Die Dirac-Gleichung in gekrümmter Raumzeit - Fachbereich Physik

28 4 Die Dirac-Gleichung
Erzeugung und Vernichtung von Teilchen nicht befriedigend beschreiben, wodurch die Erweiterung
zu einer Dirac-Gleichung für Felder unabdingbar wird. Mit der hier hergeleiteten Gleichung
(4.1.13) ist es möglich, das magnetische Moment des Elektrons sehr genau zu bestimmen und die
Feinstruktur vieler atomarer Spektrallinien zu erklären [16]. Desweiteren ergibt sich auf natürliche
Weise eine Bescheibung des Spins 1 . Diracs ursprüngliches Ziel war es jedoch, die Probleme der
Klein-Gordon-Gleichung zu lösen. Diese kann zwei Defekte nicht beheben: die Wahrscheinlichkeitsdichte
ist nicht positiv denit und negative Eigenzustände des zu beschreibenden Teilchens
treten auf. Ersteres kann von der Dirac-Gleichung gelöst werden, zweiteres hingegen nicht. Ein
Blick auf (4.1.12) und die Relation (γ 0 ) 2 = 1 zeigen, dass ein Dirac Teilchen in Ruhe den beiden
Gleichungen
γ 0 p 0 Ψ = mΨ und p 0 Ψ = mγ 0 Ψ (4.1.17)
gehorcht. Die Eigenwerte von γ 0 sind +1 (zweimal) und −1 (zweimal), dh. es gibt zwei Lösungen
mit positiver und zwei Lösungen mit negativer Energie. Durch Ausschreiben der vier
Komponenten aus (4.1.12) kann gezeigt werden, dass die Energieeigenwerte dann
E = +(m 2 + p 2 ) 1 2 zweimal
E = −(m 2 + p 2 ) 1 2 zweimal , (4.1.18)
ergeben (vgl. [14]). Zu den beiden Lösungen mit positiver Energie korrespondieren dann zwei
Spin Zustände. Teilchen mit negativer Energie wurden bis zur Herleitung der Gleichung jedoch
nie beobachtet und eine Welt mit Teilchen, deren Energien nach oben und nach unten unbeschränkt
sind, wäre instabil, daher postulierte Dirac, das Vakuum sei ein sogenannter Dirac-See.
In einem solchen ist jeder denkbare Zustand mit negativer Energie schon besetzt, so dass weitere
Elektronen nur positive Energien annehmen können. Wird genügend Energie hinzugefügt, dh.
mindestens die Ruheenergie zweier Elektronen, kann einem Elektron des Sees positive Energie
verliehen werden. Das entstehende Loch verhält sich dann wie ein Zustand mit der restlichen,
ebenfalls positiven Energie und der fehlenden, entgegengesetzten Ladung. Dirac selbst dachte
zunächst, es handele sich hierbei um Protonen, obwohl seine eigene Gleichung sogar Teilchen mit
einer Masse äquivalent zu der des Elektrons vorraussagte. Die Existenz von Antiteilchen und die
Paarerzeugung von Elektron-Positron-Paaren wurde aber nur ein Jahr später beobachtet. Dirac
musste seine Annahme daher verwerfen und die Aussagen der obigen Gleichung wurden auf eindrückliche
Art veriziert. Die Vorstellung des Dirac-Sees ist heute allerdings durch die Feynman-
Stückelberg-Interpretation ersetzt, welche die Dirac-Gleichung, wie oben erwähnt, als Gleichung
für ein Quantenfeld Ψ(x) deutet. Mathematisch wird das obige Phänomen dann über einen
Operator ausgedrückt, der in den quantenmechanischen Zuständen Teilchen oder Antiteilchen
erzeugt oder vernichtet. So können mit Hilfe der Quantenfeldtheoretischen Feynman-Diagramme
viele Probleme aus der Elementarteilchenphysik interpretiert und qualitativ berechnet werden.
Für eine Beschreibung der Dirac-Gleichung in gekrümmter Raumzeit wird jedoch weiterhin die
hergeleitete Ein-Teilchen Theorie verwendet.
4.2 Die Dirac-Gleichung in gekrümmter Raumzeit
An Stelle des Minkowski-Raumes wird jetzt eine Raumzeit M, dh. eine vierdimensionale orientierte
und zeitorientierte Lorentz- Mannigfaltigkeit, betrachtet. In Kapitel (2) wurden Tetraden
als Vektorfelder oener Mengen U, V ⊆ M eingeführt, wobei eine Transformation von einer oenen
Menge in eine andere in den Überlappungsgebieten der beiden mittels einer lokalen Lorentztransformation
erfolgte. Gesucht ist nun das Analogon eines 4-komponentigen bzw. Dirac-Spinors
des Minkowski-Raums in einer gekrümmten Raumzeit. In der Disskussion solcher Spinoren im
Minkowski-Raum wurden zu einer Lorentztransformation Λ zwei Matrizen A L/R der Gruppe
SL(2, C) bzw. deren Verknüpfung mit Spin(1, 3) assoziiert. Dort traten keine Probleme auf, da
1Wenn Dirac's ursprünglichem Weg gefolgt wird. In dieser Arbeit wurde mit Darstellungen der Spin-Gruppe
gearbeitet und somit schon vom Phänomen des Spins ausgegangen.