12 Die komplexen Zahlen

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(z · w) 0 = 1 = z 0 · w 0 ,
(z w ) n = z w · z w · · ·z w
} {{ }
n−mal
n−mal
{ }} {
= zw + w + · · · + w = z w·n ,
(z w ) −n = 1
(z w ) n = 1
z w·n = z−w·n = z w·(−n)
und 3
(z w ) 0 = 1 = z w·0 .
Beispiel 12.3 Die Gleichung
az 2 + bz + c = 0
mit a, b, c ∈ R
hat folgende Lösungen z ∈ C (Mitternachtsformel):
a) b 2 − 4ac > 0 : z 1,2 = −b ± √ b 2 − 4ac
2a
b) b 2 − 4ac = 0 : z 1 = z 2 = −b
2a
c) b 2 − 4ac < 0 : z 1,2 = −b ± i√ 4ac − b 2
Definition 12.2 Es sei z := a + ib. Dann heißt z := a − ib die konjugiert komplexe Zahl
zu z. Ferner heißt |z| := √ a 2 + b 2 der Betrag von z.
2a
Im
✻
z 1
i
0
✏z = a + ib
|z|
✏ ✏✏✏✏✏✏✏ ✲
1 Re
z = a − ib
z 1
3 Eigentlich müsste man bei Aussage und Beweis der 3. Regel etwas sorgfältiger sein (vergl. (12.18), (12.19)
und (12.20)). Für die Anwendungen in diesem Abschnitt genügen aber diese saloppen Formulierungen.