Die Dirac-Gleichung in gekrümmter Raumzeit - Fachbereich Physik

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Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
2 Koordinatenunabhängige Basen 3
2.1 Konstruktion von Tetraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Tetradenbeziehungen und die Lorentz-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Spin-Zusammenhang und kovariante Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Spinoren 9
3.1 Lorentz- und Poincaré-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Denition eines 2-komponentigen Spinors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 Cliord- und Lie-Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3.1 Lie-Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3.2 Cliord-Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3.3 Beispiele für Cliord-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3.4 Die Lie-Algebra so(3) und so(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4 Spin-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4.1 SO(3) und SU (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4.2 Denition über die Cliord-Unteralgebra Cl 0 (V ) . . . . . . . . . . . . . . 18
3.5 SL(2, C) und die Lorentz-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.5.1 Die linke und die rechte Fundamentaldarstellung . . . . . . . . . . . . . . 21
4 Die Dirac-Gleichung 25
4.1 Die Dirac-Gleichung im Minkowski-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Die Dirac-Gleichung in gekrümmter Raumzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2.1 Das Dirac-Spinor-Bündel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2.2 Der Spin-Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.3 Der Dirac-Operator in gekrümmter Raumzeit . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 Zusammenfassung und Ausblick 35
6 Anhang A 37
6.1 Karten, Atlanten, Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.2 Der Tangentialraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.3 Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.4 Die kovariante Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.5 Paralleltransport und Krümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Literaturverzeichnis 51