Die Dirac-Gleichung in gekrümmter Raumzeit - Fachbereich Physik

4.2 Die Dirac-Gleichung in gekrümmter Raumzeit 29
es sich um eine konstante, weil globale Matrix Λ handelte. Im aktuellen Kontext sind die Λ(x)'s
aber nur lokal deniert und somit korrespondieren auch nur lokale A(x) aus SL(2, C) zu diesen.
Da jeder Spinor als Tensor darstellbar ist, gilt natürlich das Tensortransformationsgesetz (2.2.4)
für die LLT's,
Ψ −→ Ψ ′ = Λ(x)Ψ . (4.2.1)
Für die beiden lokalen Fundamentaldarstellungen ist dies aber nicht ohne Weiteres gegeben. Sollte
es dennoch möglich sein, wird von einem Lift der Strukturgruppe des Tangentialbündels T M ∈ M
aus der Gruppe SO(1, 3) in die Gruppe SL(2, C) gesprochen. M besitzt dann eine sogenannte
Spin-Struktur. Das Konzept soll nun vertieft werden, um das Spinor-Bündel einzuführen.
4.2.1 Das Dirac-Spinor-Bündel
Es wird wieder die Raumzeit M mit der Strukturgruppe SO(1, 3) herangezogen. P sei ein Punkt
in einer oenen Umgebung U mit Tetradenfeld ê (a) . Die Tetrade û(P ) = ê (a) (P ) im Punkt P
wird jetzt stetig in U entlang einer geschlossenen Kurve C = C(t), im Einheits-Intervall I = [0, 1]
transportiert, bis sie an ihren Ausgangsort û(P ) zurückgekehrt ist. Verschiedene Punkte û(C(t))
der Kurve können nun mit dem Ausgangspunkt û(C(0)) = û(P ) verglichen werden, indem das
Tetradenfeld ê(P ) am Punkt P mit allen anderen Tetradenfeldern der Umgebung U identiziert,
dh. in sie transformiert wird. Dies erfolgt aber über LLT's. Durch den Vergleich von û(C(t))
mit ê (a) an der Stelle C(t), ergibt sich û(C(t)) = ê (a ′ )(C(t)) = Λ a a
ê ′ (a) (C(t)) und die geschlossene
Kurve t ↦→ Λ(t) liegt somit in SO(1, 3). Zu der resultierenden Kurve korrespondiert eine
zweifach überlagernde Kurve ˜C aus SL(2, C). Dann gibt es zwei Elemente A und B (wobei
B = −A und A = I, also die Einheitsmatrix gewählt werden kann) aus SL(2, C), die beide auf
das Element Λ a a
aus SO(1, 3) abbgebildet werden. Das Bild der Verbindung von I nach −I
′
durch die Kurve ˜C liegt wieder in SO(1, 3) und ist gerade die oben betrachtete, geschlossene
Kurve C(t). Topologisch ist dies äquivalent zu einer Rotation von 2π in SO(1, 3), was damit
auch für die mit dieser Kurve verbundene Tetrade gilt. Um jedoch wieder zum Ausgangspunkt
der Kurve ˜C in SL(2, C) zu gelangen, bedarf es einer weiteren Rotation, in der Summe also 4π.
Unglücklicherweise ist dieses Resultat aber nicht eindeutig und von der Wahl der Tetradenfelder
abhängig [17] und so wird ein Tetraden-Bündel 1 gesucht, das sich speziell unter Darstellungen
von SL(2, C) transformiert. Besitzt M eine Spin-Struktur, ist SL(2, C) Strukturgruppe und Tetraden
û können um beliebige geschlossene Kurven ˜C in M transportiert werden, so dass bei
Rückkehr zum Ausgangspunkt zwischen einer geraden und ungeraden Anzahl von Rotationen
unterschieden werden kann. Es wird dadurch ein neuer Aspekt der Tetraden eingeführt der auf
den oben erläuterten Begri orientation-entanglement Bezug nimmt und gelegentlich die Bezeichnung
spin-entanglement erhält [18]. Mit ihrem spin-entanglement spezizierte Tetraden können
Spin-Rahmen genannt werden, sollen hier aber ihre alten Namen beibehalten. Analog zu Kapitel
3 können dann 2-komponentige Spinoren über die Darstellungen A von SL(2, C) deniert werden,
deren disjunkte Vereinigung auf ganz M das sogenannte Spinor-Bündel ist. Es wird von
nun an immer eine Raumzeit M mit Spin-Struktur gefordert.
Die LLT's sind jetzt also die Transformationen des Tetraden-Bündels und die Matrizen A(x)
die des 2-komponentigen Spinor-Bündels. Durch die Verknüpfung der beiden Darstellungen von
A(x) ergibt sich das mit SM bezeichnete, 4-komponentige Dirac-Spinor-Bündel mit Transformationen
der Gruppe Spin(1, 3). Diese lässt sich somit auch
{ ( ) ∣ }
∣∣∣∣
A 0
Spin(1, 3) =
0 A †−1 A ∈ SL(2, C)
(4.2.2)
schreiben. Die Elemente 2 Ψ des Dirac-Spinor-Bündels dienen dann als die Wellenfunktionen
1Analog zum Tangentialbündel, nur für Tetradenfelder.
2In der Theorie der Faserbündel eigentlich der Schnitt.