Aufgabe 1

Aufgabe 4
Gegeben ist ein Zylinderkondensator der Länge l mit vernachlässigbaren Randeffekten. An der Innenelektrode
liegt das Potential Φ a und an der Außenelektrode liegt das Potential Φ b an. Es gilt Φ a < Φ b .
Der Kondensator beinhaltet das inhomogene Dielektrikum
ε(ϱ) = ε 0 e − ϱ−b
a
Hinweis: e u+v = e u e v y
a
Φ b
Φ a
ε(ϱ)
z⊙
b
x
Berechnen Sie
(a) die Kapazität des Kondensators
Man berechnet zunächst das elektrische Feld im Inneren unter Nutzung der Gaußschen Methode
ε(ϱ)
ˆ2π ˆl
0
0
E ϱ (ϱ)ϱdϕdz = 2πε(ϱ)lϱE ϱ (ϱ) = Q ⇒ E ϱ (ϱ) =
Q 1
2πε(ϱ)l ϱ
(a ≤ ϱ ≤ b)
und aus diesem mithilfe des Gradienten das elektrische Potential bzw. die Potentialdifferenz
zwischen Innen- und Außenelektrode
E ϱ = − ∂Φ
∂ϱ
ˆa
⇒ Φ(a) = Φ(b) −
U = Φ(b) − Φ(a) =
=
Q
b
2πε 0 e b a l
Q
2πε 0 e b a l
E ϱ (ϱ)dϱ = Φ(b) − Q
ˆa
2πl
b
ˆa
b
[
ln
Hiermit folgt die Kapazität C der Leitung zu
e ϱ a 451
dϱ =
ϱ
Q
2πε 0 e b a l
dϱ
ε(ϱ)ϱ
[ln(ϱ) + ϱ a + ϱ2
4a 2 +
( a
)
+ a − b + a2 − b 2
b a 4a 2 + a3 − b 3
18a 3 + · · ·
C = Q (
U = 2πε 0e b a
)
a l
[ln + a − b + a2 − b 2
b a 4a 2 + a3 − b 3
18a 3 + · · ·
(b) die im Dielektrikum gespeicherte Energie
W = 1 2 CU 2 = 1 ) [ ] (2πε 0 e b −1 Q 2 [ ] 2 1
a l · · · ( )
2
2πε 0 e b 2 · · · =
2
a l
Q 2 [ ( a
)
=
ln + a − b + a2 − b 2
4πε 0 e b a l b a 4a 2 + a3 − b 3 ]
18a 3 + · · ·
451 Integral #451 nach Bronstein, Taschenbuch der Mathematik:
ˆ eax
dx = ln(x) +
ax
x 1 · 1! + (ax)2
2 · 2! + (ax)3
3 · 3! + · · ·
Q 2
] −1
2πε 0 e b a l
ϱ3
] a
18a 3 + · · · b
]
[
· · ·
]
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