12 Die komplexen Zahlen

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Beispiel 12.4 a) z := 2 + 3i, z = 2 − 3i, |z| = √ 2 2 + 3 2 = √ 13.
b) Ist z = a reell, so gilt |z| = √ a 2 + 0 = |a|.
c) z · z = (a + ib)(a − ib) = a 2 − (ib) 2 = a 2 − i 2 b 2 = a 2 + b 2 = |z| 2 ⇒ z · z = |z| 2 .
d) (4 − 3i) · (4 − 3i) = (4 − 3i) · (4 + 3i) = 4 2 − (3i) 2 = 16 + 9 = 25.
e) z + z = a + ib + a − ib = 2 a = 2 Re z, z − z = a + ib − a + ib = 2i b = 2i Im z
Bei einem Quotienten von zwei komplexen Zahlen macht man durch Erweiterung mit dem konjugiert
Komplexen des Nenners den neuen Nenner reell und kann so die Division durchführen.
Beispiel 12.5 1 + 5i
4 − 3i
Für den Betrag gilt wie im Reellen:
(1 + 5i)(4 + 3i) 4 − 15 + i(20 + 3)
= =
(4 − 3i)(4 + 3i) 25
= − 11
25 + 23
25 i
|z 1 · z 2 | = |z 1 | · |z 2 |,
∣ z 1∣∣∣
∣ = |z 1|
z 2 |z 2 | für z 2 ≠ 0, (12.2)
|z 1 + z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 |
Erweiterung der Exponentialfunktion: Die in (11.8) angegebene Reihe für die Exponentialfunktion
ist auch für dann überall konvergent, wenn x ∈ R durch z ∈ C ersetzt wird. Also ist die
Exponentialfunktion durch
e z := exp z :=
∞∑
k=0
sinnvoll definiert, wobei u.a. auch die wichtige Eigenschaften
z k
k! = 1 + z + z2
2! + z3
3! + · · · + zn
n! + · · · z ∈ C (12.3)
e z 1+z 2
= e z 1
e z 2
, e −z 2
= 1
e z 2 und ez 1−z 2
= e z 1
e −z 2
= ez 1
e z 2 für z 1, z 2 ∈ C (12.4)
(vergl. (5.4) und (5.5)) erhalten bleiben. Ein anderer wichtiger Zusammenhang ergibt sich
ebenfalls aus (12.3). Für ein reelles ϕ gilt nämlich:
∞∑
e iϕ (iϕ) k
∞∑ (iϕ) k
∞∑ (iϕ) k
= =
+
k!
k!
k!
k=0 k=0, k gerade k=0, k ungerade