12 Die komplexen Zahlen

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sondern genau n verschiedene Wurzeln, was wir durch einen Index kennzeichnen:
( √ n
)
z = ( z 1/n) ( (r = ) )
k k · e
iϕ 1/n
:= ( r · e i(ϕ+2kπ)) 1/n
k
= r 1/n · e i(ϕ+2kπ)/n = r 1/n · e iϕ/n · e 2ikπ/n , k = 0, 1, . . ., n − 1, (12.16)
wobei für die konkrete Ausrechnung einer der letzten beiden Ausdrücke zur Auswahl steht.
Dass die genannten n Werte für k reichen, sieht man sofort, wenn man zu k ein ganzzahliges
Vielfaches von n addiert:
e i(ϕ+2(k+nl)π)/n = e i(ϕ+2kπ)/n · e 2nlπi/n = e i(ϕ+2kπ)/n · e 2lπi = e i(ϕ+2kπ)/n · 1 = e i(ϕ+2kπ)/n
für l ∈ Z. Nun ist aber die in (12.16) benutzte Potenzierung einer komplexen Zahl mit einem
Exponenten /∈ Z eigentlich noch nicht erlaubt. Wir können mit Hilfe von (12.4) aber leicht
klären, dass mit (12.16) tatsächlich alle Lösungen der Gleichung w n ! = z erfasst sind:
Wir prüfen dazu, wann eine beliebige komplexe Zahl ≠ 0, die wir durch wir durch
w := ̺1/n · e iϕ/n · e 2ikπ/n , ̺ > 0, k ∈ R,
darstellen können, eine Lösung der Gleichung w n ! = z ist: Aus (12.4) folgt
w n = (̺1/n) n (
e
iϕ/n ) n (
e
2ikπ/n ) n
= ̺n/n · e inϕ/n · e 2iknπ/n = ̺ · e iϕ · e 2ikπ = z · ̺
r · e2ikπ = z
⇔ ̺ = r ∧ k ∈ Z .
Da wir oben gezeigt haben, dass man k noch weiter einschränken kann, erhalten wir, dass mit
den (12.16) angegebenen komplexen Zahlen alle Lösungen von w n ! = z erfasst sind.
Beispiel 12.8 Es sollen die dritten Wurzeln der komplexen Zahl (−1 + 2i) bestimmt werden.
Dazu brauchen wir die bereits in Beispiel 12.6 bestimmte Polardarstellung:
−1 + 2i = √ 5 · e 2.03i .
Damit gilt
( 3√ −1 + 2i) k = ( √ 5) 1/3 · e i(2.03+2kπ)/3 = 6√ 5
und wir erhalten die drei Wurzeln:
(
2.03 + 2kπ
cos + i sin
3
( 3√ −1 + 2i) 0 = 1.31 · (cos 0.68 + i sin 0.68) = 1.02 + 0.82i
)
2.03 + 2kπ
, k = 0, 1, 2,
3