Trigonometrie - hep verlag

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Inhaltsverzeichnis 1 Rechtwinklige Dreiecke Seite 6 1.1 Satz des Pythagoras Seite 6 2 Winkelmessung und Einheitskreis Seite 13 2.1 Winkelmessung Seite 13 2.2 Einheitskreis Seite 14 3 Trigonometrie rechtwinkliger Dreiecke Seite 15 3.1 Grundlagen der Trigonometrie Seite 15 3.2 Betrachtungswinkel in rechtwinkligen Dreiecken Seite 15 3.3 Bespiel aus dem Alltag – Steigung m Seite 16 3.4 Überblick der vier trigonometrischen Funktionen Seite 18 3.5 Überblick Formeln Seite 19 3.6 Beispiele von Berechnungen rechtwinkliger Dreiecke Seite 20 3.7 Darstellung der Winkelfunktionen im I. Quadranten Seite 26 3.8 Zusammenfassung der trigonometrischen Funktionen Seite 29 4 Trigonometrische Funktionen von Winkeln über 90° Seite 30 4.1 Begriff der Winkelfunktionen über 90° Seite 30 4.2 Der Sinussatz Seite 33 4.3 Beispiele zum Sinussatz Seite 35 4.4 Der Kosinussatz Seite 37 4.5 Beispiele zum Kosinussatz Seite 38 4.6 Vermischte Aufgaben Seite 40 Lösungen zu den Übungen Seite 41 Trigonometrie Seite 5
1 Rechtwinklige Dreiecke Dreiecke, die einen rechten Winkel besitzen, spielen in der Geometrie eine besondere Rolle. Einmal wegen ihrer leichten Konstruierbarkeit (Thaleskreis), zum anderen weil ihre Seiten in einer rechnerischen Beziehung zueinander stehen, was insbesondere im Lehrsatz des Pythagoras zur Geltung kommt. Dieses Wissen wurde für Konstruktionen und Berechnungen verwendet, beispielsweise beim Bau der Pyramiden. 1.1 Satz des Pythagoras Der Grieche Pythagoras lebte von ca. 570 v.Chr. bis 500 v.Chr. Er gründete in Kroton (Unteritalien) einen Bund mit religiösen, wissenschaftlichen, politischen und ethischen Zielen (Pythagoreer). Man geht jedoch davon aus, dass der berühmte „Satz des Pythagoras“ schon 1700 v.Chr. von den Babyloniern angewandt wurde. Mit dem Satz des Pythagoras lässt sich eine Seite eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen, wenn die beiden anderen Seiten bekannt sind. Die Addition aller Winkel in einem Dreieck ergibt bekanntlich 180°. Da bei rechtwinkligen Dreiecken der rechte Winkel 90° beträgt, ist die Summe der beiden anderen Winkel immer 180° − 90° = 90°. Mit Ausnahme des rechten Winkels müssen beim Satz des Pythagoras keine anderen Winkel bekannt sein. Bei der Bezeichnung rechtwinkliger Dreiecke gilt: • Wie bei allen Dreiecken werden die drei Seiten a , b und c im Gegenuhrzeigersinn angeschrieben. • Die längste Seite wird als Hypotenuse bezeichnet. Sie liegt immer dem rechten Winkel gegenüber. Üblicherweise wird sie als die Seite c angegeben. • Die beiden anderen Seiten a und b werden als Katheten bezeichnet. Sie bilden zusammen den rechten Winkel. Trigonometrie Seite 6
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