12 Die komplexen Zahlen

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für alle k ∈ Z , d.h. (z m ) k ist von k unabhängig und stimmt mit der in Abschnitt 1.3 bzw. in
(12.4) gegebenen Definition von z m überein.
Mit der Potenzdefinition (12.18) lassen sich – soweit nicht schon geschehen – die in (5.15)
gesammelten Potenzrechenregeln ins Komplexe übertragen:
Für a := r exp(iϕ), r > 0, −π < ϕ ≤ π und b := ̺ exp(iψ), ̺ > 0, −π < ψ ≤ π erhalten wir
(a z ) 0 · (a w ) 0 = exp(z ln r + izϕ) · exp(w ln r + iwϕ) = exp(z ln r + izϕ + w ln r + iwϕ)
= exp((z + w) lnr + i(z + w)ϕ)
= (a z+w ) 0
(a z ) 0 · (b z ) 0 = exp(z ln r + izϕ) · exp(z ln ̺ + izψ) = exp(z(ln r + ln ̺) + iz(ϕ + ψ))
= exp(z ln(r · ̺) + iz(ϕ + ψ))
⎧
⎪⎨ ((a · b) z ) 0
für − π < ϕ + ψ ≤ π
= ((a · b) z ) 1
für ϕ + ψ > π
⎪⎩ ((a · b) z ) −1
für ϕ + ψ ≤ −π
(a −z 1
) 0 = exp((−z) ln r + i(−z)ϕ) = exp(−(ln r + iϕ)z) =
exp((ln r + iϕ)z)
1
=
(12.19)
(a z ) 0
(a z ) 0 exp(z ln r + izϕ)
= = exp(z ln r + izϕ − (w ln r + iwϕ))
(a w ) 0 exp(w ln r + iwϕ)
= exp((z − w) lnr + i(z − w)ϕ)
= (a z−w ) 0
(a z ) 0 exp(z ln r + izϕ)
= = exp(z ln r + izϕ − (z ln ̺ + izψ))
(b z ) 0 exp(z ln ̺ + izψ)
= exp(z ln(r − ̺) + iz(ϕ − ψ))
⎧
⎪⎨ ((a/b) z ) 0
für − π < ϕ − ψ ≤ π
= ((a/b) z ) 1
für ϕ − ψ > π
⎪⎩ ((a/b) z ) −1
für ϕ − ψ ≤ −π