung hierfür liegt erneut
in der Anzahl der in die Simulation eingehenden Beobachtungen. Die Varianten mit drei Galileo
Satelliten liefern hier annähernd gleiche Werte. Die 3Galileo_1_1_U Mission liefert etwas bessere
Werte. Die schwarze Kurve entspricht der Amplitude des Eingangsschwerefeldes.
Im Vergleich der in Abbildung 24 dargestellten Varianten untereinander lassen sich analog dieselben
Aussagen treffen wie bei den in Abbildung 23 dargestellten Varianten. Im Allgemeinen kann man
auch hier wieder sehen, dass die simulierten Missionen mit eingeschränktem Sichtspektrum des
LEOs etwas schlechtere Werte liefern als die jeweils korrespondierenden simulierten Missionen mit
uneingeschränktem Sichtspektrum des LEOs. Die Begründung hierfür liegt wiederum in der
geringeren Anzahl an Beobachtungen zwischen den GNSS Satelliten und dem LEO, die in die
Simulation eingehen. Auch die Aussagen, die sich aus Abbildung 24 in Bezug auf die Kurvenverläufe
der formalen Fehler und der der Schwerefelddifferenzen für die jeweiligen Varianten treffen lassen
können, sind analog zu denen der korrespondierenden simulierten Missionen mit
uneingeschränktem Sichtspektrum des LEOs.
41

Abbildung 25: Geoidhöhendifferenzen in Metern der Simulationsergebnisse mit Galileo Satelliten und einem LEO mit
uneingeschränktem Sichtspektrum im statischen Erdschwerefeld über 27 Tage. a) Variante mit zwei Galileo Satelliten auf
einer Bahn. b) Variante mit drei Galileo Satelliten auf einer Bahn. c) Variante mit drei Galileo Satelliten auf drei Bahnen. d)
Variante mit sechs Galileo Satelliten auf drei Bahnen
Abbildung 26: Geoidhöhendifferenzen in Metern der Simulationsergebnisse mit Galileo Satelliten und einem LEO mit
eingeschränktem Sichtspektrum im statischen Erdschwerefeld über 27 Tage. a) Variante mit zwei Galileo Satelliten auf
einer Bahn. b) Variante mit drei Galileo Satelliten auf einer Bahn. c) Variante mit drei Galileo Satelliten auf drei Bahnen. d)
Variante mit sechs Galileo Satelliten auf drei Bahnen
42

Nun sollen die Geoidhöhendifferenzen für die simulierten Missionen mit Galileo Satelliten im
statischen Erdschwerefeld betrachtet werden. Abbildung 25 zeigt diese für die Varianten mit
uneingeschränktem Sichtspektrum des LEOs und Abbildung 26 diejenigen mit eingeschränktem
Sichtspektrum des LEOs.
Tabelle 16 gibt eine Übersicht über die quadratischen Mittelwerte der globalen
Geoidhöhendifferenzen (RMS) aus den Abbildungen 25 und 26 sowie die jeweilige Anzahl an
Beobachtungen, die in die Lösung eingehen:
Variante RMS [m] Anzahl an Beobachtungen
2Galileo_1_1_U 0,4413 ∙ 10 −3 241832
2Galileo_1_1_E 0,4949 ∙ 10 −3 153187
3Galileo_1_1_U 0,3446 ∙ 10 −3 362727
3Galileo_1_1_E 0,4413 ∙ 10 −3 229765
3Galileo_3_1_U 0,3780 ∙ 10 −3 366123
3Galileo_3_1_E 0,4949 ∙ 10 −3 187729
6Galileo_3_1_U 0,2839 ∙ 10 −3 732440
6Galileo_3_1_E 0,3537 ∙ 10 −3 368670
Tabelle 15: quadratische Mittelwerte der globalen Geoidhöhendifferenzen in Metern und Anzahl der vorgenommenen
Beobachtungen für Simulationen mit Galileo Satelliten im statischen Erdschwerefeld und einem LEO über 27 Tage
Tabelle 16 zeigt nochmals, dass aus den bereits mehrfach genannten Gründen die Varianten mit
eingeschränktem Sichtspektrum des LEOs schlechtere Resultate liefern als diejenigen mit
uneingeschränktem Sichtspektrum des LEOs. In allen acht Varianten zeigen die Werte der
Geoidhöhendifferenzen zufällige Verteilung. Wie schon zuvor, weisen auch hier die Varianten mit
zwei Galileo Satelliten jeweils die schlechtesten und diejenigen mit sechs Galileo Satelliten die
besten Ergebnisse auf. In Bezug auf die Missionen mit drei Galileo Satelliten lässt sich sagen, dass
diejenige, bei der sich die GNSS Satelliten auf einer Bahn befinden, etwas bessere Ergebnisse
liefert.
Abschließend sollen noch die Histogramme betrachtet werden, die für 1°x1°-Gitter die Häufigkeit der
Position des LEOs über der Erde im Fall einer möglichen Sichtverbindung darstellen. Abbildung 27
zeigt diese für die Varianten mit uneingeschränktem Sichtspektrum des LEOs und Abbildung 28 für
diejenigen mit eingeschränktem Sichtspektrum des LEOs.
Aus den Abbildungen 27 und 28 lässt sich erkennen, dass bei allen hier aufgeführten Varianten die
Beobachtungen gleichmäßig global verteilt sind und keine markanten Muster zu erkennen sind. Bei
den Varianten mit eingeschränktem Sichtspektrum des LEOs sind jedoch regelmäßige Lücken
(weiße Stellen) in den Beobachtungen zu erkennen. Dennoch kann man auch hier von einer guten
globalen Abdeckung sprechen. Probleme würden hier nur bei einem wesentlich höheren Grad der
Reihenentwicklung entstehen. Hier ist nun auch graphisch dargestellt, dass bei diesen Varianten die
Anzahl an Beobachtungen geringer ist als bei den analogen simulierten Missionen mit
uneingeschränktem Sichtspektrum des LEOs.
43

Abbildung 27: Histogramm der Positionen des LEOs über der Erde bei den Simulationsergebnissen mit Galileo Satelliten
und einem LEO mit uneingeschränktem Sichtspektrum im statischen Erdschwerefeld über 27 Tage in logarithmischer
Darstellung. a) Variante mit zwei Galileo Satelliten auf einer Bahn. b) Variante mit drei Galileo Satelliten auf einer Bahn. c)
Variante mit drei Galileo Satelliten auf drei Bahnen. d) Variante mit sechs Galileo Satelliten auf drei Bahnen
Abbildung 28: Histogramm der Positionen des LEOs über der Erde bei den Simulationsergebnissen mit Galileo Satelliten
und einem LEO mit eingeschränktem Sichtspektrum im statischen Erdschwerefeld über 27 Tage in logarithmischer
Darstellung. a) Variante mit zwei Galileo Satelliten auf einer Bahn. b) Variante mit drei Galileo Satelliten auf einer Bahn. c)
Variante mit drei Galileo Satelliten auf drei Bahnen. d) Variante mit sechs Galileo Satelliten auf drei Bahnen
44

Abschließend lässt sich sagen, dass alle Varianten mit Galileo Satelliten zufriedenstellende
Ergebnisse für Simulationen im statischen Erdschwerefeld liefern.
Bevor nun Simulationen in statischen und zeitvariablen Erdschwerefeld betrachtet werden, sollen im
folgenden Kapitel sämtliche simulierte Missionen im statischen Erdschwerefeld abschließend
diskutiert werden.
6.3 Diskussion der Simulationen im statischen Erdschwerefeld
In diesem Kapitel sollen die Varianten mit GPS Satelliten und die mit Galileo Satelliten im statischen
Erdschwerefeld verglichen werden. Dies geschieht zum einen dadurch, dass die Missionen mit den
verschiedenen GNSS miteinander verglichen werden und zum anderen dadurch, dass ein Vergleich
zu einem GRACE-Paar gezogen wird.
Abbildung 29 und Abbildung 30 zeigen die Resultate für ein GRACE Paar im statischen
Erdschwerefeld.
Abbildung 29a zeigt, dass bei GRACE die
zonalen und nahen-zonalen Koeffizienten gut
geschätzt werden können. Die tesseralen und
sektoriellen Koeffizienten sind hingegen nicht so
gut geschätzt. Die Missionen des GNSS-LEO-
Trackings (bis auf Variante 2GPS_1_1_E) liefern
hier deutlich bessere Ergebnisse.
Abbildung 29b stellt die für die GRACE Mission
typischen Nord-Süd verlaufenden Streifen dar,
deren Ursache hier in der relativen Position der
beiden LEOs während der Mission und damit in
der Intersatelliten-Distanzmessung stets entlang
der Flugrichtung der Satelliten liegt. Der globale
quadratische Mittelwert dieser
Geoidhöhendifferenzen liegt bei dieser Mission
bei 2,6069 ∙ 10 −3 Metern und ist damit höher als
in den Missionen des GNSS-LEO-Trackings
(Ausnahme: Variante 2GPS_1_1_E). In diesem
Fall werden im Simulationszeitraum 232555
Beobachtungen vorgenommen.
Abbildung 29: Simulationsergebnisse für ein GRACE Paar
im statischen Erdschwerefeld. a) Koeffizientendifferenzen
in logarithmischer Darstellung. b) Geoidhöhendifferenzen
in Metern
45

Abbildung 30: Simulationsergebnisse für ein GRACE Paar im
statischen Erdschwerefeld. a) mittlere Amplituden je Grad n
und je Koeffizient in logarithmischer Darstellung.
b) Histogramm der Positionen der LEOs über der Erde
Abbildung 30a ist zu entnehmen, dass bei den
mittleren Amplituden je Grad n und je Koeffizient
die Kurvenverläufe der formalen Fehler (blaue
Kurve) und der Differenzen zwischen den aus
der Simulation ausgegebenen Koeffizienten und
den Eingangskoeffizienten (rote Kurve) eng
beieinander liegen. Teilweise verläuft die blaue
Kurve sogar über der roten Kurve. Dies war bei
den Simulationen der GNSS-LEO-Tracking-
Methode nicht zu sehen. Die Werte sind hier im
Fall des GRACE Paares erneut höher als bei
den anderen bisher besprochenen Missionen
(Ausnahme: Variante 2GPS_1_1_E).
Dass beim GRACE Paar die Beobachtungen gut
global verteilt sind, ist aus Abbildung 30d zu
entnehmen. Diese lässt auch ein gewisses
regelmäßiges Muster erkennen. Der Grund
dafür, dass es bei dieser Variante so viele
Beobachtungen gibt, liegt darin, dass die beiden
LEOs ständig Sichtkontakt zueinander haben,
da sie nur in einem relativ geringen Abstand
zueinander fliegen.
Generell lässt sich sagen, dass die bisher
besprochenen Missionen des GNSS-LEO-
Trackings (Ausnahme: Varianten 2GPS_1_1_E) bessere Resultate im statischen Erdschwerefeld
liefern als ein GRACE Paar.
Der Vergleich zwischen den Varianten mit GPS Satelliten und denen mit Galileo Satelliten erfolgt
hier für die Varianten mit drei GNSS Satelliten und eingeschränktem Sichtspektrum des LEOs und
gilt für die übrigen korrespondierenden Varianten analog.
Hierzu werden zunächst die mittleren Amplituden je Grand n und je Koeffizient betrachtet, die in
Abbildung 31 gegenübergestellt sind.
Aus Abbildung 31 lässt sich direkt erkennen, dass die Varianten mit drei GNSS Satelliten auf einer
Bahn geringfügig bessere Resultate liefern als diejenigen mit drei GNSS Satelliten auf drei
verschiedenen Bahnen. Dies ist vor allem in den hohen Graden erkennbar. Im Vergleich der
analogen Varianten von GPS und Galileo kann man kaum Unterschiede sehen. Bei den
Konstellationen mit drei Satelliten auf drei Bahnen ist noch eher zu sehen, dass die Variante mit
Galileo Satelliten in sehr geringem Umfang bessere Ergebnisse liefert.
46

Abbildung 31: mittlere Amplituden je Grad n und je Koeffizient im logarithmischer Darstellung für die Varianten mit 3 GNSS
Satelliten und eingeschränktem Sichtspektrum des LEOs
In Bezug auf die Geoidhöhendifferenzen lässt sich sagen, dass bei allen simulierten Missionen
zufällig verteilte Werte resultieren und ähnliche Ergebnisse zu sehen sind. Auch die
Koeffizientendifferenzen zeichnen ein ähnliches Bild.
Der Vergleich der Histogramme zeigt Unterschiede. Bei den simulierten Missionen mit drei Satelliten
auf drei Bahnen sind zwar in beiden Fällen Lücken zu erkennen, aber diese sind bei der Verwendung
von Galileo Satelliten deutlich kleiner. Darüber hinaus fällt auf, dass bei den Simulationen mit GPS
Satelliten die Histogramme sehr markante Muster zeigen. Ein möglicher Grund könnte darin liegen,
dass sich die Konfiguration der GPS Satelliten über einem Bodenpunkt jeden Tag wiederholt. Bei
den Galileo Satelliten ist dies erst nach zehn Tagen der Fall.
Für Simulationen im statischen und zeitvariablen Erdschwerefeld werden nur noch mögliche
Missionen mit drei Galileo Satelliten auf einer Bahn und drei Galileo Satelliten auf drei verschiedenen
Bahnen analysiert. Denn diese Varianten liefern gute Ergebnisse, sind besser als die Varianten mit
zwei GNSS Satelliten und wahrscheinlicher realisierbar als Varianten mit sechs Satelliten. Letztere
liefern bessere Ergebnisse, weil die Anzahl an Beobachtungen höher ist. Dies lässt sich jedoch auch
durch Hinzuziehen weiterer LEOs erzielen. Außerdem besitzen die im Folgenden verwendeten
LEOs alle nur noch ein eingeschränktes Sichtspektrum, da dies in Bezug auf die Realisierbarkeit als
wahrscheinlicher anzunehmen ist.
Die resultierenden Ergebnisse aus diesen Simulationen werden im folgenden Kapitel vorgestellt.
47

6.4 Simulationen im statischen und zeitvariablen Erdschwerefeld
In diesem Kapitel werden die Ergebnisse der Simulationen im statischen und zeitvariablen
Erdschwerefeld, die sich über einen Zeitraum von 27 Tagen erstrecken, vorgestellt. Die Varianten
verwenden drei Galileo Satelliten und LEOs mit eingeschränktem Sichtspektrum. Die Galileo
Satelliten befinden sich entweder auf einer Bahn oder auf drei verschiedenen Bahnen. Die
Variationen beziehen sich hier auf die Anzahl der LEOs sowie auf die aufsteigenden Knoten der
LEOs. Es werden Missionen mit einem LEO, zwei oder drei LEOs simuliert.
Abbildung 32 zeigt für den betrachteten Zeitraum die aufgrund des zeitlich variablen
Erdschwerefelds resultierenden mittleren Geoidhöhen.
Abbildung 32: mittlere Geoidhöhen in Metern verursacht durch das zeitlich variable Erdschwerefeld im
Simulationszeitraum von 27 Tagen
Besonders auffällig in Abbildung 32 ist das Minimum in der Mitte Afrikas bei ca. – 5 cm. Zudem fällt
ein Bereich in Südamerika auf, der eine Geoidhöhenänderung von bis zu ± 2 cm erfährt. In den
meisten Gebieten liegen die Änderungen in einem Bereich von unter ± 1cm.
Zunächst werden die Resultate für ein GRACE Paar betrachtet, die in Abbildung 33 und Abbildung
34 veranschaulicht werden.
48

Abbildung 33: Simulationsergebnisse für ein GRACE Paar
im statischen und zeitvariablen Erdschwerefeld.
a) Koeffizientendifferenzen in logarithmischer Darstellung.
b) Geoidhöhendifferenzen in Metern
Abbildung 34: mittlere Amplituden je Grad n und je
Koeffizient für ein GRACE Paar im statischen und
zeitvariablem Erdschwerefeld
Auch hier zeigt die Darstellung der
Koeffizientendifferenzen, dass die zonalen und
nahen-zonalen Koeffizienten gut geschätzt
werden können. Die Resultate der tesseralen
und sektoriellen Koeffizienten sind schlechter.
Abbildung 33b zeigt wiederum die typischen
Nord-Süd-Streifen. Neben der anisotropen
Fehlerstruktur aufgrund der Distanzbeobachtung
ausschließlich entlang der Flugrichtung
entstehen diese nun auch aufgrund des
„temporal aliasing“. Anhand der angewendeten
Skala lässt sich bereits erkennen, dass durch
das Hinzuziehen des zeitlich variablen
Erdschwerefelds die Geoidhöhendifferenzen
deutlich größer werden. Der globale
quadratische Mittelwert der
Geoidhöhendifferenzen beträgt 4,4823 ∙ 10 −3
Meter bei dieser Simulation. In Abbildung 34
zeigt die rote Kurve die mittleren Amplituden je
Grad n und je Koeffizient für die geschätzten
Koeffizienten aus der Simulation im statischen
und zeitvariablen Erdschwerefeld abzüglich der
statischen und mittleren zeitvariablen
Eingangsschwerefelder. Man kann sehen, dass
diese Kurve und die Kurve der formalen Fehler
aus der Simulation im statischen und
zeitvariablen Erdschwerefeld eng beieinander
bzw. teilweise übereinander liegen. Von
Interesse ist in der Darstellung der mittleren
Amplituden je Grad n und je Koeffizient bei
Simulationen mit zeitlich variablem
Erdschwerefeld noch der Schnittpunkt der hier rot
eingezeichneten Kurve (mittlere Amplituden je
Grad n und je Koeffizient für die geschätzten
Koeffizienten aus der Simulation in statischen
und zeitvariablen Erdschwerefeld abzüglich der
statischen und mittleren zeitvariablen
Eingangsschwerefelder) und der hier grün
eingezeichneten Kurve (mittlere Amplitude je
Grad n und je Koeffizient für das zeitvariable
Eingangsschwerefeld). Bis zu diesem Punkt
können durch die simulierten Missionen die
Koeffizienten zufriedenstellend geschätzt
werden. Danach sind die Störeinflüsse zu groß,
49

um die Signale zur Ermittlung der Koeffizientenwerte heraus zu filtern. Denn ab diesem Schnittpunkt
sind die Fehler gleich oder größer als das eigentliche Signal. Dieser Schnittpunkt liegt hier ca. bei
Grad 29. Das Histogramm und die Anzahl an vorgenommenen Beobachtungen sind hier natürlich
identisch mit denen in der Simulation im statischen Erdschwerefeld, da LEOs, Orbits der LEOs und
der Simulationszeitraum gleich sind.
Nun werden die Ergebnisse der Missionen des GNSS-LEO-Trackings vorgestellt. Dabei werden
zunächst die aus den Simulationen resultierenden Koeffizientendifferenzen betrachtet. Diese sind in
Abbildung 35, Abbildung 36 und Abbildung 37 dargestellt.
Die drei Abbildungen zeigen, dass die Koeffizienten mit zunehmender Anzahl der LEOs besser
ermittelt werden können. Der Grund dafür liegt darin, dass mit steigender Anzahl der LEOs mehr
Beobachtungen in die Simulation eingehen. Vergleicht man die beiden Varianten mit einem LEO
untereinander, so kann man erkennen, dass die simulierte Mission mit drei Galileo Satelliten auf drei
verschiedenen Bahnen höhere Koeffizientendifferenzen liefert. Bei Ordnung 16 und 32 fallen hier
markante rote Streifen auf. Diese entsprechen den Vielfachen der Umläufe eines LEOs um die Erde
pro Tag. Im anderen Fall tritt dieser Effekt nicht hervor.
Bei den Varianten mit zwei LEOs fällt dieser Effekt vor allem bei der Mission mit drei Galileo Satelliten
auf drei verschiedenen Bahnen mit LEOs bei 0° und 90° aufsteigendem Knoten zu
Simulationsbeginn (Variante 3_3_2_1EV) auf. Auch 3_1_2_1EV und 3_3_2_2EV zeigen leichte
Anzeichen hierfür. Bei den Varianten mit drei Galileo Satelliten auf einer Bahn (3_1_2_1EV,
3_1_2_2EV) zeigt sich vor allem bei den zonalen Koeffizienten, dass diese bessere Ergebnisse
erzielen als die anderen beiden. In Bezug auf die Variationen der aufsteigenden Knoten der LEOs
lässt sich sagen, dass sich leicht unterschiedliche Ergebnisse erzielen lassen.
Bei den Koeffizientendifferenzen in den Fällen mit drei LEOs zeigen vor allem die Varianten mit drei
Galileo Satelliten auf drei verschiedenen Bahnen den oben beschriebenen Effekt in der Ordnung 16.
Am stärksten ist dies bei der 3_3_3_1EV Mission ausgeprägt. Außerdem zeigt sich, dass in diesen
vier Fällen die zonalen Koeffizienten in den niederen Graden besonders gut geschätzt werden
können.
Abbildung 35: Koeffizientendifferenzen der Simulationsergebnisse mit drei Galileo Satelliten und einem LEO im statischen
und zeitvariablen Erdschwerefeld in logarithmischer Darstellung. a) Variante mit 3 Galileo Satelliten auf einer Bahn. b)
Variante mit 3 Galileo Satelliten auf drei verschiedenen Bahnen.
50

Abbildung 36: Koeffizientendifferenzen der Simulationsergebnisse mit drei Galileo Satelliten und zwei LEOs im statischen
und zeitvariablen Erdschwerefeld in logarithmischer Darstellung. a) Variante mit drei Galileo Satelliten auf einer Bahn und
LEOs bei 0° und 90° aufsteigendem Knoten zum Simulationsbeginn. b) Variante mit drei Galileo Satelliten auf drei
verschiedenen Bahnen und LEOs bei 0° und 90° aufsteigendem Knoten zum Simulationsbeginn. c) Variante mit drei
Galileo Satelliten auf einer Bahn und LEOs bei 0° und 180° aufsteigendem Knoten zum Simulationsbeginn. d) Variante
mit drei Galileo Satelliten auf drei verschiedenen Bahnen und LEOs bei 0° und 180° aufsteigendem Knoten zum
Simulationsbeginn.
Abbildung 37: Koeffizientendifferenzen der Simulationsergebnisse mit drei Galileo Satelliten und drei LEOs im statischen
und zeitvariablen Erdschwerefeld in logarithmischer Darstellung. a) Variante mit drei Galileo Satelliten auf einer Bahn und
LEOs bei 0°, 60° und 120° aufsteigendem Knoten zum Simulationsbeginn. b) Variante mit drei Galileo Satelliten auf drei
verschiedenen Bahnen und LEOs bei 0°, 60° und 120° aufsteigendem Knoten zum Simulationsbeginn. c) Variante mit drei
Galileo Satelliten auf einer Bahn und LEOs bei 0°, 120° und 240° aufsteigendem Knoten zum Simulationsbeginn. d)
Variante mit drei Galileo Satelliten auf drei verschiedenen Bahnen und LEOs bei 0°, 120° und 240° aufsteigendem Knoten
zu Simulationsbeginn.
51

Als zweites sollen nun die mittleren Amplituden je Grad n und je Koeffizient analysiert werden, die
in Abbildung 38, Abbildung 39 und Abbildung 40 dargestellt werden.
Auch in diesen Darstellungen zeigt sich, dass die Resultate mit zunehmender Anzahl an LEOs
besser werden. Dabei ist die Verbesserung im Vergleich von einem LEO zu zwei LEOs größer (um
den Faktor √2) als die im Vergleich von zwei LEOs zu drei LEOs (um den Faktor√3⁄ 2). Außerdem
liegen in allen Fällen die roten über den blauen Kurven und die Kurven der formalen Fehler verlaufen
stets glatter. Die roten Kurven zeigen jeweils in den niederen Graden unregelmäßigere Verläufe als
bei den Missionen nur im statischen Erdschwerefeld.
Abbildung 38: mittlere Amplituden je Grad n und je Koeffizient der Simulationsergebnisse mit drei Galileo Satelliten und
einem LEO im statischen und zeitvariablen Erdschwerefeld in logarithmischer Darstellung. a) Variante mit 3 Galileo
Satelliten auf einer Bahn. b) Variante mit 3 Galileo Satelliten auf drei verschiedenen Bahnen.
Abbildung 39: mittlere Amplituden je Grad n und je Koeffizient der Simulationsergebnisse mit drei Galileo Satelliten und
zwei LEOs im statischen und zeitvariablen Erdschwerefeld in logarithmischer Darstellung. a) Variante mit drei Galileo
Satelliten auf einer Bahn und LEOs bei 0° und 90° aufsteigendem Knoten zum Simulationsbeginn. b) Variante mit drei
Galileo Satelliten auf drei verschiedenen Bahnen und LEOs bei 0° und 90° aufsteigendem Knoten zum Simulationsbeginn.
c) Variante mit drei Galileo Satelliten auf einer Bahn und LEOs bei 0° und 180° aufsteigendem Knoten zum
Simulationsbeginn. d) Variante mit drei Galileo Satelliten auf drei verschiedenen Bahnen und LEOs bei 0° und 180°
aufsteigendem Knoten zum Simulationsbeginn.
52

Abbildung 40: mittlere Amplituden je Grad n und je Koeffizient der Simulationsergebnisse mit drei Galileo Satelliten und
drei LEOs im statischen und zeitvariablen Erdschwerefeld in logarithmischer Darstellung. a) Variante mit drei Galileo
Satelliten auf einer Bahn und LEOs bei 0°, 60° und 120° aufsteigendem Knoten zum Simulationsbeginn. b) Variante mit
drei Galileo Satelliten auf drei verschiedenen Bahnen und LEOs bei 0°, 60° und 120° aufsteigendem Knoten zum
Simulationsbeginn. c) Variante mit drei Galileo Satelliten auf einer Bahn und LEOs bei 0°, 120° und 240° aufsteigendem
Knoten zum Simulationsbeginn. d) Variante mit drei Galileo Satelliten auf drei verschiedenen Bahnen und LEOs bei 0°,
120° und 240° aufsteigendem Knoten zu Simulationsbeginn.
Betrachtet man die Schnittpunkte der roten und grünen Kurven, so kann man sagen, dass bei allen
Varianten dieser Punkt zwischen Grad 40 und Grad 50 liegt. Je mehr LEOs eingesetzt werden, desto
weiter schiebt sich dieser in die Richtung hoher Grade. Innerhalb der Varianten mit identischer
Anzahl an LEOs lassen sich kaum markante Unterschiede erkennen.
Nun werden die Geoidhöhendifferenzen betrachtet. Diese sind in Abbildung 41, Abbildung 42 und
Abbildung 43 dargestellt.
Abbildung 41: Geoidhöhendifferenzen der Simulationsergebnisse mit drei Galileo Satelliten und einem LEO im statischen
und zeitvariablen Erdschwerefeld in Metern. a) Variante mit 3 Galileo Satelliten auf einer Bahn. b) Variante mit 3 Galileo
Satelliten auf drei verschiedenen Bahnen.
53

Abbildung 42: Geoidhöhendifferenzen der Simulationsergebnisse mit drei Galileo Satelliten und zwei LEOs im statischen
und zeitvariablen Erdschwerefeld in Metern. a) Variante mit drei Galileo Satelliten auf einer Bahn und LEOs bei 0° und 90°
aufsteigendem Knoten zum Simulationsbeginn. b) Variante mit drei Galileo Satelliten auf drei verschiedenen Bahnen und
LEOs bei 0° und 90° aufsteigendem Knoten zum Simulationsbeginn. c) Variante mit drei Galileo Satelliten auf einer Bahn
und LEOs bei 0° und 180° aufsteigendem Knoten zum Simulationsbeginn. d) Variante mit drei Galileo Satelliten auf drei
verschiedenen Bahnen und LEOs bei 0° und 180° aufsteigendem Knoten zum Simulationsbeginn.
Abbildung 43: Geoidhöhendifferenzen der Simulationsergebnisse mit drei Galileo Satelliten und drei LEOs im statischen
und zeitvariablen Erdschwerefeld in Metern. a) Variante mit drei Galileo Satelliten auf einer Bahn und LEOs bei 0°, 60°
und 120° aufsteigendem Knoten zum Simulationsbeginn. b) Variante mit drei Galileo Satelliten auf drei verschiedenen
Bahnen und LEOs bei 0°, 60° und 120° aufsteigendem Knoten zum Simulationsbeginn. c) Variante mit drei Galileo
Satelliten auf einer Bahn und LEOs bei 0°, 120° und 240° aufsteigendem Knoten zum Simulationsbeginn. d) Variante mit
drei Galileo Satelliten auf drei verschiedenen Bahnen und LEOs bei 0°, 120° und 240° aufsteigendem Knoten zu
Simulationsbeginn.
54

Tabelle 17 gibt eine Übersicht über die quadratischen Mittelwerte der globalen
Geoidhöhendifferenzen (RMS) aus den Abbildungen 41, 42 und 43 sowie die jeweilige Anzahl an
Beobachtungen, die in die Lösung eingehen:
Variante RMS [m] Anzahl der Beobachtungen
3_1_1_EV 4,0964 ∙ 10 −3 229765
3_3_1_EV 4,1578 ∙ 10 −3 187729
3_1_2_1EV 4,0487 ∙ 10 −3 459546
3_3_2_1EV 3,8456 ∙ 10 −3 381496
3_1_2_2EV 4,0313 ∙ 10 −3 459543
3_3_2_2EV 4,1260 ∙ 10 −3 378816
3_1_3_1EV 3,7618 ∙ 10 −3 574600
3_3_3_1EV 3,7399 ∙ 10 −3 566509
3_1_3_2EV 3,7518 ∙ 10 −3 563121
3_3_3_2EV 3,7036 ∙ 10 −3 563121
Tabelle 16: quadratische Mittelwerte der globalen Geoidhöhendifferenzen in Metern und Anzahl der vorgenommenen
Beobachtungen für Simulationen mit Galileo Satelliten im statischen Erdschwerefeld und einem LEO über 27 Tage
Auch in diesen Darstellungen zeigt sich wieder insgesamt, dass mit zunehmender Anzahl an LEOs
bessere Resultate erzielt werden. Die quadratischen Mittelwerte der globalen
Geoidhöhendifferenzen liegen alle in derselben Größenordnung. Die Tatsache, dass für die
Darstellung der Geoidhöhendifferenzen aus den Simulationen mit statischem und zeitvariablem
Erdschwerefeld ein größerer Wertebereich herangezogen werden muss, zeigt, dass hier insgesamt
höhere Werte auftreten. Es ist also hier schwerer, die Koeffizienten zu ermitteln. Meistens sind die
hier auftretenden Werte global fast einheitlich verteilt. Nur gelegentlich zeigen sich Extremwerte.
In Bezug auf die Varianten mit einem LEO lässt sich sagen, dass die 3_3_1_EV Mission
vergleichsweise schlechtere Resultate liefert. Gerade in den höheren Breitengraden treten hier
größere Differenzwerte auf.
Bei den Simulationsergebnissen mit zwei LEOs liefert die 3_3_2_1EV Variante die besten Resultate.
Die Varianten 3_1_2_1EV und 3_3_2_2EV fallen vor allem durch kurze Streifen mit stark
unterschiedlichen Werten in einem Gebiet im Pazifik auf. Bei der 3_1_2_2EV Mission lässt sich ein
derartiges Muster nicht erkennen. Man kann anhand der vier Resultate sehen, dass nun die höheren
Frequenzen deutlicher hervortreten und die langwelligen Fehler in den Hintergrund treten.
Die Varianten mit drei LEOs sind vergleichsweise sehr ähnlich zueinander und weisen fast nur noch
ähnliche Werte auf. Einflüsse aufgrund langwelliger Fehler sind hier nicht zu erkennen. Nur in den
Missionsergebnissen mit drei Galileo Satelliten auf einer Bahn ist in einem kleinen Gebiet im Pazifik
ein Muster mit extremalen Werten angedeutet. Die quadratischen Mittelwerte der globalen
Geoidhöhendifferenzen nehmen hier fast identische Werte an.
Abschließend werden noch die Histogramme dieser Simulationsgruppe betrachtet. Diese werden in
Abbildung 44 und Abbildung 45 graphisch dargestellt. Das Histogramm für die Variante 3_1_1_EV
ist Abbildung 28b zu entnehmen und das für Varianten 3_3_1_EV Abbildung 28c.
55

Abbildung 44: Histogramm der Simulationsergebnisse mit drei Galileo Satelliten und zwei LEOs im statischen und
zeitvariablen Erdschwerefeld in logarithmischer Darstellung. a) Variante mit drei Galileo Satelliten auf einer Bahn und
LEOs bei 0° und 90° aufsteigendem Knoten zum Simulationsbeginn. b) Variante mit drei Galileo Satelliten auf drei
verschiedenen Bahnen und LEOs bei 0° und 90° aufsteigendem Knoten zum Simulationsbeginn. c) Variante mit drei
Galileo Satelliten auf einer Bahn und LEOs bei 0° und 180° aufsteigendem Knoten zum Simulationsbeginn. d) Variante
mit drei Galileo Satelliten auf drei verschiedenen Bahnen und LEOs bei 0° und 180° aufsteigendem Knoten zum
Simulationsbeginn.
Abbildung 45: Histogramm der Simulationsergebnisse mit drei Galileo Satelliten und drei LEOs im statischen und
zeitvariablen Erdschwerefeld in logarithmischer Darstellung. a) Variante mit drei Galileo Satelliten auf einer Bahn und
LEOs bei 0°, 60° und 120° aufsteigendem Knoten zum Simulationsbeginn. b) Variante mit drei Galileo Satelliten auf drei
verschiedenen Bahnen und LEOs bei 0°, 60° und 120° aufsteigendem Knoten zum Simulationsbeginn. c) Variante mit drei
Galileo Satelliten auf einer Bahn und LEOs bei 0°, 120° und 240° aufsteigendem Knoten zum Simulationsbeginn. d)
Variante mit drei Galileo Satelliten auf drei verschiedenen Bahnen und LEOs bei 0°, 120° und 240° aufsteigendem Knoten
zu Simulationsbeginn.
56

Insgesamt lässt sich sagen, dass, wie Tabelle 17 zu entnehmen ist, in allen Fällen eine hohe Anzahl
an Beobachtungen vorgenommen wird. Bei Varianten mit drei Galileo Satelliten auf einer Bahn
werden im Vergleich zu den anderen analogen Varianten mehr Beobachtungen vorgenommen.
Natürlich steigt die Anzahl der Beobachtungen mit der Anzahl der LEOs. Es lassen sich zwar
gewisse linienförmige Muster in den Histogrammen erkennen. Diese sind aber wenig signifikant. Die
Histogramme zeigen auch, dass die Beobachtungen global homogen verteilt sind. Dies
korrespondiert mit den Darstellungen der Geoidhöhendifferenzen. Auffällig ist Abbildung 45d: dort
gibt es meist sehr viele Beobachtungen; aber dazwischen befinden sich linienhafte Lücken. Dennoch
gehen ausreichend viele Beobachtungen in die Schätzung der Koeffizienten ein, um gute Resultate
zu erhalten.
Zusammenfassend kann gesagt werden, dass jede dieser Missionen in dieser Gruppe
zufriedenstellende Ergebnisse liefert und bessere Resultate erzielen kann als das vorgestellte
GRACE Paar.
Im folgenden Kapitel soll die Leistungsfähigkeit dieser Missionen für einen kürzeren
Simulationszeitraum untersucht werden.
6.5 Simulationen im statischen und zeitvariablen Erdschwerefeld für wenige
Tage
Nachdem gezeigt wurde, dass im statischen und zeitvariablen Erdschwerefeld die simulierten
Missionen durchaus zufriedenstellende Resultate liefern, soll im Folgenden untersucht werden, wie
leistungsfähig die Methode des GNSS-LEO-Trackings in einem Zeitraum von wenigen Tagen ist.
Damit könnte eine wesentlich höhere zeitliche Auflösung der Schwerefeldabtastung erzielt werden.
Daher wird für die Simulationen der Zeitraum auf fünf Tage verkürzt. In den hier untersuchten
Missionen werden nur noch Varianten betrachtet, die drei Galileo Satelliten auf einer Bahn und LEOs
mit eingeschränktem Sichtspektrum besitzen. Dabei variieren die Missionen untereinander in Bezug
auf die Anzahl der LEOs sowie die aufsteigenden Knoten. Die simulierten Missionen besitzen
entweder einen LEO oder zwei oder drei oder fünf LEOs. Die Resultate werden nun wie in den
vorangegangenen Kapiteln dargestellt und analysiert.
Zu Beginn sind wieder die Koeffizientendifferenzen dargestellt, die in Abbildung 46 und Abbildung
47 zu sehen sind.
Auf den ersten Blick wirken die Darstellungen hier so, als würden sehr schlechte Ergebnisse erzielt
werden. Man muss sich aber vor Augen halten, dass der Simulationszeitraum hier 22 Tage kürzer
ist als in den vorangegangenen Tests und daher selbstverständlich vergleichsweise schlechtere
Resultate auftreten. Für die Darstellung dieser Simulationen sind bewusst dieselben Wertebereiche
wie in den vorangegangenen simulierten Missionen angewandt worden, um die Vergleichbarkeit
besser zu gewährleisten. Natürlich werden auch hier wieder mit zunehmender Anzahl der LEOs die
erhaltenen Resultate besser. In allen Abbildungen kann man sehen, dass die zonalen Koeffizienten
am besten ermittelt werden können.
57

Abbildung 46: Koeffizientendifferenzen der Simulationsergebnisse mit drei Galileo Satelliten auf einer Bahn im statischen
und zeitvariablen Erdschwerefeld in logarithmischer Darstellung. a) Variante mit einem LEO. b) Variante mit zwei LEOs
mit aufsteigenden Knoten bei 0° und 90° zu Simulationsbeginn. c) Variante mit zwei LEOs mit aufsteigenden Knoten bei
0° und 180° zu Simulationsbeginn.
Abbildung 47: Koeffizientendifferenzen der Simulationsergebnisse mit drei Galileo Satelliten auf einer Bahn im statischen
und zeitvariablen Erdschwerefeld in logarithmischer Darstellung. a) Variante mit drei LEOs mit aufsteigendem Knoten bei
0°, 60° und 120° zu Simulationsbeginn. b) Variante mit drei LEOs mit aufsteigendem Knoten bei 0°, 120° und 240° zu
Simulationsbeginn. c) Variante mit fünf LEOs mit aufsteigendem Knoten bei 0°, 36°, 72° 108° und 144° zu
Simulationsbeginn. d) Variante mit fünf LEOs mit aufsteigendem Knoten bei 0°, 72°, 144°, 216° und 288° zu
Simulationsbeginn.
58

In den Abbildungen 47b und 47d kann man die in Kapitel 6.4 angesprochenen Streifen bei Ordnung
16 leicht angedeutet sehen. Abbildung 47c zeigt in den niederen Graden zufriedenstellende Werte
für die Koeffizienten. In allen Varianten sind die Koeffizienten mit hohem Grad und Ordnung am
schlechtesten ermittelt. Im Vergleich der Varianten mit gleicher Anzahl an LEOs zueinander kann
man keine markanten Unterschiede erkennen, die Aussagen zulassen würden, dass eine Variante
besser wäre als eine andere.
Die mittleren Amplituden je Grad n und je Koeffizient werden in den Abbildungen 48 und 49
dargestellt.
In allen Fällen liegen die Schnittpunkte der Kurven der zeitvariablen Erdschwerefeldsignale (grüne
Kurve) und der Kurven der aus den Simulationen resultierenden Koeffizienten abzüglich der
Koeffizienten des statischen Eingangsschwerefelds und der Koeffizienten des zeitvariablen
Eingangsschwerefelds (rote Kurve) bei höheren Graden als bei der Simulation mit einem GRACE
Paar nach 27 Tagen im statischen und zeitvariablen Erdschwerefeld. Auch hier kann wieder bei den
Missionen des GNSS-LEO-Trackings erkannt werden, dass mit zunehmender Anzahl der LEOs der
markante Schnittpunkt in die höheren Grade wandert. In allen Varianten außer 3_1_5_2EV5 kann
man eine Spitze im Verlauf der roten Kurve bei Grad 16 erkennen. Außerdem ist zu sehen, dass bei
allen simulierten Missionen insgesamt ähnliche Werte resultieren. Natürlich merkt man auch hier
einen Zusammenhang zwischen Anzahl der LEOs und erzielten Werten. Die Kurven der formalen
Fehler (blaue Kurve) liegen in jedem Fall deutlich unter den roten Kurven.
Abbildung 48: mittlere Amplituden je Grad n und je Koeffizient der Simulationsergebnisse mit drei Galileo Satelliten auf
einer Bahn im statischen und zeitvariablen Erdschwerefeld in logarithmischer Darstellung. a) Variante mit einem LEO. b)
Variante mit zwei LEOs mit aufsteigenden Knoten bei 0° und 90° zu Simulationsbeginn. c) Variante mit zwei LEOs mit
aufsteigenden Knoten bei 0° und 180° zu Simulationsbeginn.
59

Abbildung 49: mittlere Amplituden je Grad n und je Koeffizient der Simulationsergebnisse mit drei Galileo Satelliten auf
einer Bahn im statischen und zeitvariablen Erdschwerefeld in logarithmischer Darstellung. a) Variante mit drei LEOs mit
aufsteigendem Knoten bei 0°, 60° und 120° zu Simulationsbeginn. b) Variante mit drei LEOs mit aufsteigendem Knoten
bei 0°, 120° und 240° zu Simulationsbeginn. c) Variante mit fünf LEOs mit aufsteigendem Knoten bei 0°, 36°, 72° 108° und
144° zu Simulationsbeginn. d) Variante mit fünf LEOs mit aufsteigendem Knoten bei 0°, 72°, 144°, 216° und 288° zu
Simulationsbeginn.
Abbildung 50: mittlere Geoidhöhen in Metern verursacht durch das zeitlich variable Erdschwerefeld im
Simulationszeitraum von 5 Tagen
60

Abbildung 51: Geoidhöhendifferenzen der Simulationsergebnisse mit drei Galileo Satelliten auf einer Bahn im statischen
und zeitvariablen Erdschwerefeld. a) Variante mit einem LEO. b) Variante mit zwei LEOs mit aufsteigenden Knoten bei 0°
und 90° zu Simulationsbeginn. c) Variante mit zwei LEOs mit aufsteigenden Knoten bei 0° und 180° zu Simulationsbeginn.
Abbildung 52: Geoidhöhendifferenzen der Simulationsergebnisse mit drei Galileo Satelliten auf einer Bahn im statischen
und zeitvariablen Erdschwerefeld. a) Variante mit drei LEOs mit aufsteigendem Knoten bei 0°, 60° und 120° zu
Simulationsbeginn. b) Variante mit drei LEOs mit aufsteigendem Knoten bei 0°, 120° und 240° zu Simulationsbeginn. c)
Variante mit fünf LEOs mit aufsteigendem Knoten bei 0°, 36°, 72° 108° und 144° zu Simulationsbeginn. d) Variante mit
fünf LEOs mit aufsteigendem Knoten bei 0°, 72°, 144°, 216° und 288° zu Simulationsbeginn.
61

Die Veränderungen der Geoidhöhen aufgrund des zeitlich variablen Erdschwerefelds innerhalb der
betrachteten fünf Tage zeigt Abbildung 50.
Auf den ersten Blick sieht man, dass sich dieses Bild in Bezug auf Muster, Wertebereich und
auffällige Stellen kaum von dem Bild der Veränderungen der Geoidhöhen aufgrund des zeitlich
variablen Schwerefelds im Simulationszeitraum von 27 Tagen (Abbildung 32) unterscheidet.
Lediglich ein dunkelroter Bereich im Norden Europas verändert sich. Dies ist vermutlich auf sich
verändernde Einflüsse der Atmosphäre zurückzuführen. In den meisten Gebieten liegen die
Änderungen in einem Bereich von unter ± 1cm.
Die Abbildungen 51 und 52 zeigen die Geoidhöhendifferenzen für die Simulationen im Zeitraum von
fünf Tagen.
Tabelle 18 gibt eine Übersicht über die quadratischen Mittelwerte der globalen
Geoidhöhendifferenzen aus den Abbildungen 51 und 52 sowie die jeweilige Anzahl an
Beobachtungen, die in die Lösung eingehen:
Variante RMS [m] Anzahl der Beobachtungen
3_1_1_EV5 4,4392 ∙ 10 −3 42922
3_1_2_1EV5 3,8059 ∙ 10 −3 85862
3_1_2_2EV5 3,7259 ∙ 10 −3 85746
3_1_3_1EV5 3,4895 ∙ 10 −3 106862
3_1_3_2EV5 3,5488 ∙ 10 −3 105306
3_1_5_1EV5 3,2658 ∙ 10 −3 179812
3_1_5_2EV5 3,3471 ∙ 10 −3 178353
Tabelle 18: quadratische Mittelwerte der globalen Geoidhöhendifferenzen in Metern und Anzahl der vorgenommenen
Beobachtungen für Simulationen mit einem Simulationszeitraum von fünf Tagen
Variante 3_1_5_1EV5 liefert den besten Wert für die quadratischen Mittelwerte der globalen
Geoidhöhendifferenzen. Auch die Darstellung der Geoidhöhendifferenzen für diese Mission zeigt
vergleichsweise die besten Ergebniswerte. Lediglich in den polaren Regionen lassen sich geringe
fleckige Flächen erkennen. In den übrigen Regionen sind die Differenzen homogen. Bei allen
anderen Varianten gibt es markante Regionen mit extremalen Werten. Während diese Regionen
bei der Variante mit einem LEO noch global und sehr häufig auftreten, sind sie bei den Varianten
mit zwei LEOs schon deutlich reduziert. Diese werden mit zunehmender Anzahl der LEOs immer
geringer. Bei den Varianten mit zwei LEOs fällt auf, dass sich die Bereiche mit den extremalen
Werten entlang der Nordhalbkugel in einem Bereich bestimmter Breitengrade aneinander reihen. In
Abbildung 52b sind Gebiete mit Extremwerten auch im Äquatorbereich zu sehen. Bei den Varianten
mit fünf LEOs werden nur Werte im Bereich von ± 1cm angenommen.
Abschließend zeigen die Abbildungen 53 und 54 die Histogramme der Missionen.
62

Abbildung 52: Histogramme für die Positionen der LEOs über der Erde bei Simulationen mit drei Galileo Satelliten auf
einer Bahn im statischen und zeitvariablen Erdschwerefeld in logarithmischer Darstellung. a) Variante mit einem LEO. b)
Variante mit zwei LEOs mit aufsteigenden Knoten bei 0° und 90° zu Simulationsbeginn. c) Variante mit zwei LEOs mit
aufsteigenden Knoten bei 0° und 180° zu Simulationsbeginn.
Abbildung 53: Histogramme für die Positionen der LEOs über der Erde bei Simulationen mit drei Galileo Satelliten auf
einer Bahn im statischen und zeitvariablen Erdschwerefeld in logarithmischer Darstellung. a) Variante mit drei LEOs mit
aufsteigendem Knoten bei 0°, 60° und 120° zu Simulationsbeginn. b) Variante mit drei LEOs mit aufsteigendem Knoten
bei 0°, 120° und 240° zu Simulationsbeginn. c) Variante mit fünf LEOs mit aufsteigendem Knoten bei 0°, 36°, 72° 108° und
144° zu Simulationsbeginn. d) Variante mit fünf LEOs mit aufsteigendem Knoten bei 0°, 72°, 144°, 216° und 288° zu
Simulationsbeginn.
63

Natürlich zeigen die Histogramme mit zunehmender Anzahl an LEOs mehr Werte, da auch mehr
Beobachtungen durchgeführt wurden. In allen Fällen kann man sehen, dass die Beobachtungen
homogen global verteilt sind. Dies korrespondiert mit den Darstellungen der Geoidhöhendifferenzen,
in denen auch kaum Variationen in den Differenzwerten zu erkennen sind. Bei den Varianten mit
zwei LEOs kann man schon von einer für die Verhältnisse guten globalen Verteilung sprechen. Bei
den Missionen mit drei LEOs sind schon deutlich Positionen zu erkennen, an denen mehrmals
Beobachtungen zu Stande kommen. Noch mehr Beobachtungen an mehreren Positionen werden
bei den simulierten Missionen mit fünf LEOs vorgenommen. Dennoch sind hier noch deutlich
Bereiche zu sehen, in denen keine Beobachtungen möglich sind. In Abbildung 53d kann man ganz
leicht ein Muster mit Nord-Süd Streifen erkennen.
Zusammenfassend lässt sich für diese Simulationsgruppe sagen, dass alle getesteten Varianten
zufriedenstellende Ergebnisse liefern.
64

7 Abschließende Betrachtungen
Nachdem im vorangegangenen Kapitel die Ergebnisse der Simulationen mit Hilfe von graphischen
Darstellungen vorgestellt wurden, soll nun in Kapitel 7.1 ein Fazit über alle Simulationen gezogen
werden. In Abschnitt 7.2 wird abschließend noch ein Ausblick gegeben, wie es mit den
Untersuchungen der Methode des GNSS-LEO-Trackings weiter gehen könnte.
7.1 Abschließende Diskussion der Ergebnisse
In diesem Abschnitt soll die Arbeit abschließend betrachtet werden. Ziel dieser Arbeit war es, die
Eignung des Konzepts des GNSS-LEO-Trackings als mögliche zukünftige Schwerefeldmission zu
untersuchen. Ein besonderes Augenmerk liegt hierbei auf der Untersuchung der Leistungsfähigkeit
dieses Konzepts für die Messung des zeitvariablen Erdschwerefelds. Hierzu wird im Folgenden die
Arbeit als Ganzes rekapituliert.
In Kapitel 2 wurden die theoretischen Grundlagen der satellitengestützten Schwerefeldmessung
vorgestellt. Zu diesen gehört zuerst die Darstellung des Potentials des Erdschwerefelds in sphärisch
harmonischer Reihendarstellung, deren Koeffizienten {C̅nm, S̅nm} es anhand von Beobachtungen im
Schwerefeld zu schätzen gilt. Diese Koeffizienten und deren zugehörige Genauigkeitswerte sind
Bestandteile des Eingangsschwerefelds und des aus der Simulation resultierenden Schwerefelds.
Somit können anhand der Differenzen der beiden Schwerefelder Rückschlüsse auf die
Leistungsfähigkeit der simulierten Mission gezogen werden. Nach der Darstellung der
mathematischen Grundlagen erfolgte eine Vorstellung bisher durchgeführter und geplanter
möglicher Missionen. Hierbei ist vor allem die GETRIS Mission zu erwähnen, die als Vorlage für
diese Arbeit dient. Sie beinhaltet ein Konzept des Trackings zwischen GEOs und LEOs.
Der Missionssimulator und die Datengrundlagen wurden in Kapitel 3 erläutert. Der in dieser Arbeit
verwendete Missionssimulator basiert auf der Methode der closed-loop Simulation, bei der
schließlich die Leistungsfähigkeit der Mission anhand eines Vergleichs zwischen den in den
Simulator eingelesenen Schwerefeldern und dem ausgegebenen Schwerefeld beurteilt werden
kann. Außerdem wurden in diesem Kapitel die verwendeten Eingangsschwerefelder vorgestellt
sowie die Annahmen bezüglich der Satellitenbahnen.
Kapitel 4 stellte die Grundlagen des in dieser Arbeit untersuchten Konzepts des GNSS-LEO-
Trackings für eine mögliche zukünftige satellitengestützte Schwerefeldmission dar. Ein zentraler
Aspekt dieses Konzepts ist die Frage, wann eine Beobachtung zwischen einem LEO und einem
GNSS Satelliten möglich ist. Hierbei werden zwei Fälle unterschieden. In einem Fall können sowohl
der GNSS Satellit als auch der LEO theoretisch überall in den Raum sehen. Im anderen Fall besteht
eine Einschränkung in Bezug auf das Sichtspektrum des LEOs. Für die in dieser Arbeit
durchgeführten Simulationen wird ein Elevationswinkel von 15° bei Varianten mit eingeschränktem
Sichtspektrum des LEOs angesetzt.
Eine Übersicht über die in dieser Arbeit vorgestellten Simulationen wird in Kapitel 5 gegeben. Grob
lassen sich die Simulationen in drei Gruppen einteilen: Simulationen im statischen Erdschwerefeld
für einem Zeitraum von 27 Tagen, Simulationen im statischen und zeitvariablen Erdschwerefeld für
65

einem Zeitraum von 27 Tagen und Simulationen im statischen und zeitvariablen Erdschwerefeld für
einem Zeitraum von 5 Tagen.
In Kapitel 6 wurden die Ergebnisse der Simulationen vorgestellt. Bei den Simulationen im statischen
Erdschwerefeld wurde stets ein LEO verwendet und die Art des Sichtspektrum des LEOs, der Typ
der GNSS Satelliten, die Anzahl der GNSS Satelliten sowie der verwendeten Bahnen variiert. Dabei
hat sich gezeigt, dass mit zunehmender Anzahl der GNSS Satelliten zunehmend bessere
Ergebnisse erzielt werden können. Außerdem zeigte sich beim Vergleich der korrespondierenden
Varianten, dass sich im Fall des uneingeschränkten Sichtspektrums des LEOs bessere Resultate
erreichen lassen. Darüber hinaus konnte gezeigt werden, dass sich hinsichtlich der
Bodenabdeckung zum Teil markante Unterschiede zwischen den Missionen mit GPS Satelliten und
denen mit Galileo Satelliten erkennen lassen. Dies ist vor allem bei den Varianten mit jeweils zwei
GNSS auf einer Bahn in Bezug auf die Leistungsfähigkeit der Fall. Ein Grund hierfür kann in den
Umlaufzeiten der GNSS Satelliten liegen. Dies ist besonders beim Vergleich der Histogramme zu
erkennen. Während bei Missionen mit Galileo Satelliten eine homogene globale Verteilung der
Beobachtungen zu sehen ist, zeichnen sich bei Missionen mit GPS Satelliten sehr auffällige Muster
ab. Zusätzlich konnte auch gezeigt werden, dass für eine gute Leistungsfähigkeit der Mission es
nicht zwingend erforderlich ist, dass der LEO permanent Sichtverbindung zu einem GNSS Satelliten
hat. Schließlich konnte unter Annahme von weißem Rauschen gezeigt werden, dass das
Missionskonzept des GNSS-LEO-Trackings in fast allen Varianten bessere Resultate liefert als ein
GRACE Paar mit gleicher Genauigkeitsannahme der Beobachtungen.
Für die Untersuchungen im statischen und zeitvariablen Erdschwerefeld wurden nur noch Varianten
mit drei Galileo Satelliten und eingeschränktem Sichtspektrum des LEOs verwendet, da diese im
Vergleich zu den anderen simulierten Missionen am realistischsten für eine tatsächliche Umsetzung
sind. In dieser Simulationsgruppe werden Variationen in der Anzahl der LEOs sowie in den
aufsteigenden Knoten zu Beginn der Simulationen vorgenommen. Es zeigt sich, dass mit
zunehmender Anzahl der LEOs die Leistungsfähigkeit der simulierten Mission steigt. Außerdem
lässt sich erkennen, dass in allen analysierten Simulationsergebnissen die geschätzten Ergebnisse
global homogen verteilt sind und keine Gebiete auf der Erde vorhanden sind, die besonders durch
schlechte Werte auffallen. Darüber hinaus weisen die Ergebnisse nicht darauf hin, dass bei
Konfigurationen mit drei GNSS Satelliten auf einer Bahn enorm bessere Ergebnisse resultieren als
bei Konfigurationen mit drei GNSS Satelliten auf drei unterschiedlichen Bahnen. Dennoch sind hier
Unterschiede in der Leistungsfähigkeit zu erkennen. Im Übrigen können Auffälligkeiten bei den
Koeffizienten von Ordnungen, die einem Vielfachen der täglichen Anzahl der Umläufe des LEOs
entsprechen, erkannt werden. Zusätzlich konnte wieder unter Annahme von weißem Rauschen
gezeigt werden, dass alle hier untersuchten Varianten bessere Ergebnisse liefern als ein GRACE
Paar mit gleicher Beobachtungsgenauigkeit.
In der letzten Untersuchungsgruppe wurde der Untersuchungszeitraum im statischen und
zeitvariablen Erdschwerefeld auf fünf Tage verkürzt und es wurden nur noch Simulationen mit drei
Galileo Satelliten auf einer Bahn verwendet. Variationen wurden hier in Bezug auf die Anzahl der
LEOs sowie auf die aufsteigenden Knoten zum Simulationsbeginn vorgenommen. Auch hier zeigt
sich wieder, dass mit zunehmender Anzahl an LEOs bessere Resultate zu erzielen sind. Außerdem
lassen sich auch wieder Auffälligkeiten in den Graden, die einem Vielfachen der täglichen Anzahl
der Umläufe des LEOs pro Tag entsprechen, erkennen. Darüber hinaus kann aus den Ergebnissen
bei gleicher Anzahl an LEOs, aber unterschiedlichen aufsteigenden Knoten zu Simulationsbeginn
66

nicht auf Unterschiede in der Leistungsfähigkeit der simulierten Mission geschlossen werden. Es
kommt darauf an, welches Signal von welchem Satelliten registriert wird. Bei einem Missionskonzept
mit drei Galileo Satelliten auf einer Bahn und fünf LEOs mit eingeschränktem Sichtspektrum von 15°
Elevation kann man innerhalb von fünf Tagen ein homogen global gut geschätztes Erdschwerefeld
erhalten, das keine Gebiete mit großen Fehlern enthält.
7.2 Ausblick
Der letzte Abschnitt dieser Arbeit befasst sich mit weitern Möglichkeiten der Untersuchung des
GNSS-LEO-Trackings Missionskonzept. Denn vor einer Verwirklichung dieses Konzepts müssen
noch weitere Analysen vorgenommen werden und einige in dieser Arbeit getroffene
Vereinfachungen dürfen hierfür nicht aufrechterhalten werden.
Dies gilt zum Beispiel für das Rauschen. In dieser Arbeitet wurde weißes Rauschen verwendet. Da
aber in Wirklichkeit Beobachtungen miteinander korreliert sind, sollte, um noch realistischere
Ergebnisse zu erhalten, farbiges Rauschen verwendet werden.
Außerdem könnten Simulationen durchgeführt werden, bei denen die hier vereinfachten Annahmen
bezüglich der Bahnparameter entfallen.
In Bezug auf die verwendeten Satellitenkonfigurationen wären auch Varianten denkbar, die mehrere
Typen von GNSS (zum Beispiel GPS und Galileo) gemeinsam beinhalten. Auch alternative
Konfigurationen, die jeweils nur einen Typ von GNSS besitzt, wären denkbar. So könnte
beispielsweise eine Untersuchung vorgenommen werden, die stets drei GNSS Satelliten betrachtet
und in der Anzahl der Satelliten je Bahn sowie in den verwendeten Bahnen variiert. Natürlich könnten
solche Untersuchungen analog in Bezug auf die LEOs durchgeführt werden.
Darüber hinaus könnten die zeitlich variablen Signale, die in die Simulation eingehen, genauer
studiert werden und somit im Anschluss daran genauere Analysen der Resultate vorgenommen
werden. So könnten Aussagen darüber getroffen werden, welche Art von Signal sich auf welche
Weise in den Ergebnissen wiederspiegelt.
Auch das Einbeziehen von Einflüssen der Ozeangezeiten stellt eine Möglichkeit dar, realistischere
Simulationsergebnisse zu erhalten und den Fehlereinfluss des „temporal aliasing“ näher zu
studieren.
Ein anderer möglicher Untersuchungsansatz wäre zu testen, wann das in dieser Arbeit untersuchte
Konzept an seine Leistungsgrenzen stößt. Ein mögliches Vorgehen wäre dabei den
Simulationszeitraum immer weiter zu verkürzen, bis die Koeffizienten derart schlecht geschätzt
werden, dass sie keine Verwendung finden könnten.
Schließlich könnte noch ein bedeutender Aspekt der satellitengestützten Erdschwerefeldmessung
untersucht werden: die Höhe des LEOs. Umso näher der LEO an der Erde ist, umso besser können
die Koeffizienten der höheren Grade geschätzt werden. Hier gilt es immer einen Kompromiss zu
finden zwischen dem Wunsch, die Koeffizienten möglichst gut zu schätzten und den zunehmenden
Kräften, die auf den LEO mit abnehmender Flughöhe wirken. Es wäre zu untersuchen, wie sich die
Leistungsfähigkeit des GNSS-LEO-Trackings Missionskonzepts bei Variationen in der Höhe des
LEOs ändert.
67

Zum Abschluss lässt sich somit sagen, dass die Ergebnisse darauf schließen lassen, dass das
GNSS-LEO-Missionskonzept eine erfolgversprechende Alternative für eine zukünftige Satelliten-
Schwerefeldmission darstellt.
68

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70

Eidesstattliche Erklärung mit Unterschrift
Ich erkläre an Eides statt, dass ich die vorliegende Bachelor's Thesis, selbständig und ohne
unzulässige fremde Hilfe angefertigt habe. Die verwendeten Literaturquellen sind im
Literaturverzeichnis vollständig aufgeführt.
München, den 22.07.2013
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