Vorlesung Numerische Berechnung von Leichtbaustrukturen - 3 ...

Vorlesung 

Numerische 

Berechnung 

von Leichtbaustrukturen 

Dr.-Ing. H. 

Köppe 

3. Vorlesung 

Folie 1 - 

Flächentragwerke 

Folie 2 - 


Folie 3 - 


Folie 4 - 


Folie 5 - 


Folie 6 - 


Folie 7 - 


Folie 8 - 


Vorlesung Numerische Berechnung von 

Leichtbaustrukturen 


Dr.-Ing. H. Köppe 

Institut für Mechanik 

9. November 2012

Ausgewählte Lösungen - Plattenstreifen 





Dr.-Ing. H. 

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Definition 

Als Plattenstreifen bezeichnen wir eine Platte mit zwei parallelen 

Rändern im Endlichen und zwei Rändern im Unendlichen 


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Lösung Plattenstreifen 

w Platte,xxxx = pn(x) 

K 

= 12pn(x) 

Eh 3 (1 − ν 2 ) 

Lösung Balken (Analogiebetrachtung) 

w Balken,xxxx = q(x) 

EI yy 

w Platte,xxxx = (1 − ν 2 )w Balken,xxxx 

= pn(x)b 

E bh3 

12 

= 12pn(x) 

Eh 3

Ausgewählte Lösungen - Plattenhalbstreifen mit 

gelenkig gelagerten Längsrändern 





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Definition 

Als Plattenhalbstreifen bezeichnen wir eine Platte mit drei 

Rändern im Endlichen und einem Rand im Unendlichen 


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Plattendifferentialgleichung 

∆∆(w) = pn(x) 

K 

− ∆m T (x) 

K







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Lösung 

w(x, y) = w p(x, y) + w h (x, y) 

Partikuläre Lösung w p(x, y) : 

Entwickeln der Belastung p n(x) 

und m T (x) in eine Fourierreihe. 

Fourierreihe als ungerade 

Funktion: 

p n(x) ∼ = 

∞∑ 

p nm sin(α mx) 

m=1 

m T (x) ∼ = 

∞∑ 

m=1 

m Tm sin(α mx) 

Fourierkoeffizient m 

Fourierkoeffizient p nm : 

Tm : 

p nm = 2 ∫l x 

m 

p l x n(x) sin(α mx)dx 

Tm = 2 ∫l x 

m l x T (x) sin(α mx)dx 

0 

0 

α m = mπ 

α m = mπ 

l l x 

x 

p(x) = p n(x) − m T (x) ,xx ∼ 

∞∑ 

= (p nm + α 2 m m T m 

) sin(α mx) 

m=1







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Lösung 


∆∆(w) = pn(x) 

K − ∆m T (x) 

∞∑ 

= 1 p K K m sin(α mx) 

m=1 

Partikuläre Lösung w p(x, y) : 

w p(x, y) = 1 K 

∞∑ p m 

α 4 sin(α mx) 

m=1 

Homogene Lösung w h (x, y) (Produktansatz): 

w h (x, y) = 1 K 

∞∑ 

f m(y) sin(α mx) 

m=1 

Einsetzen des Produktansatzes in die homogene DGL: 

⇒ Differentialgleichung für die noch unbekannte Funktion f m(y) für jedes m 

der Reihe: 

f m(y) ,yyyy − 2α 2 mf m(y) ,yy + α 4 mf m(y) = 0 

⇒ Charakteristische Gleichung: 

⇒ Doppellösungen: 

λ 4 − 2α 2 mλ 2 + α 4 m = 0 

λ 1,2 = α m und λ 3,4 = −α m







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Lösung 

Lösung für die Funktion f m(y) für jedes m : 

f m(y) = (c 1m + c 2m α my)e −αmy + (c 3m + c 4m α my)e +αmy 

Homogene Lösung w h (x, y) : 

w h (x, y) = 1 K 

∞∑ 

f m(y) sin(α mx) 

m=1 

∞∑ 

w h (x, y) = 1 [(c K 1m + c 2m α my)e −αmy + (c 3m + c 4m α my)e +αmy ] sin(α mx) 

m=1 

Für den Plattenhalbstreifen muss für y ⇒ ∞ die Verschiebung w(x, y ⇒ ∞) 

endlich bleiben: 

⇒ c 3m = c 4m = 0 

Gesamtlösung für w(x, y) des Plattenstreifens: 

∞∑ 

w(x, y) = 1 K 

m=1 

[ pm 

α 4 m 

+ (c 1m + c 2m α my)e −αmy ] sin(α mx)

Ausgewählte Lösungen - Platte mit gelenkig 

gelagerten Randpaar (Levy/Nadai) 





Definition 

Eine Platte besitzt vier Ränder im Endlichen. 

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∆∆(w) = pn(x) 

K 

Gesamtlösung für w(x, y) der Platte mit gelenkig gelagerten Randpaar: 

∞∑ 

w(x, y) = 1 K 

m=1 

[ pm 

α 4 m 

− ∆m T (x) 

K 

+(c 1m +c 2m α my)e −αmy +(c 3m +c 4m α my)e +αmy ] sin(α mx)

Ausgewählte Lösungen - Platte mit zwei gelenkig 

gelagerten Randpaaren (Navier) 





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Definition 

Eine Platte besitzt vier Ränder im Endlichen. 

Entwicklung der Belastung p(x, y) : 

p(x, y) ∼ ∞∑ ∞∑ 

= p nnm sin α mx sin β ny 

m=1 n=1 


∆∆(w) = pn(x,y) 

K 

− ∆m T (x,y) 

K 

Entwickeln der Belastung 

p n(x, y) und m T (x, y) in eine 

Fouriersche Doppelreihe 

(ungerade Funktionen zu x = 0 

und y = 0). 

Entwicklung der Belastung p(x, y) : 

m T (x, y) ∼ ∞∑ ∞∑ 

= m Tnm sin α mx sin β ny 

m=1 n=1 

α m = mπ 

l x 

, β n = nπ 

l y







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Fourierkoeffizient p nnm : 

p nnm = 4 ∫l x ∫l y 

p l x l y n(x, y) sin α mx sin β nydxdy 

0 0 

Fourierkoeffizient m Tnm : 

m Tnm = 4 ∫l x ∫l y 

m l x l y T (x, y) sin α mx sin β nydxdy 

0 0 

Gesamtbelastung p(x, y) : 

p(x, y) = p n(x, y) − ∆m T (x, y) 

p(x, y) ∼ ∞∑ ∞∑ 

= p nnm + [α 2 m + βn]m 2 Tnm sin α mx sin β ny 

m=1 n=1 

p(x, y) ∼ ∞∑ ∞∑ 

= p nm sin α mx sin β ny 

m=1 n=1 

p nm = p nnm + [α 2 m + β2 n ]m T nm







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Ansatz für die Verschiebungsfunktion w(x, y) : 

∑ 

w(x, y) = ∞ ∞∑ 

f nm sin α mx sin β ny 

m=1 n=1 

Einsetzen des Ansatzes für w(x, y) in die Plattendifferentialgleichung : 

∞∑ ∞∑ 

∞∑ ∞∑ 

f nm(α 4 m + 2α 2 mβn 2 + βn) 4 sin α mx sin β ny = 1 p K 

nm sin α mx sin β ny 

m=1 n=1 

m=1 n=1 

Bestimmung von f mn aus Koeffizientenvergleich : 

f mn = 1 K 

p nm 

α 4 = 1 p nm 

m +2α2 m β2 n +β4 n K (α 2 m +β2 n )2 

∞∑ ∞∑ 

w(x, y) = 1 p nm 

K 

α 

m=1 n=1 

4 sin α mx sin β ny 

m +2α2 m β2 n +β4 n







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Anmerkung 

Vorteile 

• Einfache Lösung. 

• Beliebige Belastungen p n(x, y), m T (x, y) und diskrete Lasten können 

berücksichtigt werden. 

Nachteile 

• Nur für gelenkige Lagerung aller Ränder anwendbar. 

• Für kleine Belastungsflächen und für diskrete Lasten ist die 

Konvergenz der Reihen relativ schlecht (besonders bei der 

Berechnung der Momente und Querkräfte).

Numerische Lösungen - Differenzenverfahren 





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Anmerkung 

Vorteile 

• Differenzengleichungen lassen sich relativ schnell von Hand aufstellen. 

• Differenzenverfahren ist historisch älter als die FEM. Es gibt für die 

meisten Probleme eine Lösung mit dem Differenzenverfahren. 

• Differenzenverfahren dominieren in der Thermodynamik und der 

Strömungsmechanik. 

Nachteile 

• Schwierigkeiten bei der Anwendung auf Probleme mit komplizierten 

Randbedingungen 

• Probleme treten auf, wenn Parameter (Steifigkeiten, Geometrie usw.) 

veränderlich sind. 

• Es entstehen sehr häufig große nichtsymmetrische Gleichungssysteme 

mit schlechter Konditionierung. 

• Die Entwicklung universeller Programmsysteme mit der ZDM bereitet 

Schwierigkeiten.






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Anmerkung 

Vorteile 

• Differenzengleichungen lassen sich relativ schnell von Hand aufstellen. 

• Differenzenverfahren ist historisch älter als die FEM. Es gibt für die 

meisten Probleme eine Lösung mit dem Differenzenverfahren. 

• Differenzenverfahren dominieren in der Thermodynamik und der 

Strömungsmechanik. 

Nachteile 

• Schwierigkeiten bei der Anwendung auf Probleme mit komplizierten 

Randbedingungen 

• Probleme treten auf, wenn Parameter (Steifigkeiten, Geometrie usw.) 

veränderlich sind. 

• Es entstehen sehr häufig große nichtsymmetrische Gleichungssysteme 

mit schlechter Konditionierung. 

• Die Entwicklung universeller Programmsysteme mit der ZDM bereitet 

Schwierigkeiten.






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Eindimensionale Probleme 

Zentrale Differenzen: 

Zweidimensionale Probleme 

v ′ ∼ = 

v i +1 −v i −1 

2h 

v ′′ ∼ = 

v i +1 −2v i +v i −1 

h 2 

v ′′′ ∼ = 

v i +2 −2v i +1 +2v i −1 −v i −2 

2h 3 

v ′′′′ ∼ = 

v i +2 −4v i +1 +6v i −4v i −1 +v i −2 

h 4 

( d4 w 

dx 4 ) i,j 

∼ = 

w i +2,j −4w i +1,j +6w i ,j −4w i −1,j +w i −2,j 

h 4 

( d4 w 

dy 4 ) i,j 

∼ = 

w i ,j+2 −4w i ,j+1 +6w i ,j −4w i ,j−1 +w i ,j−2 

k 4






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( d4 w 

dx 2 dy 2 ) i,j 

∼ = 

∆∆w(x, y) i,j = ( d4 w 

dx 4 ) i,j + 2( d4 w 

dx 2 dy 2 ) i,j + ( d4 w 

dy 4 ) i,j 

∼ = 

w i +2,j −4w i +1,j +6w i ,j −4w i −1,j +w i −2,j 

h 4 

χ 2 

h 4 (w i+1,j+1 − 2w i,j+1 + w i−1,j+1 − 

2w i+1,j + 4w i,j − 2w i−1,j + 

w i+1,j−1 − 2w i,j−1 + w i−1,j−1 ) 

+ 2 χ2 

h 4 (w i+1,j+1 − 2w i,j+1 + w i−1,j+1 − 

2w i+1,j + 4w i,j − 2w i−1,j + w i+1,j−1 − 2w i,j−1 + w i−1,j−1 )+ 

w i ,j+2 −4w i ,j+1 +6w i ,j −4w i ,j−1 +w i ,j−2 

k 4 = 

w i +2,j −4(1+χ 2 )w i +1,j +(6+8χ 2 +6χ 4 )w i ,j −4(1+χ 2 )w i −1,j +w i −2,j +χ 4 w i ,j+2 

h 4 

− 

4χ 2 (1+χ 2 )w i ,j+1 −4χ 2 (1+χ 2 )w i ,j−1 +χ 4 w i ,j−2 +2χ 2 (w i −1,j−1 +w i +1,j−1 +w i −1,j+1 +w i +1,j+1 ) 

h 4






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∆∆w(x, y) i,j 

∼ = 

1 

h 4 [ ]w 

∆w(x, y) i,j 

∼ = 

1 

h 2 [ ]w






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Folie 5 - 


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Folie 8 - 



( d2 w(x,y) 

dxdy ) i,j 

∼ = 

χ 

4h 2 [ ]w 

( d3 w(x,y) 

dxdy 2 ) i,j 

∼ = 

χ 2 

2h 3 [ ]w






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( d3 w(x,y) 

dx 2 ) 

dy i,j 

∼ χ = 2h 3 [ ]w 

( d4 w(x,y) 

dx 2 dy 2 ) i,j 

∼ = 

χ 2 

h 4 [ ]w






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(m x ) i,j 

∼ = 

−K 

h 2 [ ]w 

(m x ) i,j 

∼ = 

−K 

h 2 [ ]w






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(m xy ) i,j 

∼ = −(1 − ν)K 

χ 

4h 2 [ 

(q x ) i,j 

∼ = 

−K 

2h 3 [ ]w 

]w







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Folie 5 - 


Folie 6 - 


Folie 7 - 


Folie 8 - 


(q y ) i,j 

∼ = 

−K 

2h 3 [ ]w 

(¯q x ) i,j 

∼ = 

−K 

2h 3 [ 

]w







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(¯q y ) i,j 

∼ = 

−K 

2h 3 [ 

]w

Grundgleichungen der Platte in Zylinderkoordinaten 





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Anmerkung 

Analog zur Herleitung in kartesischen Koordinaten können die Gleichungen 

für die Darstellung in Zylinderkoordinaten entwickelt werden. 

Das bedeutet ein nochmaliges Herleiten der Plattenschnittgrößen, der 

Gleichgewichtsbedingungen, der Verzerrungs-Verformungsbeziehungen und 

der Stoffgesetze unter Beachtung von Zylinderkoordinaten. 

Die Herleitung aller Grundgleichungen und der Differentialgleichung kann 

durch eine Koordinatentransformation erfolgen. 

Entsprechend der Transformationsvorschrift müssen in den 

Grundgleichungen für kartesische Koordinaten die Koordinaten x, y und z 

sowie alle Ableitungen davon ersetzt werden. 

Für einen Punkt P 0 gilt folgende 

Transformationsvorschrift: 

x 0 = r cos φ 

y 0 = r sin φ 

z 0 = z 0






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Anmerkung 

Die radiale Richtung r, die tangentiale Richtung t und die z-Richtung des 

Zylinderkoordinatensystems r, j, z stehen, wie die kartesischen Koordinaten 

x, y, z , senkrecht zueinander 

⇒ Die Möglichkeit der Überführung der Gleichungen für kartesische 

Koordinaten in Zylinderkoordinaten durch folgende Substitution der Indizes 

(wobei zunächst die Richtung t als Koordinate auftritt). 

x → r 

y → t 

z → z 

dx → dr 

dy → dt = rdϕ 

dz → dz 

∂(...) 

∂x 

∂(...) 

∂y 

∂(...) 

∂z 

= ∂(...) 

∂r 

= ∂(...) 

∂t 

= ∂(...) 

∂z 

= ∂(...) 

r∂ϕ 

Die Gleichgewichtsbedingungen lassen sich auf diese Weise nicht ohne 

weiteres ableiten, da jetzt eine spezielle Geometrie vorliegt (Zunahme der 

Schnittfläche in r-Richtung, zueinander geneigte Schnittflächen bei 

ϕ = konst).






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Laplace-Operator in Zylinderkoordinaten 

Für kartesische Koordinaten gilt für ∆ : ∆(...) = ∂2 (...) 

∂x 2 + ∂2 (...) 

∂y 2 

Ableitung der Koordinaten x und y nach r und ϕ: 

x = r cos ϕ ; 

∂x 

∂y 

= −r sin ϕ ; 

∂ϕ 

y = r sin ϕ 

∂ϕ = r cos ϕ 

∂x 

∂r = cos ϕ ; ∂y 

∂r = sin ϕ 

Zusammenhang der Ableitungen nach den Zylinderkoordinaten r, ϕ und den 

kartesischen Koordinaten x und y : 

∂(...) 

∂r 

∂(...) 

∂ϕ 

= ∂(...) ∂(x) 

∂x ∂r 

= ∂(...) ∂(x) 

∂x ∂ϕ 

+ ∂(...) ∂(y) 

∂y ∂r 

+ ∂(...) ∂(y) 

∂y ∂ϕ 

= ∂(...) 

∂x 

= ∂(...) 

∂x 

(cos ϕ) + ∂(...) (sin ϕ) 

∂y 

(−r sin ϕ) + ∂(...) (r cos ϕ) 

∂y






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Auflösen nach ∂(...) 

∂x 

∂(...) 

∂x 

∂(...) 

∂y 

∂ 2 (...) 

∂x 2 

∂ 2 (...) 

∂y 2 

= (cos ϕ) ∂(...) 

∂r 

= (sin ϕ) ∂(...) 

∂r 

= ∂ ∂x 

= ∂ ∂y 

∂(...) 

∂x 

∂(...) 

∂y 

und ∂(...) 

∂y : 

− ( 1 r 

+ ( 1 r 

sin ϕ) 

∂(...) 

∂ϕ 

cos ϕ) 

∂(...) 

∂ϕ 

= cos ϕ ∂ ∂(...) 

(cos ϕ − 1 ∂(...) 

sin ϕ ∂r ∂r r ∂ϕ ) 

− 1 r sin ϕ ∂ ∂(...) 

(cos ϕ − 1 ∂(...) 

sin ϕ ∂ϕ ∂r r ∂ϕ ) 

= sin ϕ ∂ ∂(...) 

(sin ϕ + 1 ∂(...) 

cos ϕ ∂r ∂r r ∂ϕ ) 

+ 1 r cos ϕ ∂ ∂(...) 

(sin ϕ + 1 ∂(...) 

cos ϕ ∂ϕ ∂r r ∂ϕ )






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∂ 2 (...) 

+ ∂2 (...) 

= ∂2 (...) 

+ 1 ∂ 2 (...) 

+ 1 ∂(...) 

∂x 2 ∂y 2 ∂r 2 r 2 ∂ϕ 2 r 2 ∂r 


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Schnittgrößen 

Zwischen den Spannungen σ ϕ , σ ϕ , τ rϕ und den Schnittgrößen m r , m ϕ, 

m r,ϕ , q r und q ϕ muss folgender Zusammenhang bestehen: 

m r = 

h 

2 ∫ 

− h 2 

m rϕ = m ϕr = 

q r = 

h 

2 ∫ 

− h 2 

σ r zdz ; m ϕ = 

h 

2 ∫ 

− h 2 

τ rϕzdz 

τ rz dz ; q ϕ = 

h 

2 ∫ 

− h 2 

h 

2 ∫ 

− h 2 

σ ϕzdz 

Biegemomente in N 

Drillmomente in N 

τ ϕz dz Querkräfte in N 

mm






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Gleichgewichtsbedingungen 

Kräftegleichgewicht : 

1 

r (qr r),r + 1 (qϕ),ϕ + pn(r, ϕ) = 0 

r 

Momentengleichgewichte : 

1 

r (mr r),r − 1 r mϕ + 1 (mrϕ),ϕ − qr = 0 

r 

1 

r (mrϕr),r − 1 r mrϕ + 1 (mϕ),ϕ − qϕ = 0 

r 

Verzerrungs- Verformungsbedingungen 

ɛ r = −zw ,rr 

ɛ ϕ = −z( 1 

r 2 w ,ϕϕ + 1 r w,r ) 

γ rϕ = −2z( 1 r w,rϕ + 1 

r 2 w ,ϕ)






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Stoffgesetz 

σ r = 

σ ϕ = 

∆∆ - Operator 

E 

1−ν 2 [ɛ r + νɛ ϕ] − 

E 

1−ν αT 

E 

1−ν 2 [ɛ ϕ + νɛ r ] − 

E 

1−ν αT 

τ rϕ = τ ϕr = 

E 

2(1+ν) γrϕ 

∆∆w(r, ϕ) = (∆w) ,rr + 1 r (∆w),r + 1 

r 2 (∆w) ,ϕϕ 

∆∆w(r, ϕ) = (w ,rr + 1 r w,r + 1 

r 2 w ,ϕϕ) ,rr + 

1 

r (w,rr + 1 r w,r + 1 

r 2 w ,ϕϕ) ,r + 

1 

r 2 (w ,rr + 1 r w,r + 1 

r 2 w ,ϕϕ) ,ϕϕ

Plattendifferentialgleichung in Zylinderkoordinaten 





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Köppe 


Folie 1 - 


Folie 2 - 


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Folie 7 - 


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Anmerkung 

∆∆w(r, ϕ) = pn(r,ϕ) 

K 

− ∆m T (r,ϕ) 

K 

Die Schreibweise der Plattendifferentialgleichung in kartesischen 

Koordinaten und Zylinderkoordinaten ist identisch. 

Der Unterschied liegt in der Formulierung des ∆ - Operators. 

Sonderfall - Rotationssymmetrische Lösung 

Es wird vorausgesetzt, dass die Geometrie, Belastung und Lagerung 

rotationssymmetrisch sind. 

⇒ Alle Größen sind unabhängig von ϕ .






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Die Lösung ist nur noch eine Funktion r . 

Plattendifferentialgleichung: 

∆∆w(r) = pn(r) 

K 

Schnittgrößen: 

− ∆m T (r) 

K 

m r = −K[w rr + ν r wr ] − m T 

m ϕ = −K[ 1 r wr + νwrr ] − m T 

m rϕ = m ϕr = 0 

q ϕ = q ∗ ϕ = 0 

q r = q ∗ r = −K(∆w) r ) − m T ,r 

Laplace (∆) - Operator: 

∆w(r) = w ,rr + 1 r w,r = d2 w(r) 

dr 2 

+ dw(r) 

rdr 

= d dw(r) 

(r ) 

rdr dr






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Köppe 


d 

rdr {r d dr [ d dw(r) 

(r )]} = pn(r) 

rdr dr 

K − ∆m T (r) 

K 


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Anmerkung 

Die Plattendifferentialgleichung ist ein gewöhnliche Differentialgleichung, 

die schrittweise direkt integriert werden kann, wenn die rechte Seite jeweils 

eine integrierbare Funktion ist. 

Die Lösung kann aber aus der Überlagerung einer partikulären und einer 

homogenen Lösung aufgeschrieben werden. 

w(r) = w p(r) + w h (r) 

Die partikuläre Lösung muß die vollständige Differentialgleichung erfüllen.






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Die Lösung der homogenen Differentialgleichung entsteht durch schrittweise 

Integration: 

d 

rdr {r d dr [ d 

rdr (r dw h (r) )]} = 0 

dr 

{r d dr [ d 

rdr (r dw h (r) 

dr )]} = C 1 

[ d 

rdr (r dw h (r) 

dr )] = C 1 ln(r) + C 2 

d 

dr (r dw h (r) ) = C dr 1 r ln(r) + C 2 r 

(r dw h (r) 

dr ) = C 1 

r 2 2 (ln(r) − 1 2 ) + 1 2 C 2r 2 + C 3 

w h (r) = C 1 

r 2 4 (ln(r) − 1) + 1 4 C 2r 2 + C 3 ln(r) + C 4 

Nach dem Einführen einer dimensionslosen Koordinate ρ = r R 

(R - Bezugsradius) und Umformen der Argumente ρ in der ln - Funktion 

erhält man mit neuen Konstanten die homogene Lösung: 

w h (r) = Aρ 2 ln(ρ) + Bρ 2 + Cln(ρ) + D






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Anmerkung 

Für volle Kreisplatten ohne Einzelkraft oder Lager bei r = 0 gilt immer 

A = C = 0. 

Dies kann an Hand entsprechender Randbedingungen ( z. B. 

w(r = 0) ≠ ∞ und w ,r (r = 0)) gezeigt werden.

Rotationssymmetrische Kreisplatte mit elastischer 

Bettung 





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Annahmen 

Für die elastische Bettung gelten die Annahmen nach 

Winkler/Zimmermann. 

• Es wird angenommen, dass an den Rändern der Platte die 

Verformung der elastischen Bettung schlagartig aufhört. 

• Zwischen dem Widerstand p B (Flächenlast), der Bettungsziffer 

N 

k[ 

mm 3 ] und der Plattenverformung w(r) besteht ein linearer 

Zusammenhang der Form: 

p B = kw(r) 

Für die Gesamtbelastung gilt dann: 

p(r) res = p n(r) − p B (r) = p n(r) − kw(r) 

Für die Plattendifferentialgleichung mit elastischer Bettung gilt dann: 

∆∆w(r) = p(r)res 

K 

− ∆m T 

K 

= pn(r)−kw(r) 

K 

∆∆w(r) + k pn(r) 

w(r) = K K − ∆m T 

K 

− ∆m T 

K


Bettung 





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Annahmen 

Einführen dimensionsloser Größen: 

√ 

L = 4 K 

K und ξ = r L 


L 4 ∆∆w(r) + w(r) = pn(r) 

k 

− ∆m T (r) 

k 

Ersetzen von r durch die dimensionslose Koordinate ξ im ∆-Operator : 

r = Lξ und dr = Ldξ 

∆w(r) = d2 w(r) 

dr 2 

+ dw(r) 

rdr 

= d2 w(ξ) 

L 2 dξ 2 

+ dw(ξ) 

L 2 ξdξ 

∆w(r) = 1 

L 2 ( d2 w(ξ) 

dξ 2 + dw(ξ) 

ξdξ ) = 1 

L 2 ∆ ξ w(ξ) 

Plattendifferentialgleichung für dimensionslose Koordinate ξ : 

∆ ξ ∆ ξ w(ξ) + w(ξ) = pn(ξ) 

k 

− ∆ ξm T (ξ) 

L 2 k


Bettung 





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Annahmen 

Die Lösung kann als Summe aus partikulärer und homogener Lösung 

aufgeschrieben werden: : 

w(ξ) = w p(ξ) + w h (ξ) 

Für die partikuläre Lösung muss je nach rechter Seite ein geeigneter Ansatz 

so gemacht werden, der die vollständige Differentialgleichung erfüllt . 

Die homogene Differentialgleichung ist eine sogenannte Besselsche 

Differentialgleichung. 

Die Homogene Differentialgleichung 

∆ ξ ∆ ξ w(ξ) + w(ξ) = 0 

kann durch zwei Differentialgleichungen 2. Ordnung 

ersetzt werden. 

∆ ξ w(ξ) ± iw(ξ) = 0


Bettung 





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Annahmen 

Es gilt nämlich: 

bzw. 

∆ ξ [∆ ξ w(ξ) + i w(ξ)] − i [∆ ξ w(ξ) + i w(ξ)] = 0 


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∆ ξ [∆ ξ w(ξ) − i w(ξ)] + i [∆ ξ w(ξ) − i w(ξ)] = 0 

Umformen der komplexen Differentialgleichung 2. Ordnung 

in 

ersetzt werden. 

d 2 (w) 

dξ 2 

ξ 2 d 2 (w) 

dξ 2 

+ d(w) 

ξdξ ± i w = 0 

+ ξ d(w) 

ξdξ ± ξ2 i w = 0 

Durch witeres Umformen erhält man die Besselsche Differentialgleichung 

der Form 

x 2 y ′′ + xy ′ + (x 2 − p 2 )y = 0


Bettung 





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Lösung der Besselschen Differentialgleichung 

w h (ξ) = C 1 ber(ξ) + C 2 bei(ξ) + C 3 ker(ξ) + C 4 kei(ξ) 

Gesamtlösung für die elastisch gebettete rotationssymmetrische Platte 

Anmerkung 

w h (ξ) = w p(ξ) + C 1 ber(ξ) + C 2 bei(ξ) + C 3 ker(ξ) + C 4 kei(ξ) 

Die Kelvinschen Funktionen ber und bei stellen den realen und den 

imaginären Teil der Bessel Funktionen J ν(z) dar 

Die Kelvinschen Funktionen ker und kei stellen den realen und den 

imaginären Teil der Bessel Funktionen K ν(z) dar 

Die Kelvinschen Funktionen ber und bei sind anschwellende Funktionen mit 

wachsenden ξ. 

Die Kelvinschen Funktionen ker und kei sind abklingende Funktionen mit 

wachsenden ξ.

Vorlesung Numerische Berechnung von Leichtbaustrukturen - 3 ...

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