Binomialverteilung - Philipp-Reis-Schule

Binomialverteilung

Ablauf
1. Bernoulliversuch
2.1 Binomialverteilung
2.2 kumulierte Binomialverteilung
3. Schubfachprinzip
4. Übungsaufgaben

Bernoulli- Versuch

Definition
Ein n-stufiger Bernoulli-
Versuch(Bernoulli- Kette) ist die Abfolge
von n voneinander unabhängigen 1-
stufigen Bernoulli- Versuchen mit der
selben Erfolgswahrscheinlichkeit auf allen
Stufen.

Beispiel
Bei einem Würfelspiel wird der Würfel 3
mal geworfen. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit würfelt man genau 2
mal eine 5 ?

Lösung
k
n
k
q
p
k
n
k)
P(X
−
⋅
⋅
=
=
6
1
6
1
6
5
6
1
6
5
6
1
6
5
6
1
6
1
2)
( ⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
P X =
6
5
6
1
6
5
6
1
6
5
6
1
2)
(
2
2
2
⋅
+
⋅
+
⋅
=
P X =
0,069
6
5
6
1
2
3
2)
(
2
≈
⋅
⋅
=
=
X
P
6
5
6
1
3
2
2
⋅
⋅
=
= )
P(X

Binomialverteilung

Definition
Bei n-stufigen Bernoulli- Versuchen
betrachten wir stets die Zufallsgröße
X: Anzahl der Erfolge.
Die zur Zufallsgröße X gehörige Verteilung
heißt Binomialverteilung mit den
Parametern n und p.

Beispiel
Es sei ein 3 stufiger Bernoulli- Versuch mit
der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 0,4
gegeben.
Berechne die Wahrscheinlichkeit P für k
Erfolge (k = 0,1,2,3).

Lösung
0,216
0,6
0,4
0
3
0)
(
3
0
=
⋅
⋅
=
=
X
P
0,432
0,6
0,4
1
3
1)
(
2
1
=
⋅
⋅
=
=
X
P
0,288
0,6
0,4
2
3
2)
(
1
2
=
⋅
⋅
=
=
X
P
0,064
0,6
0,4
3
3
3
0
3
=
⋅
⋅
=
= )
P(X

Kumulierte Binomialverteilung
Bei einem 50 stufigen Bernoulli- Versuch
hat man eine Erfolgswahrscheinlichkeit
von p = 0,4. Wie hoch ist die
Wahrscheinlichkeit, dass der Erfolg
höchstens 20 mal eintritt.

Lösung
P(X 20) =P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
+ ... + P(X = 20) = 0,561

Schubfachprinzip

Definition
Gegeben sind a Dinge, die auf b Schubfächer
zufällig verteilt werden.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden dann
auf ein beliebig ausgewähltes Schubfach
0,1,2,3,... a Dinge verteilt. Zufallsversuche dieser
Art können als a stufige Bernoulli- Versuche mit
der Erfolgswahrscheinlichkeit 1/b aufgefasst
und mit dem Binomialansatz gelöst werden.

Beispiel
200 Personen werden zufällig ausgesucht.
Wie viele Tage eines Jahres wird es
geben mit 2 Geburtstagskindern?
(Voraussetzung 1Jahr = 365 Tage)

Lösung
P(
X
=
2)
=
200
2
⋅
1
365
2
⋅
364
365
198
=
0,0868
0 ,0868⋅365
= 31,68 =
32

Verändertes Anwendungsgebiet
des Schubfachprinzips
Es seien m Objekte in n Kategorien
(’Schubfächer’) unterteilt.
Wenn m > n ist, so gibt es mindestens
eine Kategorie (’Schubfach’), die
wenigstens zwei Objekte enthält.

Beispiel
Jeder Mensch hat höchstens n = 100.000
Haare auf dem Kopf. Daher gibt es in
Hannover mindestens 6 Einwohner, die alle die
gleiche Anzahl von Haaren auf dem Kopf
haben. Man wähle nämlich m = 500.001
Einwohner beliebig aus.
N i
Es sei die Menge der Menschen hierunter
mit genau i Haaren auf dem Kopf.

Lösung
m = 500.001
n = 100.000
=
m−
n
1 +1
N i
=
5 + =
N i
=
N i
1 6
500001−1
100000
+ 1

Übungsaufgaben

Binomialverteilung
Ein Multiple- Choise- Test besteht aus 50
Aufgaben. Es gibt bei jeder Aufgabe 5
Antwortmöglichkeiten, wobei zwei richtig
sind.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann man
a) höchstens 10
b) mindestens 20
c) genau 13
richtig beantworten.

Schubfachprinzip
a) Ein Buch mit 400 Seiten enthält 60
Druckfehler. Auf wie vielen Seiten
kann man 1 Druckfehler erwarten?
b) Zeige: Unter je neun natürlichen
Zahlen gibt es mindestens zwei, deren
Differenz durch 8 teilbar ist.

Quellen
VIELEN DANK FÜR EURE
AUFMERKSAMKEIT
• http://www.unikik.unihannover.de/downloads/ZSF1_schubfach.pdf
• Mathematik heute Leistungskurs Stochastik (Verlag-Schroedel-
Schöningh)
• http://www.learnline.de/angebote/selma/foyer/projekte/koelnpro
j4/grundlagen/grund-binomialverteilung.htm
P.S.: DENKT AN EURE
JAHRBUCHSACHEN!!!!!!
• http://www.ucordes.gmxhome.de/Binomial.html
• http://wiki.zum.de/Stochastik#Bernoullikette
• http://www.matheboard.de/archive/35368/thread.html