12 Die komplexen Zahlen

=
∞∑
ν=0
(iϕ) 2ν
(2ν)! + ∞
∑
ν=0
=
– 273 –
(iϕ) 2ν+1 ∞
(2ν + 1)! = ∑
∞∑
ν=0
(−1) ν ϕ 2ν
(2ν)!
ν=0
+ i
(i 2 ) ν ϕ 2ν
(2ν)!
∞∑
ν=0
+ i
∞∑
ν=0
(−1) ν ϕ 2ν+1
.
(2ν + 1)!
(i 2 ) ν · i · ϕ 2ν+1
.
(2ν + 1)!
Die beiden letzten Reihen erkennen wir wieder als die Taylorreihen für den Cosinus und den
Sinus (vergl. (11.10) und (11.11)), und damit erhalten wir die wichtige als Eulersche Relation
bekannte Beziehung:
e iϕ = cosϕ + i sin ϕ für ϕ ∈ R. (12.5)
Bemerkung 12.2
a) Es gilt e 0i = cos 0+i sin0 = 1 = e 0 und darüberhinaus sogar für l ∈ Z
Daraus folgt unmittelbar nach (12.4):
e 2lπi = cos(2lπ) + i sin(2lπ) = 1 + i · 0 = 1 (12.6)
e iϕ ist also eine 2π–periodische Funktion von ϕ ∈ R .
b) Es gilt e z ≠ 1 für z /∈ {2lπi|l ∈ Z}.
e iϕ+2lπi = e iϕ · e 2lπi = e iϕ · 1 = e iϕ . (12.7)
c) Es gilt 1/e iϕ = e −iϕ = cos(−ϕ) + i sin(−ϕ) = cosϕ − i sin ϕ = e iϕ für ϕ ∈ R.
d) Für α, ϕ ∈ R gilt:
und damit, da e α > 0 ist,
e α+iϕ = e α e iϕ = e α (cos ϕ + i sin ϕ) = e α cosϕ + ie α sin ϕ (12.8)
|e α+iϕ | = |e α | |cosϕ + i sin ϕ| = e α √cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = e α . (12.9)
Insbesondere ist |e iϕ | = 1 für ϕ ∈ R, und ϕ ∈ R kann als Winkel intepretiert werden:
Im
✻
⎫e iϕ = cosϕ + i sin ϕ
⎪⎬
sin ϕ
✑ ✑✑✑✑✑✑✑✑✸ ϕ
⎪⎭
} {{ } ✲
0 cosϕ Re