12 Die komplexen Zahlen

– 277 –
Außerdem benötigen wir noch die Beziehung
e z = exp(Re z − iIm z) = exp(Re z) · exp(−iIm z)
= exp(Re z) · (cos(−Im z) + i sin(−Im z)) = exp(Re z) · (cos(Im z) − i sin(Im z))
= exp(Re z) · (cos(Im z) + i sin(Im z)) = exp(Re z) · exp(iIm z)
= exp(Re z)) · exp(iIm z)
= e z (12.13)
Bei der Herleitung der Formel wurde neben der Eulerschen Relation (12.5) und der Formel
(12.4) die folgenden Regel benutzt: Für α ∈ R und z ∈ C gilt:
Re (αz) = Re (α(Re z + iIm z)) = Re (αRe z + iαIm z))
= αRe z
Im (αz) = Im (α(Re z + iIm z)) = Im (αRe z + iαIm z))
= αIm z
(12.14)
Schließlich gilt bei komplexwertigen Funktionen einer reellen Veränderlichen:
( ) ( ) ( )
d d d
Re
dx f(x) = Re
dx (Re f(x) + iIm f(x)) = Re
dx Re f(x) + i d
dx Im f(x))
Im
( d
dx f(x) )
= d Re f(x),
dx( )
d
= Im
dx (Re f(x) + iIm f(x)) = Im
( d
dx Re f(x) + i d
dx Im f(x)) )
= d dx Im f(x), (12.15)
d.h. Realteilbildung und Ableitung sowie Imaginäteilbildung und Ableitung sind vertauschbar.
Der nun folgende letzte Teil von Kapitel 12 wird im Sommersemester 2010 nicht in der Vorlesung
und in der Übung behandelt und ist daher für die Klausuren im 2. Halbjahr 2010 und im 1.
Halbjahr 2011 nicht klausurrelevant.
Die Umrechnung in die Polardarstellung erweist sich als besonders günstig bei der Bestimmung
von Wurzeln aus einer komplexen Zahl. Wenn wir nämlich von der Polardarstellung ausgehen,
n
erhalten wir für n ∈ N durch “unkritisches” Übertragen von (5.15): √ z = z 1/n = (re iϕ ) 1/n =
r 1/n e iϕ/n . Wir müssen aber berücksichtigen, dass wir ϕ auf ein Periodenintervall festgelegt
haben. Berücksichtigt man die Periodizität von e iϕ , so erhält man für z ≠ 0 nicht eine Wurzel