Die Dirac-Gleichung in gekrümmter Raumzeit - Fachbereich Physik

40 6 Anhang A
Denition 6.1.10 Für eine C ∞ -Untermannigfaltigkeit M von R m sei F(M) der lineare Raum
aller reellwertigen Funktionen f auf M, für die für jede Karte ϕ die Funktion f ◦ ϕ −1 beliebig
oft dierenzierbar ist.
Werden jetzt zwei Funktionen f,g ∈ F(M) gewählt, heiÿen diese P -äquivalent, wenn sie auf einer
oenen Umgebung von P übereinstimmen. Durch diese Äquivalenzrelation wird eine Klasseneinteilung
in F(M) erzeugt und das System all jener Klassen P -äquivalenter Funktionen mit F(P )
bezeichnet. Da nun ein linearer Raum für die Funktionen f gegeben ist, kann die Richtungsableitung
deniert werden:
Denition 6.1.11 Zu P ∈ M, x ∈ M p und f ∈ F(M) heiÿt die Zahl xf = (f ◦ γ) ′ (0) mit
γ(0) = P und γ ′ (0) = x Richtungsableitung von f an der Stelle P in Richtung x.
6.2 Der Tangentialraum
Die durch die Denitionen 6.1.7 - 6.1.11 gewonnenen speziellen Aussagen, werden nun verallgemeinert.
Denition 6.2.1 Es sei P ∈ M. Eine Abbildung x : F(M) → R mit den Eigenschaften
Linearität:
x(λf + µg) = λ(xf) + µ(xg)
Leibniz-Regel: x(fg) = (xf)g(P ) + f(P )(xg)
wird Tangentenvektor (bzw. Tangentialvektor, kontravarianter Vektor) in P genannt.
Die Menge aller Tangentialvektoren zu einem festen Punkt P ∈ M heiÿt Tangentenraum (bzw.
Tangentialraum) M p . Die disjunkte Vereinigung aller Tangentialräume von M
T M = ⋃
{P } × M p
heiÿt Tangentialbündel von M.
P ∈M
Im Gegensatz zum Tangentialraum, ist das Tangentialbündel T M kein linearer Raum, sondern
eine Mannigfaltigkeit mit dim(T M) = 2dim(M). Die Kurvendenition auf einer allgemeinen
Mannigfaltigkeit ergibt sich abgesehen von einigen Modikationen analog zu Def. 6.1.8 und gibt
durch Umrechnung auf die Karte Anlass zu k-mal stetig dierenzierbaren reellwertigen Funktionen
u 1 , . . . ,u m deniert durch (u 1 (t), . . . ,u m (t)) = ϕ(γ(t)). Dies führt auf:
Denition 6.2.2 Zu einem gegebenen Punkt P der n-dimensionalen C ∞ -Mannigfaltigkeit und
∂
der Karte ϕ bezeichnet
∂u i
(P ) oder kürzer ∂ i den Tangentenvektor, welcher der Funktion f ∈
F(P ) die Zahl
∂(f ◦ ϕ −1 )
ϕ(P ) = ∂ i (f ◦ ϕ −1 )(ϕ(P )) (6.2.1)
∂u i
zuordnet.
Die Anwendung des Tangentevektors ∂ i auf f bedeutet also die partielle Ableitung nach der i-
ten Koordinate, der auf die Karte ϕ umgerechneten Funktion f ◦ ϕ −1 . Erneut dient das Beispiel
aus Def.6.1.7 der n-dimensionalen C k -Untermannigfaltigkeit von R m der Anschauung. Mit der
Darstellung (ξ 1 , . . . ,ξ m ) = ϕ −1 (u 1 , . . . ,u n ) entspricht dies dem Vektor:
(
)
∂ξ 1
∂ i =
∂u i , . . . ,∂ξm
(6.2.2)
∂u i
Das die ∂ i 's eine Basis des M p bilden, wird erst nach Einführung des Vektorfeldbegries deutlich,
welcher speziell im R 3 in Kombination mit den Tangentialräumen auf natürliche Weise eine
Vorstellung von Krümmung in mathematischer Formulierung geben kann.