Die Dirac-Gleichung in gekrümmter Raumzeit - Fachbereich Physik

3.3 Cliord- und Lie-Algebra 17
Für M 12 = J x , M 13 = J y , M 23 = J z erfüllen (3.3.29) und (3.3.31) genau die Relationen der
Lie-Algebra so(3) aus Gleichung (3.3.5) und bilden somit die innitesimalen Erzeugenden der
Drehgruppe SO(3). Die Beziehungen legen, bis auf einen Isomorphismus, die Strukturkonstanten
fest und denieren somit eine Lie-Algebra.
Für den allgemeineren Fall ergibt sich aus der Kommutatorberechnung, mit Hilfe von (3.3.30):
[M ij , M rs ] = 1 4 (e ie j e r e s − e r e s e i e j )
= δ is M jr + δ ir M sj + δ sj M ri + δ rj M is , (3.3.32)
welche die Kommutatorrelationen der orthogonalen Gruppe O(n) erfüllen. Es wir jetzt eine Darstellung
dieser Gruppe gesucht. Dabei ist V n der Darstellungsraum, welcher von den Elementen
e k erzeugt wird. Zunächst ein sehr kurzer Einschub.
Exponentialabbildung
In der Theorie der Lie-Gruppen wird eine Abbildung von der Lie-Algebra einer bestimmten
Lie-Gruppe in eine Gruppe, welche die lokale Gruppenstruktur dieser Lie-Algebra erhält Exponentialabbildung
genannt. Sie ist der Hauptgrund dafür, dass Lie-Gruppen durch die zu Grunde
liegenden Lie-Algebren untersucht werden können. Bei einer Matrix Lie-Gruppe fallen Exponentialabbildung
und das Matrixexponential zusammen. Letztere ist eine Funktion auf der Menge
der quadratischen Matrizen, welche analog zur reellen Exponentialfunktion deniert ist. Das Matrixexpontial
stellt die Verbindung zwischen Lie-Algebra und der zugehörigen Lie-Gruppe her.
Sei X eine reelle oder komplexe n × n-Matrix. Das Exponential von X, welches durch e X oder
exp(X) bezeichnet wird, ist die n × n-Matrix, welche durch die folgende Potenzreihe deniert
ist:
∞∑
e X X k
=
k! . (3.3.33)
k=0
Diese Reihe konvergiert immer, daher ist das Exponential von X wohldeniert. Wenn X eine
1×1-Matrix ist, entspricht das Matrixexponential von X der gewöhnlichen Exponentialfunktion.
Desweiteren kann gezeigt werden [8], dass zu jeder Lie-Gruppe eine ein-parametrige Untergruppe
existiert, wobei jedes Element der Gruppe entweder durch Elemente der Untergruppe aufgebaut
wird oder aber selbst Teil der Untergruppe ist. Dadurch lassen sich die Untergruppe und ihre
Elemente über die Exponentialabbildung und einen einzigen Parameter (θ) aus den innitesimalen
Erzeugenden der zu Grunde liegenden Lie-Algebra bestimmen. Das hier Besprochene soll
nun Anwendung nden.
Betrachtet wird jetzt der oben angekündigte Darstellungsraum V n , erzeugt von den Elementen
e k . Die durch den Einschub motivierten Matrizen
S ij (θ) = exp(θM ij ) , (3.3.34)
lassen sich über die Eulersche Identität und die Antikommutationsrelationen (3.3.12) umschreiben.
Wegen (3.3.12) gilt ( 1 2 e ie j ) 2 = − 1 4
und in der Reihenentwicklung des Kosinus kommen genau
diese quadratischen Terme der Exponentialfunktion vor. Da sich dieselbe Relation (3.3.12) auch
bei den ungeraden Termen der Sinusentwicklung bemerkbar macht, entfällt die Notation über
die Imaginäre Einheit. Dann erhält man:
S ij (θ) = exp[( 1 2 θ)e ie j ] = cos( 1 θ)1 2 + e ie j sin( 1 θ) . (3.3.35)
2
Die allgemeinsten linearen Transformation eines Vektors X bzw. einer Matrix X, welche die
Determinante und die Hermitizität erhalten, sind Transformationen der Form
X −→ X ′ = UXU † , (3.3.36)