Die Dirac-Gleichung in gekrümmter Raumzeit - Fachbereich Physik

3.2 Denition eines 2-komponentigen Spinors 11
Vierervektor-Darstellung im Minkowski-Raum. Die Lorentz-Gruppe ist eine halbeinfache Gruppe
1 , deren endlichdimensionale Darstellungen alle vollreduzibel 2 sind. Es genügt dann, die irreduziblen
Darstellungen zu suchen und zu klassizieren. Unter diesen sind zwei Darstellungen
ausgezeichnet: die beiden zweidimensionalen Spinordarstellungen sind Fundamentaldarstellungen
der Lorentz-Gruppe, d.h. alle Darstellungen können aus geeigneten Tensorprodukten dieser
beiden gewonnen werden. Damit kommt ihnen eine grundlegende Bedeutung zu. Die Vektoren
der Darstellungsräume sind die (un)gepunkteten Spin-Vektoren und die Tensoralgebra, welche
auf diesen Räumen aufgebaut wird, nennt sich Spinor-Algebra. Somit können Spin-Vektoren zum
Aufbau aller anderen Tensoren dienen. Auf eine explizite Entwicklung solcher Transformationsrelationen
wird jedoch in dieser Arbeit verzichtet, da sie zur Herleitung der Dirac-Gleichung in
gekrümmter Raumzeit nicht zwangsläug erforderlich ist.
Die Zweidimensionalität der Spin-Vektorräume, die in dieser Form einzig auf der zu Grunde
liegenden vierdimensionalen Raumzeit basiert, vereinfacht den entstehenden Spinor-Kalkül
deutlich. In höheren Dimensionen können zwar ebenso Spinor-Darstellungen der entsprechenden
Lorentz- oder Rotationsgruppen gefunden werden, deren Dimension wächst jedoch exponentiell
mit der Raumzeit-Dimension, so dass schon für Dimension 8 der Spin-Vektorraum ebenfalls
achtdimensional wird. Es ist also nur in den Dimensionen drei und vier zu erwarten, mit Hilfe
des Spinor-Kalküls wesentliche Einblicke in die Raumzeitgeometrie zu erhalten.
Da in diesem Kapitel gröÿtenteils algebraische und gruppentheoretische Betrachtungen erfolgen,
werden Summen zunächst explizit ausgeschrieben und alle Indizes wie in Anhang A mit kleinen
lateinischen Buchstaben bezeichnet. Auf die einsteinsche Summenkonvention wird in dieser Diskussion
daher verzichtet.
3.2 Denition eines 2-komponentigen Spinors
Hier soll zunächst eine geometrisch motivierte Denition eines Spinors gegeben werden die sich
an [8] orientiert. Dazu werden zwei Vektoren X 1 = (x 1 ,y 1 ,z 1 ), X 2 = (x 2 ,y 2 ,z 2 ) ∈ R 3 gewählt,
welche zueinander orthogonal stehen und gleiche Norm besitzen. Sie spannen eine Ebene auf
und legen über eine intrinsische Ordnung, hier X 1 , X 2 , eine Orientierung fest. Wegen der ersten
beiden Bedingungen ergibt sich:
‖X 1 ‖ 2 = ‖X 2 ‖ 2 = x 2 1 + y 2 1 + z 2 1
= x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 (3.2.1)
X 1 · X 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2
= 0 . (3.2.2)
Mit Z = (x, y, z) = X 1 +iX 2 werden aus den Komponenten der Vektoren X 1 und X 2 komplexe
Zahlen:
x = x 1 + ix 2 , y = y 1 + iy 2 , z = z 1 + iz 2 , (3.2.3)
die mit den Relationen (3.2.2) und (3.2.2) das Normquadrat des neuen Vektors ergeben:
Z · Z = ‖Z‖ 2 = x 2 1 + y 2 1 + z 2 1 + (x 2 2 + y 2 2 + z 2 2) + 2iX 1 X 2
= x 2 + y 2 + z 2 = 0 . (3.2.4)
Ein solcher Vektor mit verschwindender Norm wird Isotropischer Vektor genannt. Wegen (3.2.4)
können die drei komplexen Zahlen x, y, z, durch zwei andere komplexe Zahlen ausgedrückt wer-
1Dies ist eine Gruppe ohne abelschen Normalteiler
2Eine Darstellung D in V heisst: 1.) reduzibel: wenn es invariante Unterräume gibt, 2.) irreduzibel: wenn es keine
invarianten Unterräume gibt, 3.) vollreduzibel: wenn D äquivalent ist zu D 1
⊕
D2
⊕ . . . mit irreduziblen Di.