12 Die komplexen Zahlen

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wobei der arccos – entsprechend der Auswertung in Rechnern – Werte zwischen 0 und π annimmt.
Der oben bestimmte Winkel ϕ liegt tatsächlich zwischen (−π) und π. Bei anderen
Umrechnungsformeln erhält man u.U. einen anderen Bereich für ϕ.
Beispiel 12.6 z 1 := 1 + 2i, z 2 := −1 + 2i, z 3 := −1 − 2i:
r 1 = √ 5, b 1 = 2 ≥ 0 ⇒ ϕ 1 = arccos 1 √
5
= 1.11( ∧ = 63.4 ◦ )
r 2 = √ 5, b 2 = 2 ≥ 0 ⇒ ϕ 2 = arccos −1 √
5
= 2.03( ∧ = 116.6 ◦ )
r 3 = √ 5, b 3 = −2 < 0 ⇒ ϕ 3 = − arccos −1 √
5
= −2.03( ∧ = −116.6 ◦ )
Aus der Polardarstellung kann man dann
die kartesische Darstellung leicht zurückgewinnen:
−1 + 2i
−1
Im
❆❑
❆
❆
❆
✁
−1 − 2i ✁☛
i
✻
❆
❆✁ ✁✁✁✁✁✕
0✁
✁
✁
✁
1
z 1 = √ 5(cos 1.11 + i sin 1.11) = 0.99 + 2.00 i
z 2 = √ 5(cos 2.03 + i sin 2.03) = −0.99 + 2.00 i
z 3
1 + 2i
= √ 5(cos(−2.03) + i sin(−2.03)) = −0.99 − 2.00 i
✲
Re
Mit den Rechenregeln für die Exponentialfunktion folgt sofort:
Satz 12.1 Es sei z 1 = r 1 e iϕ 1
, z 2 = r 2 e iϕ 2
. Dann gilt
a) z 1 z 2 = r 1 e iϕ 1
r 2 e iϕ 2
= r 1 r 2 e i(ϕ 1+ϕ 2 ) (Beträge werden mult., Winkel addiert),
b) z 1
z 2
= r 1e iϕ 1
r 2 e iϕ 2 = r 1
r 2
e i(ϕ 1−ϕ 2 ) (Beträge werden dividiert, Winkel subtrahiert),
c) Für m ∈ Z und z 1 ≠ 0 gilt: z m 1 = rm 1 eimϕ 1
(Betrag hoch m, Winkel mit m multipliziert).