Die Dirac-Gleichung in gekrümmter Raumzeit - Fachbereich Physik

4 2 Koordinatenunabhängige Basen
2.1 Konstruktion von Tetraden
Denition 2.1.1 Ein n-Tupel (ê (a) , . . . , ê (n) ) von Vektorfeldern auf einer oenen Menge U ⊆ M
heiÿt Rahmen, Basis oder n-Bein auf U, falls die Elemente des Tupels in jedem Tangentialraum
linear unabhängig sind. Gilt sogar g(ê (a) , ê (b) ) = η ab , so heiÿt (ê (a) , . . . , ê (n) ) pseudoorthonormal-Repère.
η ab = η ab = diag(1, −1, −1, −1) sind dabei die Komponenten einer Normalform
von g. Für den Fall n = 4 wird ein pseudo-orthonormal-Repère auch Tetrade genannt.
Das üblicherweise in der physikalischen Anwendung auftretende Ricci-Kalkül birgt eine groÿe
Menge an kontra bzw. kovarianten Indizes in sich, deren Handhabung in langen Rechnungen
und Koordinatentransformationen oft schlecht überschaubar ist. Die Einführung von Tetraden
erschwert dies noch zusätzlich, da nun auch noch zwischen koordinatenabhängigen und koordinatenunabhängigen
Objekten unterschieden werden muss. Im Anhang A wurden, in unüblicher
Weise, durchgehend alle Indizes mit kleinen lateinischen Buchstaben aus der Mitte des Alphabets
geschrieben. Daher sei an dieser Stelle nocheinmal auf die von hieran verwendete Notation verwiesen.
Koordinatenunabhängige Tetraden-Indizes werden mit kleinen lateinischen Buchstaben
a, b, . . . versehen und laufen von 0 bis 3, koordinatenabhängige mit kleinen griechischen µ, ν, . . . .
Um zusätzlich die Vektoren der Tetradenbasis zu markieren, werden deren Indizes geklammert
dargestellt. Da die Vektoren einer Tetrade nicht unbedingt tangential an den Koordinatenfunktionen
liegen müssen, werden sie auch anholonom genannt.
Sinn einer Basis ist es, jeden Vektor als Linearkombination der Basisvektoren ausdrücken zu
können. Speziell lassen sich die Vektoren ê (a) in der holonomen Basis ê (µ) = ∂ µ darstellen durch:
ê (µ) (x) = e a
µ (x)ê (a) . (2.1.1)
Die Komponenten e a
µ bilden eine invertierbare n × n Matrix 1 : Die Inversen werden durch vertauschen
der Indizes gekennzeichnet und die Matrizen erfüllen dann die Beziehungen
e µ ae a
ν = δ µ ν , e a
µ e µ b = δa b . (2.1.2)
Auÿerdem dienen sie als Komponenten des Vektors ê (a) in der Koordinatenbasis:
In Tetradendarstellung wird aus (2.0.2):
ê (a) = e µ a(x)ê (µ) . (2.1.3)
g µν e µ ae ν b = η ab bzw. g µν = e a
µ e b
ν η ab . (2.1.4)
Gleichzeitig kann eine Basis von Linearformen ˆθ (a) , gekoppelt durch
ˆθ (a) (ê (b) ) = δ a b , (2.1.5)
des Dualraums M ∗ p gefunden werden, welche auch über die Tetradenfelder in der Koordinatenabhängigen
Basis ˆθ (µ) = dx µ darstellbar ist:
ˆθ (µ) = e µ a ˆθ (a) bzw. ˆθ(a) = e a
µ ˆθ (µ) . (2.1.6)
Ein Vergleich mit (2.1.1) und (2.1.3) zeigt, dass sich die Tetradenfelder als Transformationsmatrizen
der Linearformen genau umgekehrt zu denen der orthormalen Basisvektoren verhalten. So
kann jeder beliebige Vektor bzw. Tensor in der jeweils anderen Basis ausgedrückt werden. Für
Vektorfelder X µ ê (µ) und X a ê (a) ergibt sich das Transformationsgesetz dann zu:
X a = e a
µ X µ . (2.1.7)
1Wie schon bei den Zusammenhängen, werden auch hier die Komponenten e a
µ selbst Tetraden-, oder n-Bein-
Felder genannt.