Aufgabe 1

Aufgabe 5
Auf der x-Achse befindet sich ein Linienleiter, der den Strom I 1 führt und sich im Unendlichen schließt.
In der xy-Ebene befindet sich eine Leiterschleife in der Form eines Vierecks, die den Strom I 2 führt.
z
−c
x
c
d
I 1
I 2
a
a + d
y
(a) Bestimmen Sie die magnetische Feldstärke eines unendlich ausgedehnten Linienleiters.
Ausgehend vom Durchflutungsgesetz der Maxwell-Gleichungen, in dem für die magnetostatische
Betrachtung die zeitliche Ableitung der elektrischen Flussdichte ⃗ D entfällt, gelangt man
durch Bildung des Flächenintegrals zu einem Ausdruck für den Strom durch den Linienleiter.
¨
A
˛
rot Hd ⃗ A ⃗ =
∂A
rot H ⃗ = J ⃗ + ∂ D ⃗
} {{ ∂t}
=0
¨
⃗Hd⃗r = ⃗Jd A ⃗ = I
Als Fläche wird aufgrund der Zylindersymmetrie eine konzentrische, senkrecht auf dem Leiter
stehende Kreisfläche mit Radius ϱ gewählt, welche den gesamten Strom I umfasst. Das
Flächenintegral über die Rotation des Feldes schreibt sich dabei mithilfe des Stokesschen
Integralsatzes als Wegintegral über den Rand der Fläche, wobei die magnetische Feldstärke
⃗H = H(ϱ)⃗e ϕ wegen des gleich bleibenden Abstandes ϱ zum Leiter auf dem gesamten Weg konstant
bleibt. Mit dem vektoriellen Wegelement d⃗r = ϱdϕ⃗e ϕ erhält man also
ˆ2π
0
H(ϱ)⃗e ϕ ϱdϕ⃗e ϕ = 2πϱH(ϱ) = I ⇒ ⃗ H(ϱ) =
I
2πϱ ⃗e ϕ
(b) Berechnen Sie die Gegeninduktivität L 21 der Anordnung.
Für die gegebene Anordnung berechnet man unter Ausnutzung der Symmetrie der zweiten Leiterschleife
bezüglich der y-Achse in einem ersten Schritt zunächst den magnetischen Fluss Φ 21 . Nach
a) ist dabei H(y) ⃗ = I 1
2πy ⃗e z. Weiterhin werden die Seitenkanten des Vierecks durch die Geradengleichungen
x 1 (y) =
c
a−d (y − d) und x 2(y) = − d( c )
y − (a + d) beschrieben.
Φ 21 =
¨
A
= µI 1
π
= µI 1
π
⎡
⃗Bd A ⃗ ⎢
= 2µ ⎣
⎡
⎣
ˆa
d
ˆa
d
x 1 (y)
dy +
y
ˆ
x 1 (y)
0
ˆa+d
a
H(y)dxdy +
x 2 (y)
y
[ c
[ ] a
y − d ln(y)
a − d
− c d d[
ˆa+d
a
ˆ
x 2 (y)
0
A
⎤ ⎡
dy⎦ = µI 1
⎣
c
π a − d
y − (a + d) ln(y)
5
⎤
⎥
H(y)dxdy⎦
ˆa
d
] a+d
a
y − d
dy − c y d
]
ˆa+d
a
y − (a + d)
y
⎤
dy⎦