12 Die komplexen Zahlen

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Um eine Formel für (a z ) w herzuleiten, benötigen wir noch einen Zwischenschritt: Mit a :=
r exp(iϕ), r > 0, −π < ϕ ≤ π und z = x + iy, x, y ∈ R gilt
(a z ) 0 = exp(z ln r + izϕ) = exp(x ln r − yϕ + i(y ln r + xϕ))
Im Allgemeinen ist (y ln r + xϕ) nicht im Intervall (−π, π], sondern in einem ”passend” verschobenen
Intervall, d.h. es gibt eine ganze Zahl l, die von a und z abhängt, mit
−π + 2lπ < y ln r + xϕ ≤ π + 2lπ .
Damit erhalten wir
((a z ) w 0 ) l
= exp ((x ln r − yϕ + i(y lnr + xϕ))w)
= exp((z ln r + izϕ)w) = exp(zw(ln r + iϕ))
= (a zw ) 0 (12.20)