12 Die komplexen Zahlen

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Dabei ist der Winkel im Bogenmaß anzugeben; denn es ist z.B. e 90i = −0.45 + 0.89i und
nicht = cos 90 ◦ + i sin 90 ◦ = i
e) e iπ = cosπ + i sin π = −1 + i · 0 = −1.
f)
e ikπ = ( e iπ) k
= (−1) k =
−1
{
+1 für k ∈ Z und k gerade
für k ∈ Z und k ungerade
Die Formel (12.9) bietet eine zweite für viele Anwendungen zweckmäßige Darstellungsmöglichkeit
der komplexen Zahlen; denn für z ≠ 0 ist |z/|z|| = |z|/|z| = 1 und damit kann z/|z| durch
e iϕ dargestellt werden. Wir erhalten so die Polardarstellung
( )
z
z = |z| ·
|z| = re iϕ (= r cosϕ + ir sin ϕ) mit r = |z|. (12.10)
Dabei ist auch r = |z| = 0 zugelassen, wobei dann aber ϕ beliebig gewählt werden könnte.
Außerdem ist wegen (12.7) ϕ für z ≠ 0 erst dann eindeutig bestimmt, wenn wir uns auf ein
Periodenintervall festlegen. Es gibt dafür verschiedene Möglichkeiten. Auf die unten gewählte
Umrechnungsformel passt das Intervall −π < ϕ ≤ π.
Im
✻
⎫ z
r = |z| ⎪⎬
i
b := Im z
✑ ✑✑✑✑✑✑✑✑✸ ϕ
⎪⎭
} {{ } ✲
0 1 Re
a := Re z
Aus den Beziehungen
b = r sin ϕ ≥ 0 für 0 ≤ ϕ ≤ π, b = r sin ϕ < 0 für −π < ϕ < 0 und a = r cos ϕ = r cos(−ϕ)
ergibt sich dann die folgende Umrechnung auf Polardarstellung:
(
z := a + ib = r · e iϕ (12.7)
)
= r · e i(ϕ+2·l·π) , l ∈ Z mit
r = |z| = √ a 2 + b 2 und ϕ =
{
arccos(a/r) für b ≥ 0,
− arccos(a/r) für b < 0,
(12.11)