12 Die komplexen Zahlen

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Beispiel 12.2 a) (4 − 3i) − (1 + 5i) = 3 − 8i.
b) Die Gleichung z 2 !
= a = (−1) · (−a) mit a ∈ R hat in C immer zwei Lösungen, falls
a ≠ 0:
i) a > 0 : z 1,2 = ± √ a
ii) a < 0 : z 1,2 = ±i √ −a
}{{}
>0
(denn ( ±i √ −a )2 = (±i) 2 (√ −a )2 = −(−a) = a)
Bemerkung 12.1
a) Das Wurzelzeichen √ war für reelle Zahlen dadurch eindeutig definiert,
dass festgelegt wurde, dass √ a > 0 für a > 0 gelten soll. Bei komplexen Zahlen ist
eine solche Festlegung nicht möglich, da es keine “natürliche” Definition von “z > 0” bei
komplexen Zahlen gibt.
b) Die Potenzen mit ganzzahligen Exponenten ≥ 0, wie sie in Abschnitt 1.3 eingeführt wurden,
sind auch für komplexe Basen definiert, und die dort formulierten Regeln gelten auch
für komplexe Basen. Für weitere Definitionen und Regeln, die wir in diesem Abschnitt
brauchen, wie etwa
z −n := 1
z n für n ∈ N, (z · w)m = z m · w m für m ∈ Z, (z w ) m = z w·m für m ∈ Z (12.1)
wurde für reelle z und w die allgemeine Potenzdefinition (5.10) verwendet. Bei komplexen
Größen z, w ∈ C brauchte man dazu z.T. den Logarithmus von komplexen Zahlen, der
uns bisher nicht zur Verfügung steht. Daher leiten wir diese Formeln ohne Verwendung
von (5.10) her:
z −n := 1 ist eine sinnvolle Definition; denn die formale Anwendung der Multiplaktionsregel
zn (1.3) ergibt für n ∈ N:
z n · z −n = z n−n = z 0 = 1 = z n ·
Für n ∈ N gilt:
1
z n.
(z · w) n = (z · w) · (z · w) · · ·(z · w)
} {{ }
n−mal
(z · w) −n =
= z } · z {{· · ·z}
n−mal
1
(z · w) = 1
n z n · w = 1
n z · 1
n w = n z−n · w −n ,
· w } · w {{· · ·w}
= z n · w n ,
n−mal