Aufgabe 1

Aufgabe 3
Drei linienförmige Leiter treffen im Ursprung aufeinander. Der Leiter in der positiven z-Achse führt
den Strom I 0 . Dieser Strom teilt sich zu gleichen Anteilen auf die beiden Leiter in der positiven x-
und y-Achse auf. Berechnen Sie die magnetische Feldstärke ⃗ H(⃗r) im Punkt P (a, b, 0).
z
I 0
I 0 /2 I 0 /2
x
a
P (a, b, 0)
b
y
Das Gesamtmagnetfeld der Leiteranordnung am Beobachtungspunkt bei ⃗r = a⃗e x + b⃗e y wird aus der
Superposition der Feldbeiträge der drei einzelnen Leiterabschnitte bestimmt. Der Weg des Stromes
durch den Leiter beschreibt sich dabei durch den Quellpunktvektor ⃗r ′ i = i′ ⃗e i und das Wegelement
d⃗r ′ i = di′ ⃗e i mit i ∈ {x, y, z}. In z-Richtung ist der aus dem Unendlichen kommende und bis zum
Ursprung fließende Strom I 0 zu berücksichtigen und es gilt
⃗H z = I 0
4π
ˆ0
∞
dz ′ ⃗e z × ( a⃗e x +b⃗e y −z ′ )
⃗e z
√ = I 0
a 2 +b 2 +z ′23 4π
= − I [
0
4π (b⃗e z ′ ] 0
x − a⃗e y )
(a 2 +b 2 ) √ a 2 +b 2 +z ′2 ∞
ˆ0
∞
dz ′( )
a⃗e y − b⃗e x
√
a 2 +b 2 +z = I ˆ0
0
′23 4π (a⃗e dz ′
y − b⃗e x ) √
a 2 +b 2 +z ′23
= I 0 b⃗e x − a⃗e y
4π a 2 +b 2
Der Beitrag des Leiterstückes entlang der x-Achse berechnet sich zu
⃗H x = I 0/2
4π
= I 0b
8π ⃗e z
ˆ∞
0
dx ′ ⃗e x × ( (a−x ′ )
)⃗e x + b⃗e y
√ = I ˆ∞
0 bdx ′ ⃗e z
√
(a−x ′ ) 2 + b 23 8π
= I 0b
(a−x ′ ) 2 + b 23 8π ⃗e z
[
] ∞
a − x ′
−
b 2√ (a − x ′ ) 2 + b 2 0
0
= I (
)
0 a
1 + √ ⃗e z
8πb a 2 + b 2
und analog folgt für das Leiterstück entlang der y-Achse
⃗H y = I 0/2
4π
ˆ∞
0
= − I 0a
8π ⃗e z
dy ′ ⃗e y × ( a⃗e x + (b−y ′ )
)⃗e y
√ = I 0
a 2 + (b−y ′ ) 23 8π
[
] ∞
b − y ′
−
a 2√ a 2 + (b − y ′ ) 2 0
ˆ∞
0
= − I 0
8πa
womit die gesamte magnetische Feldstärke lautet
⃗H = H ⃗ x + H ⃗ y + H ⃗ z = I 0 b⃗e x − a⃗e y
4π a 2 +b 2 + I 0
8π
−ady ′ ⃗e z
√
a 2 + (b−y ′ ) 23 = −I 0a
8π ⃗e z
(
1 +
b
√
a 2 + b 2 )
⃗e z
( 1
b + a
b √ a 2 + b 2 − 1 a +
ˆ∞
0
ˆ∞
0
∞
dx ′
√
(a−x ′ ) 2 + b 23
dy ′
√
a 2 + (b−y ′ ) 23
)
b
a √ ⃗e z
a 2 + b 2
3