12 Die komplexen Zahlen

– 279 –
( 3√ −1 + 2i) 1 = 1.31 · (cos 2.77 + i sin 2.77) = −1.22 + 0.47i
( 3√ −1 + 2i) 2 = 1.31 · (cos 4.87 + i sin 4.87) = 0.20 − 1.29i
Wir führen jetzt analog zu (5.10) die Potenzen ein, bei denen sowohl die Basis als auch der
Exponent eine komplexe Zahl ist: Für die komplexe Zahl
z = r·exp(iϕ)(= exp(ln r) exp(iϕ) = exp(ln r+i(ϕ+k·2π)), r > 0, −π < ϕ ≤ π, k ∈ Z, (12.17)
definieren wir
(z w ) k := exp(w ln r + i · (ϕ + k · 2π) · w), w ∈ C, k ∈ Z. (12.18)
Es ist also nicht wie im Reellen z w eindeutig zu definieren, sondern man muss berücksichtigen,
dass z = r · exp(i(ϕ + k · 2π)) für alle k ∈ Z gilt und erhält so u.U. unendlich viele Potenzen
z.B. bei
(z 3.12
1 ) k := exp (3.12 · ln r 1 + i · (ϕ 1 + k · 2π) · 3.12)
= exp(3.12 · lnr 1 ) · exp(3.12 i ϕ 1 ) · exp(6.24kiπ), k ∈ Z,
wobei z 1 , r 1 und ϕ 1 die Größen aus Beispiel 12.8 sind. Auch bei der Basis e müsste man die
Definition (12.18) anwenden, also
(e w ) k := exp(1 · w + i · (0 + k · 2π) · w) = (exp w) · exp(k · 2π · w), k ∈ Z.
Die früher angegebene und allgemein übliche Gleichsetzung e w := exp w ist also eigentlich nicht
korrekt. Trotzdem werden wir sie in den nächsten Kapiteln, bei denen die Mehrdeutigkeit ignoriert
werden kann, verwenden. Bei ganzzahligen Exponenten m ∈ Z kann die Mehrdeutigkeit
ohnehin ignoriert werden: Für die in der Polardarstellung (12.17) gegebene komplexe Zahl z
erhalten wir für m ∈ Z:
(z m ) k := exp(m ln r+i·(ϕ+k·2π)·m) = exp(m ln r)·exp(i·m·ϕ)·exp(k·m·i·2π) = r m·exp(i·m·ϕ)
⎧
(r · exp(iϕ)) · (r · exp(iϕ)) · · ·(r · exp(iϕ)) = (r · exp(iϕ))
} {{ }
m für m ∈ N
⎪⎨
m−mal
= r 0 · exp(i · 0 · ϕ) = 1 = (r · exp(iϕ)) 0 für m = 0
1
⎪⎩
r −m exp(i · (−m) · ϕ) = 1
r −m · (exp(i ϕ)) = 1
−m (r · exp(i ϕ)) = (r · −m exp(iϕ))m für (−m) ∈ N