Aufgabe 1

Aufgabe 7
(a) Weisen Sie nach, dass die folgenden Aussagen gelten: (2 Punkte)
(1) Ein Wirbelfeld ist stets quellenfrei.
Für Wirbelfelder W ⃗ (⃗r) = rot F ⃗ (⃗r) folgt die Quellenfreiheit aus
div W ⃗ (
(⃗r) = div rot F ⃗ )
(⃗r) = 0
(2) Ein Vektorfeld, das als Gradient einer skalaren Funktion dargestellt werden kann, ist stets
wirbelfrei.
Für Vektorfelder ⃗ F (⃗r), welche sich als Gradient einer skalaren Funktion Φ darstellen lassen,
folgt die Wirbelfreiheit aus
⃗F (⃗r) = grad Φ ⇒ rot ⃗ F (⃗r) = rot (grad Φ) = ⃗0
(b) Wann wird ein Medium mit der Permittivität ε, elektrischen Leitfähigkeit κ und Permeabilität
µ als linear, homogen und isotrop bezeichnet? (2 Punkte)
• Homogenität besteht, falls die Materialgrößen ortsunabhängig bzw. räumlich konstant sind
mit ε ≠ ε(⃗r) (analog für µ und κ).
• Isotropie liegt vor, wenn die Materialgrößen skalare Größen, also unabhängig von der Richtung
der Felder ⃗ E und ⃗ H sind.
• Linearität ist gegeben, sofern die Materialgrößen nicht vom Betrag der Feldgrößen abhängig
sind, d.h. ε ≠ ε( ⃗ E, ⃗ H) (analog für µ und κ).
(c) Geben Sie die Maxwell-Gleichungen in Differentialform sowie die Materialgleichungen für isotrope,
lineare und homogene Medien an. (2 Punkte)
Die Maxwell-Gleichungen lauten in Differentialform
div ⃗ D = ϱ V
div ⃗ B = 0
Zusammen mit den Materialgleichungen
rot E ⃗ = − ∂ B ⃗
∂t
rot H ⃗ = J ⃗ + ∂ D ⃗
∂t
⃗D = ε 0 ε r
⃗ E ⃗ B = µ0 µ r
⃗ H ⃗ J = κ ⃗ E
beschreiben sie das Verhalten elektrischer und magnetischer Felder in Materie.
(d) Leiten Sie aus den Maxwell-Gleichungen die Kontinuitätsgleichung ab. Wie lautet die Gleichung
für stationäre Ströme? (4 Punkte)
Ausgehend von den Maxwell-Gleichungen erhält man mithilfe des Integralsatzes von Gauß
rot ⃗ H = ⃗ J + ∂ ∂t ⃗ D
[
div rot H ⃗ = 0 = div ⃗J + ∂ ]
D
∂t ⃗ = div J ⃗ + ∂ (
div D
∂t
⃗ )
= div J ⃗ + ∂ ∂t ϱ V
div ⃗ J = − ∂ϱ V
∂t
Für stationäre Ströme gilt ∂ϱ V
∂t
= 0, womit div ⃗ J = 0 folgt.
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