Der Quanten-Hall-Effekt im Fortgeschrittenenpraktikum

Der Quanten-Hall-Eekt
im Fortgeschrittenenpraktikum
Auszug aus der Staatsexamensarbeit
von
Bianca Muller
angefertigt am
Physikalischen Institut der
Universitt Karlsruhe (TH)
Dezember 1997

Kapitel 1
Einleitung
Das Fortgeschrittenenpraktikum im Physikstudium soll Ihnen moderne experimentelle
Arbeitsweisen und aktuelle Forschungsbereiche nahe bringen.
Um diesem Anspruch gerecht zu werden, sind in den letzten Jahren mehrere
neue Versuche im Fortgeschrittenenpraktikum fur Physik an der Universitat
Karlsruhe aufgebaut worden. Im Rahmen dieser Modernisierung ist
auch der Quanten-Hall-Eekt (QHE) im Praktikum aufgenommen worden.
Der QHE ist Ihnen wahrscheinlich noch nicht sehr vertraut, denn er wurde
erst 1980 von Klaus von Klitzing entdeckt und ist auch noch heute Gegenstand
von aktuellen Forschungsarbeiten, was die standig steigende Zahl von
Veroentlichungen zu diesem Thema zeigt. Fur diese herausragende Arbeit
erhielt von Klitzing im Jahre 1985 den Physik-Nobelpreis, was die Bedeutung
des QHE unterstreicht. Der QHE hat nicht nur theoretische Bedeutung.
Mit seiner Hilfe ist es gelungen, ein Widerstandsnormal einzufuhren,
das nur auf Naturkonstanten beruht und daher resistent ist gegen zeitliches
Driften. Der Eekt tragt somit auch zur Modernisierung des SI-Systems bei.
Mit der Durchfuhrung dieses Versuches erhalten Sie einen Einblick in ein
besonders aktuelles Gebiet der Tieftemperaturphysik. Sie konnen sich mit
der Arbeit am Kryostaten und dem Umgang von ussigem Sticksto und
Helium vertraut machen. Gleichzeitig wird der normale Hall-Eekt behandelt,
ebenso die elektronischen Strukturen der Halbleiter und die Grundlagen
der Quantenmechanik. Die Proben fur den QHE-Versuch sind sogenannte
Halbleiter-Heterostrukturen und sind selbst Gegenstand aktueller Forschung.
Solche Heterostrukturen verhalten sich wie quasi-zweidimensionale Elektronensysteme,
die sich als Prufstein fur viele neue Theorien eignen. Es wird
zunachst der experimentelle Aufbau und die durchzufuhrenden Messungen
beschrieben. es folgt dann eine theoretische Einfuhrung. Fur weitere Fragen
und ausfuhrlichere Betrachtungen wird auf die Literatur verwiesen.
3

4 KAPITEL 1. EINLEITUNG

Kapitel 2
Experimentelles
2.1 Vorbereitung
1. Erlautern Sie den klassischen Hall-Eekt.
2. Welche Voraussetzungen sind an die beim Quanten-Hall-Eekt verwendeten
Proben zu stellen, wie lassen sie sich realisieren?
3. Beschreiben Sie die Besonderheiten eines zweidimensionalen Elektronengases
(2DEG).
4. Welche Veranderungen treten beim QHE auf, wenn man die Temperatur
bzw. den Probenstrom andert?
5. Welchen Einu hat die Zeeman-Aufspaltung auf die Ausbildung der
Hall-Plateaus?
2.2 Versuchsaufbau
2.2.1 Der Kryostat
Der im Praktikum verwandte Kryostat ist ein He 4 -Kryostat mit einer minimalen
Temperatur von etwa 2 K. Die Vorkuhlung des He-Tanks erfolgt mit
ussigem Sticksto (T S = 77 K), der dann vor dem Befullen mit Druckluft
wieder herausgedruckt wird. Zur thermischen Isolierung ist das innere He-
Dewar von einem Vakuum umgeben und zusatzlich ist eine Superisolationsfolie
angebracht worden. Der Probenraum ist ein Rohr, welches am unteren
5

6 KAPITEL 2. EXPERIMENTELLES
Ende doppelwandig ist. In diesem kleinen Hohlraum herrscht ebenfalls Vakuum
zur weiteren Isolation der Probe vom Helium-Bad im inneren Dewar.
Mittels der Kapillare am Boden des Probenraumes ist es moglich, Heliumgas
aus dem Heliumbad in den Probenraum zu pumpen. Die Probe selbst
ist dann am unteren Ende eines weiteren dunneren Rohres, dem Probenstab,
angebracht, welches im Rohr des Probenraumes steckt. Die Probe ist in eine
Proben-Platte geklemmt (schematisch dargestellt in Bild 2.3), an der die
elektrischen Kontakte angebracht sind. Die Leitungsdrahte zur Probe sind
in dem Rohr des Probenstabes verlegt. Kurz oberhalb der Proben-Platte im
Probenstab ist ein Widerstand, der zur Temperaturbestimmung dient, angebracht.
Um den Probenraum herum im inneren Dewar ist die supraleitende
Spule aus Niob-Titan angebracht.
elektrische Anschlüsse
He-Einfüllstutzen
N 2 -Einfüllstutzen
(Vorkühlung)
Druckmeßgerät
Drehschieberpumpe
inneres Dewar
Probenraum
Probenstab
Vakuum
supraleitende
Spule
Superisolationsfolie
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
Isolationsvakuum
Kryostat
He-R. (2)
He-Rückleitung (1)
Thermometer
Proben-Platte
Kapillare
Druckluft-Stutzen
Abbildung 2.1: Schematischer Aufbau der Versuchsanordnung
Die in dem Bild 2.1 verwandten Bezeichnungen werden im Kapitel Versuchsdurchfuhrung
wieder aufgegrien.

2.2. VERSUCHSAUFBAU 7
2.2.2 Meaufbau
Der elektrische Teil der Versuchsanordnung ist in Bild 2.2 dargestellt. Der
Strom durch die Probe I P wird mit dem Gleichstromgeber eingestellt. Die
Spannungen U xx und U xy werden dann am Spannungsmegerat abgelesen
und parallel dazu mit dem X-Y-Schreiber aufgezeichnet. Die Wahl der Spannungskontakte
erfolgt uber eine Umschaltbox. Jeder der beiden Drehschalter
lat sich auf die Kontakte S 1 bis S 6 (vgl. Bild 2.2 oben oder 2.3) einstellen.
Machen Sie sich schon in der Vorbereitung klar, welche Kombinationen zu
welchen Ergebnissen fuhren.
In Bild (2.2 unten) ist der Stromkreis fur das Thermometer abgebildet.
Das Thermometer ist ein Kohlewiderstand, dessen Widerstandswert stark
von der Temperatur abhangt. Der Widerstand ist so gewahlt worden, da
die Anderungen im Temperaturbereich von ussigem Helium sehr gro sind,
so da eine recht genaue Temperaturbestimmung erfolgen kann.
2.2.3 Spulensteuerung
Mit dem "
Superconducting Magnet Power Supply \ wird der Spulenstrom
geregelt.
An der Ruckseite des Gerates wird auf "
Standby \ geschaltet und anschlieend
kann man an der Vorderseite das Gerat anschalten.
Einstellung des "
Set Point \. Mit dieser Einstellung wird das maximale
Magnetfeld ausgewahlt. Halten Sie die Taste "
Set Point \ im Fenster
" Display\ gedruckt, wahrend Sie mit den Tasten im Fenster " Adjust
\ die Wahl des Magnetfeldes vornehmen. Die "
Adjust \-Tasten sind
nur in Verbindung mit einer weiteren Taste funktionsfahig.
Einstellung der Set Rate \. Hiermit wird die Geschwindigkeit fur das
"
Durchfahren des Feldes bestimmt. Verfahren Sie wie beim Einstellen
des Set Point \, halten Sie nun aber die Taste Set Rate \ im Fenster
" "
Display\ gedruckt.
"
"
Switch Heater \ Die Spule ist bei He-Temperaturen supraleitend.
Deshalb mu man zum Einleiten des Stromes die supraleitende Kurzschlubrucke
aufheizen auf Temperaturen oberhalb der supraleitenden
Ubergangstemperatur des Spulenmaterials (vgl. Bild 2.5). Wahrend des
gesamten Durchfahrens des Magnetfeldes mu der Heizer angeschaltet

8 KAPITEL 2. EXPERIMENTELLES
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
S S S 1
00 11 3 11000
111 2
00 11
11000
111
000 111
000 111
000 111
000 111
Probe
000 111
000 111
000 111
00 11
11000
111 000 111
00 11
11000
111
00 11
11000
111
S4 S S
5 6
U
xx
bzw. U
xy
rot
=
I Probe
schwarz
gelb
=
I
Th
U Th
Kohlethermometer
Abbildung 2.2: Schaltskizzen

2.2. VERSUCHSAUFBAU 9
S
3
S
2
S
1
S
8
111100
0100
00 11
00 11 00 11
00 11
00 11
111100
0100
S S S
4 5 6
S
7
Abbildung 2.3: Die Probe in der Proben-Platte, Ansicht von unten
Superconducting Magnet Power Supply
Display
Sweep
Control
Switch
Heater
Control Adjust Power
Volts
Amps
Tesla
Quench
Rate
Limiting
Lock
Remote
Local
Raise
Standby
Power On
Current/
Field
Output
Volts
Set
Point
Set
Rate
Hold Set
Point
Zero
Heater
On
Loc/Rem
Lower
On/
Off
Abbildung 2.4: Die Steuereinheit fur die Spule

10 KAPITEL 2. EXPERIMENTELLES
sein. Ist das Feld hochgefahren und sie nehmen die Umstellungen an der
Probe vor, schalten Sie den Heizer aus, da sonst das Helium zu schnell
verbraucht wird. Auf diese Weise iet nur im supraleitenden Magnet
ein Strom und es entsteht keine Joule`sche Warme. Soll das Feld wieder
heruntergefahren werden, ist der Heizer erneut anzuschalten.
Heizdraht
supraleitende
Spule
Abbildung 2.5: Heizen der supraleitenden Kurzschlubrucke der Spule
Durchfahren des Magnetfeldes Nachdem der Set Point\ und die Set
" "
Rate \ eingestellt worden sind, kann man das Feld durchfahren. Schalten
Sie den Heizer an und drucken dann die Taste Set Point \ im
"
Fenster Sweep Control \. Das Magnetfeld wird nun mit der vorbestimmten
Geschwindigkeit aufgebaut. Soll das Durchfahren angehalten
"
werden, kann dies mit der Taste Hold \ im Fenster Sweep Control
" "
\ erreicht werden. Zum weiteren Durchfahren wird einfach wieder der
Set Point\ angewahlt. Zum Herunterfahren des Magnetfeldes druckt
"
man Zero \ im selben Fenster.
"
Im Display ist die Einstellung so vorzunehmen, da die Anzeige das
Magnetfeld in Tesla anzeigt wird.
Im Fenster "
Control \ sollten die Anzeigen "
Lock \ und "
Local \
leuchten, dann ist das Gerat auf Bedienung von der Vorderseite eingestellt.
2.3 Die Proben
Der QHE wird an zweidimensionalen Elektronensystemen beobachtet. Dieses
lat sich auf verschiedene Arten realisieren. Zum einen handelt es

2.3. DIE PROBEN 11
sich um einen Silizium-MOSFET (Metal-Oxide-Semiconductor-Field-Eect-
Transistor) und zum anderen um eine sogenannte GaAs-Al x Ga 1;x As-
Heterostruktur. Mit Si-MOSFET-Proben wurde der Originalversuch von K.
von Klitzing durchgefuhrt, im Praktikum wird eine Heterostruktur verwandt,
aufgrund der in Abschnitt 2.3.2 genannten Vorteile.
2.3.1 Silizium-MOSFET
+ V G
S
00000 11111
00000 11111
00000 11111
00000 11111
00000 11111
00000 11111
00000 11111
00000 11111
n
+ + + + + + + + + + + + +
00000000000000
111111111111110000
00000000000000
111111111111110000
00000000000000
11111111111111
Al
0000 1111
00000000000000
111111111111110000
0000 1111
SiO
0000 1111
2
0000 1111
0000 1111
- - - - - - - - - - - - -
+ +
n
D
z
p-Si
Abbildung 2.6: Schematischer Aufbau eines Silizium-MOSFETs, nach [6]
Beim Si-MOSFET dient ein p-dotierter Siliziumkristall (Halbleiter) als Basis,
bei dem starker dotierte Stellen auf der Oberache als Kontakte fungieren
(Source und Drain). Die verbleibende Oberache ist mit einer amorphen isolierenden
Oxidschicht bedeckt und diese wiederum mit einer Metallschicht.
An der oberen Metallschicht wird die Gate-Spannung V G angelegt. Der Potentialverlauf
ist in Bild 2.7 wiedergegeben. Bei hohen Gate-Spannungen
verlagern sich die positiven Locher tiefer in den Kristall hinein [7]. Wenn
das Leitungsband-Niveau unter das Fermi-Energie-Niveau sinkt, entsteht die
zweidimensionale Inversionsschicht, die bei Si-Kristallen 25 A dick ist [6].
In der z-Richtung sind die Elektronen sozusagen in einem Potentialtopf gefangen.
Die Bewegung senkrecht zu dieser Schichtkann dann quantenmechanisch
beschrieben werden.
Der Vorteil dieser MOSFETs besteht darin, da die Elektronendichte uber
die Gate-Spannung regelbar ist, i.a. von Null bis 10 13 Elektronen pro Quadratzentimeter.
Allerdings haben sie auch Nachteile: bisher ist es noch nicht

12 KAPITEL 2. EXPERIMENTELLES
eV G
0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111
Al
0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111 E F
0000 1111
-
0000 1111
-
0000 1111 -
0000 1111
-
0000 1111
0000 1111
-
0000 1111
SiO 2 -
0000 1111 -
0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111
z-Verarmungszone
z-Inversionsschicht
-
Leitungsband
Valenzband
p-Si
Abbildung 2.7: Potentialverlauf eines Silizium-MOSFET, nach [6]

2.3. DIE PROBEN 13
gelungen, Proben mit einer sehr prazisen Grenzache herzustellen. Es kommt
somit zu Streuungen an der Oberache. Dies fuhrt dazu, da die Beweglichkeit
der Elektronen bei T = 1 K maximal einen Wert von = 4 m 2 /Vs
annimmt [7].
2.3.2 GaAs/GaAlAs-Heterostruktur
Die Heterostruktur besteht aus zwei verschiedenen Materialien, die durch
Molekularepitaxie nacheinander auf ein Substrat abgeschieden werden und
deren Grenzache nahezu atomar glatt hergestellt werden kann. Das GaAs
verhalt sich hierbei analog zu dem Si-Halbleitermaterial des MOSFETs.
Es ist ebenfalls leicht p-dotiert und ein Halbleiter. Das zweite Material ist
Ga 1;x Al x As und fungiert mit seiner breiteren Bandlucke als Isolator. Haug
wird eine Verbindung mit einem x von 0,3 verwendet. Die makroskopische
Geometrie wird in Bild 2.8 wiedergegeben. Das untere GaAs wird n-dotiert,
damit die Probe elektrisch vom Untergrund abgeschirmt wird. Zur Rea-
000 111
0000 1111
000 111
0000 1111 000 111
0000 1111
000 111 0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111
0000 1111 000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111 0000 1111
000 111
0000 1111
000 111
000 111
0000 1111
000 111
I
Alx
Ga 1-x
As
GaAs
(nicht dotiert)
GaAs
10 - 100 nm
2DEG
1 -4 um
semi-isolierend
n + - GaAs
Abbildung 2.8: Typische Geometrie der GaAs-AlGaAs-Probe mit dem zweidimensionalen
Elektronengas (2DEG), nach [2]
lisierung der quasi-zweidimensionalen Elektronenschicht wird das GaAlAs
gezielt mit Silizium n-dotiert (vgl. Kapitel 3.1), was dazu fuhrt, da bewegliche
Elektronen in das Leitungsband gelangen [7]. Einige dieser Elektronen
diundieren in die Locher an der Oberkante des Valenzbandes von GaAs.
Mit dieser Dotierung verschiebt sich die Fermi-Energie E F knapp unterhalb
der Leitungsbandkante. Es verbleibt aber ein leicht positiver Ladungsuberschu,
der die Elektronen anzieht und damit die Bander verbiegt. Die Fermi-
Niveaus streben also einen Ausgleich an und an der Grenzache liegt somit

14 KAPITEL 2. EXPERIMENTELLES
ein elektisches Feld vor [6]. Das zweidimensionale Elektronengas (2DEG) entsteht
an der Grenzache auf der Seite des reinen GaAs (siehe Bild 2.9). Die
Wellenfunktionen fur das 2DEG werden aus den Wellenfunktionen fur das
Leitungsband des GaAs aufgebaut.
Al x Ga 1-x
As GaAs
2dim. Elektronengas
+
Leitungsband
Leitungsband
+
+
-
-
-
E F
Valenzband
-
-
E
z
Valenzband
Abbildung 2.9: Potentialverlauf bei einer GaAs-AlGaAs-Heterostruktur,nach
[6]
Der Vorteil dieser Probe liegt in der hohen Prazision der Herstellung.
An der Grenzache lassen sich die Ladungstrager raumlich von den Donatoren
und Akzeptoren trennen, so da die freie Weglange der Elektronen
gro bleibt. Damit erreicht man eine sehr hohe Beweglichkeit, die Werte von
mehr als 100 m 2 /Vs annehmen kann [7]. Ein weiterer Vorteil ist die etwas
kleinere eektive Masse von GaAs (m = 0 07m e ) im Vergleich zu Silizium
(m =0 2m e ). Das GaAs ist in seiner Struktur einfacher, da Silizium sechs
aquivalente "
Taler \ von Elektronenzustanden an unterschiedlichen, aber
symmetrischen Punkten der Brillouin-Zone hat [6].

2.4. VERSUCHSDURCHF UHRUNG 15
2.4 Versuchsdurchfuhrung
2.4.1 Abkuhlen des Kryostaten
1. Testen, ob die Probe korrekt in dem Probenhalter steckt Geben Sie
dazu einen Teststrom von 50 A durch die Probe und kontrollieren
Sie die einzelnen Kontakte, indem Sie alle moglichen Kombinationen
der Langsspannungsmessung einstellen. Beachten Sie, da der Stromu
durch die Probe wahrend des Umschaltens zwischen den Kontakten
unterbrochen wird. Diese Kontrolle sollten Sie auch vor dem Befullen
mit ussigem Sticksto und Helium durchfuhren.
2. Reinigen des Dewar-Gefaes Pumpen Sie bis zu einem Druck von
;1 0 bar gegen Atmospharendruck. Dann schlieen Sie den Absperrhahn
zur Pumpe und onen langsam das Ventil zur Helium-Ruckleitung
(1). Damit spulen Sie den Kryostaten mit Helium-Gas. Der Druck
im Dewar-Gefa steigt wieder auf Normaldruck an. Das Ventil der He-
Ruckleitung wird dann wieder geschlossen und das der Pumpe wieder
geonet. Spulen Sie das Dewar-Gefa ein weiteres Mal, pumpen Sie ab
und lassen das Dewar dann mit einem Unterdruck von ;1 0 bar stehen.
3. Reinigen des Probenraums Schlieen Sie die Pumpe an den Probenraum
an und schalten das Druckmegerat an. Evakuieren Sie den Probenraum
und spulen ihn zweimal mit Helium-Gas aus der He-Ruckleitung
(2). Den Probenraum lassen Sie dann im geuteten Zustand
stehen, schlieen die He-Ruckleitung und schalten die Druckmerohre
aus.
4. Befullen des Kryostaten mit ussigem Sticksto Fluten Sie das Dewar-
Gefa mit He aus der Ruckleitung (1) und schlieen dann das Ventil.
Onen Sie den Druckluft-Stutzen und fuhren den N 2 -Fullstab in
den N 2 -Stutzen ein, bis sich der Fullstab ca. 1 0 cm uber dem Boden
des Dewar-Gefaes bendet. Setzen Sie den Schlauch der N 2 -Kanne
auf den Fullstab und onen langsam den Absperrhahn an der Kanne.
Fullen Sie bis zu einer Hohe von ca. 55 cm Sticksto in den Kryostaten
ein. Den N 2 -Fullstand ermitteln Sie mit Hilfe des Pegelstabs,
der in den He-Stutzen eingefuhrt wird. Ziehen Sie den Stab dann zugig
heraus und messen Sie die Hohe der Vereisung. Dabei sind die Kalteschutzhandschuhe
zu tragen. Nach dem Befullen setzen Sie den kleinen
Schlauch auf den Druckluft-Stutzen und entfernen den Einfullstab, wobei
ebenfalls die Kalteschutzhandschuhe zu tragen sind. Vergewissern

16 KAPITEL 2. EXPERIMENTELLES
Sie sich, da das Stickstogas durch den Schlauch abdampfen kann.
Die Kuhlung der Spule im Kryostaten auf Temperatur von ussigem
N 2 (T = 77 K) dauert ungefahr 2 Stunden.
5. Kontrollieren Sie den Widerstand der Spule (bei N 2 -Temperatur ca.
13,7 ) und den Widerstand des Thermometer-Widerstandes im Probenraum
(bei N 2 -Temperatur ca. 235 ).
6. Entfernen des Stickstos aus dem Kryostaten Fuhren Sie erneut den
Einfullstab in den N 2 -Stutzen ein und schieben den langeren Schlauch
auf, dessen anderes Ende in die bereitstehende kleine N 2 -Kanne gesteckt
wird. Vom Druckluft-Stutzen entfernen Sie den kleinen Schlauch
und setzen statt dessen den Druckluft-Schlauch auf. Geben Sie nun
langsam die Druckluft in den Kryostaten, jedoch sollte dabei der Druck
im Dewar-Gefa nicht uber 0 1 bar Uberdruck ansteigen. Wurde der
Sticksto restlos aus dem Kryostaten entfernt, schlieen Sie den N 2 -
und den Druckluft-Stutzen. Bitte achten Sie darauf, da wahrend der
gesamten Arbeit mit Sticksto die Helium-Ruckleitungen geschlossen
sind.
7. Pumpen Sie das Dewar-Gefa bis auf einen Unterdruck von ;1 0 bar
ab.
8. Pumpen Sie den Probenraum bis auf einen Druck von ca. 3 10 ;2 mbar
ab, schlieen das Ventil zur Pumpe und uten dann das Dewar-Gefa
mit dem Helium aus der Ruckleitung (1). Der Druck im Probenraum
mu schnell wieder auf Normaldruck (Null bar) ansteigen. Andernfalls
ist die Kapillare zwischen Dewar-Gefa und Probenraum vereist ist.
Schlieen Sie die He-Ruckleitung (1) und evakuieren Sie den Probenraum
bis auf einen Druck von ca. 2 0mbar.
9. Evakuieren und spulen Sie das Dewar-Gefa zweimal (siehe Punkt 2.).
10. Befullen des Kryostaten mit Helium Schlieen Sie die Pumpe wieder an
den Probenraum und aktivieren Sie diese. Setzen Sie den He-Heber in
den He-Stutzen am Kryostaten und simultan in die Helium-Kanne. Dabei
mu die He-Ruckleitung (1) am Kryostaten, als auch die He-Ruckleitung
der Kanne geonet sein. Schlieen Sie den roten Gummiball an
die He-Kanne an, sperren die He-Ruckleitung der Kanne und geben mit
dem Ball vorsichtig und langsam Druck auf das Helium. Auch hierbei
sollte der Druck in der Helium-Kanne nicht uber 0 1 bar Uberdruck
ansteigen, ansonsten sollte kurz die Ruckleitung zum Ausgleich geonet
werden. Der Druck im Probenraum sollte zu Beginn des Fullens

2.4. VERSUCHSDURCHF UHRUNG 17
bei ca. 2 0 mbar liegen. Sobald die Helium-Oberache im Kryostaten
die Kapillare erreicht hat, steigt der Druck an und die Pumpe und das
Druckmegerat konnen abgeschaltet werden. Fullen Sie Helium bis zu
einer Hohe von ungefahr 55 cm ein, der Stand wird wiederum mit dem
Pegelstab uberpruft, der nun aber in den N 2 -Stutzen eingefuhrt wird.
Der Pegelstab wird ganz in den Kryostaten gesteckt und langsam hochgezogen.
Ist das Stabende in ussigem Helium, wird einen Schwingung
der oberen Membrane mit niedriger Frequenz erzeugt. Erreicht das Stabende
die Oberache des Bades, so erhoht sich die Frequenz deutlich.
Bei weiterem Herausziehen hort die Schwingung auf. Auch hierbei ist
darauf zu achten, da der Metallstab niemals ohne die Kalteschutzhandschuhe
angefat werden darf.
11. Ermitteln der Widerstande Testen Sie den Widerstand der Spule (bei
He-Temperatur 0,0 ) und die Temperatur im Probenraum (Siedepunkt
von Helium: 4 2 K). Dazu geben Sie einen kleinen Strom durch
den Widerstand im Probenraum, ermitteln diesen Widerstandswert
und lesen dann die Temperatur in der R(T)-Tabelle des Thermometers
(siehe Anhang) ab. Bei den Temperaturmessungen im Probenraum ist
darauf zu achten, da der Strom moglichst gering gehalten wird, da es
sonst zu einer Aufheizung des Thermometers kommt.
12. Durchfuhrung der Messungen Fuhren Sie die Messungen, wie in Kapitel
2.4.2 beschrieben, durch. Achten Sie darauf, da wahrend der Messungen
die He-Ruckleitung (1) geonet bleibt. Ermitteln Sie zwischen
den Messungen den Helium-Pegel. Es durfen keine weiteren Messungen
durchgefuhrt werden, wenn der Stand des ussigen Heliums unter
25 cm sinkt, da dann die Spule nicht mehr vollstandig im Bad steht
und somit nicht mehr supraleitend ist.

18 KAPITEL 2. EXPERIMENTELLES
2.4.2 Messungen
1. Erhohen Sie die Temperatur im Probenraum auf rund 4 0 K, indem
Sie kurz die He-Ruckleitung (2) onen. Messen Sie wiederum U xx und
U xy mit denselben Einstellungen wie bei der ersten Messung.
2. Erniedrigen Sie die Temperatur im Probenraum auf 1 8 K, indem Sie
am Probenraum pumpen. Dadurch verdampft Helium im inneren Dewar
und gelangt in den Probenraum. Durch das Verdampfen entsteht
Verdampfungskalte und es kommt zueiner Abkuhlung unter die Temperatur
von ussigem Helium. Die Regelung der Konstanz der Temperatur
erfolgt uber das Ventil zur Pumpe.
Messen Sie die Langsspannung U xx mit einem Probenstrom I P =
20 A beim Hochfahren des Magnetfeldes B von 0 0 T auf 6 0
T. Besonders geeignet sind die beiden moglichen Langsspannungen
uber die gesamte Probenlange. Das Durchfahren des B-Feldes
erfolgt immer mit einer "
Sweep \-Rate von 0,5 T/min. Die Spannung
kann dabei auf dem Megerat abgelesen werden, wird aber
gleichzeitig auch mit dem X-Y-Schreiber aufgenommen.
Messen Sie die Hallspannung U H = U xy mit einem Probenstrom
I P =20A beim Herunterfahren des B-Feldes. Wahrend des Umschaltens
empehlt es sich, den Strom durch die Probe zu unterbrechen
und den Heizer der Spule auszuschalten.
Messen Sie U xx
I P = 100 A.
und U xy , dieses Mal mit einem Probenstrom
Nach dieser Messung schalten Sie die Pumpe am Probenraum ab. Zu
Kontrollzwecken ist es sinnvoll, einige markante Spannungswerte mit
der zugehorigen magnetischen Feldstarke direkt wahrend des Messens
mitzuschreiben.
Vor den Messungen sollten Sie den Bereich fur die X- und Y-Werte
abschatzen, damit Sie eine sinnvolle Einstellung vornehmen konnen.

2.5. AUFGABEN 19
2.5 Aufgaben
1. Werten Sie die aufgenommen Kurven aus.
(a) Bestimmen Sie die Langs-Spannungswerte an den Extrema der
Kurve und wiederum die dazugehorigen Magnetfeldstarken.
(b) Berechnen Sie die Hall-Spannungswerte der Hall-Plateaus und die
dazugehorigen Magnetfeldstarken.
(c) Identizieren Sie die Plateaus.
(d) Bestimmen Sie die Ladungstrgerkonzentration der Probe.
2. Berechnen Sie mit den erhaltenen Werten die Feinstrukturkonstante .
3. Vergleichen Sie die ermittelten Werte mit den Literaturwerten.

20 KAPITEL 2. EXPERIMENTELLES

Kapitel 3
Theoretische Grundlagen
3.1 Der klassische Hall-Eekt
Legt man an einen Leiter ein elektrisches Feld ;! E x an, so bewegen sich indiesem
Elektronen mit der Drift-Geschwindigkeit ;! v langs der Stromrichtung.
Legt man nun ein magnetisches Feld ;! B senkrecht zurBewegungsrichtung der
Elektronen an, so erfahren diese eine Ablenkung aufgrund der Lorentz-Kraft
;!
F L . Dies bewirkt einen Ladungsuberschu am oberen Ende des Leiters und
einen ebensogroen der entgegengesetzten Ladung am unteren Ende. Die so
entstandene elektrische Potentialdierenz wird Hall-Spannung ;! U H genannt.
Die ungleiche Ladungsverteilung bedingt eine elektrische Querkraft ;! F E ,welche
der Lorentz-Kraft entgegenwirkt [11].
Nach kurzer Zeit stellt sich ein Gleichgewicht ein:
; ;! F L = ;! F E
, e ( ;! v ;! B ) = e ;! E y
, ;! v =
;! E y
;! B
mit ;! v ? ;! E x ? ;! B:
Fur das Hall-Experiment sindzwei Groen von groer Bedeutung [16]. Zum
einen interessiert der transversale Widerstand
xy (B) = E y
j x
und zum anderen der Hall-Koezient
R H =
E y
j x B :
21

22 KAPITEL 3. THEORETISCHE GRUNDLAGEN
E
x
- - - - - - - - -
E
y
v
-
F
F
L
E
+ + + + + + + + +
j
x
U
H
B
Abbildung 3.1: Schema zum Hall-Eekt, nach [9]
Im stationaren Zustand ist der Strom zeitunabhangig und es gelten die folgenden
Gleichungen:
0 = ;eE x ; ! c p y ; p x
0 = ;eE y + ! c p x ; p y
wobei ! c = eB , p m x, p y die jeweiligen Impulskomponenten der Elektronen
und 0 die Relaxationszeit mit der dazugehorigen freien Weglange l 0 = v F 0
sind. v F ist die Fermi-Geschwindigkeit der Elektronen. Multipliziert man
die Gleichungen mit ;ne=m und fuhrt die Stromdichtekoezienten ein,
so ergibt sich
0 E x = ! c j y + j x
0 E y = ;! c j x + j y :
0 ist die Leitfahigkeit ohne ein anliegendes Magnetfeld. Das Hall-Feld E y
wird dadurch bestimmt, da die y-Komponente der Stromdichte j y Null wird:
E y = ; ! c
0
) R H = ; 1 ne :
j x = ; B ne j x
Der Tensor des spezischen Widerstandes ergibt sich somit zu [6]:
xx = yy = 0

3.1. DER KLASSISCHE HALL-EFFEKT 23
wobei 0 = 1
0
xy = ; yx = B ne
= Ex . Der Leitfahigkeitstensor ist die inverse Matrix zu :
jx
0
xx
xx =
=
1+! c 2 0
2 2 xx
+ 2 xy
xy = ne
B + 1
; xy
xx =
! c 0 2 xx + 2 xy
yy = xx yx = ; xy :
Hat man einen reinen, d.h. nicht dotierten Halbleiter bei der Temperatur
T=0 K vorliegen, so sind in diesem alle Elektronen im Valenzband und keine
im Leitungsband untergebracht. Dies fuhrt dazu, da der Halbleiter den
elektrischen Strom nicht leitet. Erhoht man nun aber die Temperatur, erhalten
die Elektronen ausreichend Energie, um uber eine Energielucke vom
Valenzband ins Leitungsband zu gelangen, wobei sie im Valenzband ein Loch
hinterlassen. Der Anteil der besetzten Zustande im Leitungsband ist durch
die Fermi-Verteilung gegeben. Zur Leitfahigkeit tragen nun die Elektronen
im Leitungsband, aber auch die Locher im Valenzband bei. Die Leitfahigkeit
betragt deshalb [11]:
= ne n + pe p
stellt die Beweglichkeit der Elektronen bzw. Locher dar und berechnet sich
mit
ep = e ep
m ep
wobei m die eektive Masse ist [17]. Bringt man nun Fremdatome in das
Kristallgitter ein, so spricht manvon dotierten Halbleitern [12]. Es gibt zwei
verschiedene Arten von Dotierungen:
n-Dotierung:
Bei der n-Dotierung wird ein vierwertiges Atom des Halbleiters durch
ein funfwertiges Fremdatom, ein sogenannter Donator, substituiert. Das
Energieniveau des uberschussigen funften Elektrons liegt dicht unterhalb
der Leitungsbandunterkante, das Elektron verhalt sich bei Zimmertemperatur
praktisch wie ein freibewegliches Leitungselektron. Das
Ergebnis ist dann ein n-Halbleiter. Als Beispiel hierfur lat sich Silizium
nennen, da mit Phosphor-Atomen dotiert wird.

24 KAPITEL 3. THEORETISCHE GRUNDLAGEN
p-Dotierung:
Bei der p-Dotierung wird ein vierwertiges Halbleitermaterial (z.B.
Si) mit dreiwertigen Fremdatomen (z.B. Bor) "
verunreinigt \. Dieses
Fremdatom nennt man Akzeptor. Zur Ausbildung einer sp 3 -
Hybridisierung zu den Si-Nachbarn fehlt ein Elektron. Dies fuhrt zu
einem zusatzlichen Energieniveau dicht oberhalb der Valenzbandkante.
Die entstandenen "
Defektelektronen \ (Locher) konnen bei Zimmertemperatur
wandern, indem ein Bindungselektron in dieses Loch
wandert, d.h. den Akzeptorzustand besetzt, aber woanders ein Loch
hinterlat.
Allgemein gilt fur die Hall-Konstante [17]:
R H =
p 2 p
; n 2 n
e(p p + n n ) 2
3.2 Theorien zum Quanten-Hall-Eekt
Der QHE ist eine Oberachen-Quantenoszillation und wird erst in den letzten
20 Jahren erforscht. Somit gibt es viele theoretische Ansatze zur Erklarung,
doch ist der Eekt noch nicht bis ins Letzte verstanden. In diesem Kapitel
sollen die verbreitesten Modelle aufgezeigt werden.
3.2.1 Eigenschaften des zweidimensionalen Elektronengases
Betrachtet man freie Elektronen ohne Wechselwirkung, so konnen diese quantenmechanisch
durch ebene Wellen beschrieben werden. Die Bandstruktureekte,
d.h. der Einu des Kristallpotentials, werden haug im ausreichenden
Mae durch die Einfuhrung der eektiven Masse m berucksichtigt.
Das hier betrachtete zweidimensionale Elektronengas (2DEG) ist in der x-y-
Ebene mit den Kantenlangen L x und L y ausgebreitet. Die Randbedingungen
werden periodisch gewahlt, so da die Wellenvektoren der ebenen Wellen
( = 0 e i ;! k ;! r ) folgende Bedingungen erfullen mussen [7]:
k x = n x 2
L x
k y = n y 2
L y

3.2. THEORIEN ZUM QUANTEN-HALL-EFFEKT 25
n x , n y ganzzahlig. Mit diesem Ansatz erhalt man eine konstante Zustandsdichte
im k-Raum:
Z k = L x L y
(2) 2 :
Zur Berechnung der Zustandsdichte D(E) als Funktion der Energie E, verwendet
man:
Zwischen k und k + dk liegen
E = h2 k 2
2m
dE = h2
m kdk:
dZ k = Z k 2kdk
Zustande (Kreisring im Zweidimensionalen), somit liegen zwischen E(k) und
E(k + dk)
dZ k = Z k 2kdk
= L xL y m
2k
(2)
2
h 2 k dE = L xL y m
2 h dE 2
k-Zustande. Die Zustandsdichte im Zweidimensionalen D(E) = dZ k
dE
konstant und lautet pro Spinrichtung
D(E) = D 0 = L xL y m
2 h 2 :
ist also
3.2.2 Zweidimensionales Elektronengas im Magnetfeld
Von nun an betrachten wir den Fall des zweidimensionalen Elektronengases
in der x-y-Ebene mit einem senkrecht dazu angelegtem aueren Magnetfeld
;! B . Der Hamilton-Operator lautet
H =
1
2m (p ; eA)2
wobei das Vektorpotential A die Beziehung
B = rotA

26 KAPITEL 3. THEORETISCHE GRUNDLAGEN
D(E)
B
D 0
B=0
hw c
E
Abbildung 3.2: Zustandsdichte im 2DEG ohne Berucksichtigung der Zeeman-
Aufspaltung, nach [7]
erfullt. Verwendet man nun die Landau-Eichung
A x = A z = 0
A y = B x
so kann man in y-Richtung als Losung ebene Wellen ansetzen [7]. Durch
die Lorentz-Kraft werden die Elektronen in dem 2DEG auf Kreisbahnen mit
der Umlaurequenz ! c gezwungen, die parallel zur Oberache liegen. Die
Energieniveaus sind wie folgt quantisiert [2]:
E n = (n + 1 2 )h! c + s g B B n=0 1 2:::i
wobei die Zyklotronenergie h! c = heB
m , s = 1 2
die Spin-Quantenzahl, g der
Lande-Faktor und B das Bohrsche Magneton sind. Die Wellenfunktion wird
so gelegt, da y 0 im Mittelpunkt der Kreisbahn liegt [2]:
= e ikx (y ; y 0 ):
Daraus folgt mit der Schrodinger-Gleichung [6]
(
h! c 2 )
;r 2
2m c
y + y
2
; r 2 c k =E
r c

3.2. THEORIEN ZUM QUANTEN-HALL-EFFEKT 27
ist dabei die Losung des harmonischen Oszillators
1
2m [p2 y +(eB) 2 y 2 ] = (n + 1 2 )h! c
y 0 = hk
eB
und r c ist der von Materialparametern unabhangige Zyklotronradius
r c :=
1
h 2
:
eB
Der Entartungsgrad N 0 , d.h. die Zahl der Energieeigenwerte jedes Landau-
Niveaus, pro Spinrichtung, ist durch die Anzahl der Mittelpunkt-Koordinaten
y 0 der Probe gegeben [2]:
y 0 = h h
k =
eB eB 2 =
L x
) N 0 = L y
y 0
, N 0 = L xL y eB
h
h
eBL x
N 0 : Zahl der elementaren Fluquanten 0 = h der Probe
e
Der Entartungsfaktor pro Einheitsache ist demnach
N = N 0
L x L y
= eB h :
Es sei darauf hingewiesen, da der Entartungsfaktor unabhangig von Parametern
des Halbleiters ist. In einem Landau-Niveau nden also N Elektronen
pro Einheitsache Platz. Die Landau-Niveaus werden beginnend bei n=1
fortlaufend aufgefullt. Gibt es nun beispielsweise 4L x L y N +2 Elektronen,
dann sind die untersten 4 Niveaus voll besetzt und im funften sind noch 2
Elektronen. Die Fermi-Energie liegt im funften Niveau. Werden nun weitere
Elektronen dem System zugefuhrt, so bleibt die Fermi-Energie zunachst
im funften Niveau und "
springt \ erst in das sechste Niveau, wenn ausreichend
Elektronen zugefuhrt worden sind [8]. Berechnet man an dieser Stelle
den zu erwartenden Hall-Widerstand unter Verwendung der klassischen Hall-
Spannung U H eines 2DEG mit einer konstanten Flachen-Ladungstragerdichte
n s , so ist mit Probenstrom I
U H =
) R H = U H
I
B
n s e I

28 KAPITEL 3. THEORETISCHE GRUNDLAGEN
Sind nun alle n =1 2:::i Energieniveaus vollstandig besetzt (n s = iN),
so ergibt sich fur den quantisierten Hall-Widerstand
R H =
B
iN e = h
ie 2 i=1 2 3:::
bzw:R H = ;1 0 c=2i nach [1]:
ist hierbei die Feinstrukturkonstante, 0 die magnetische Feldkonstante und
c die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit. Der quantisierte Hall-Widerstand sollte
immer dann auftreten, wenn die Ladungstragerdichte n s und das Magnetfeld
B so verknupft sind, da der Fullfaktor i jedes Energieniveaus eine ganze
Zahl ist [2]:
i = n s
N =
n s
eB=h
Der Fullfaktor i wird auch als dimensionslose Hall-Leitfahigkeit bezeichnet.
Der Fullfaktor wird bei experimentellen Untersuchungen mit i oder
bezeichnet. Ein gemessener QHE ist in Bild 3.3 zu sehen. Durch das angelegte
Magnetfeld istaberauch noch die Zeeman-Aufspaltung zu beachten. Der
Zeeman-Eekt bezeichnet die Aufspaltung der Energie-Niveaus eines Atoms,
welches sich in einem aueren Magnetfeld bendet. Die Aufspaltung ist in
der Spin-Bahn-Kopplung begrundet. In starken Magnetfeldern tritt die Aufspaltung
starker hervor als in schwachen.
Die bisherigen Aussagen bezuglich der Zustandsdichte und der Entartung
beziehen sich jeweils auf nur eine Spinrichtung. D.h. in hohen Magnetfeldern
und bei tiefen Temperaturen sieht man beim QHE zwei Plateaus pro Landau-
Niveau, sowie zwei dazugehorige Maxima in der Leitfahigkeit langs des angelegten
Stromes. In schwacheren Magnetfeldern tritt die Aufspaltung nicht
mehr so extrem auf und die beiden Plateaus pro Spinrichtung gehen ineinander
uber, so da nur noch ein gemeinsames Plateau sichtbar ist. Auch bei
hoheren Temperaturen kommteszueinerUberlagerung der Spin-bestimmten
Plateaus zu einem gemeinsamen. In diesem Plateau ist dann allerdings die
Zustandsdichte doppelt so hoch und damit ist auch derEntartungsgrad doppelt
so gro
N = 2
N 0
L x L y
=2 eB h :
Der quantisierte Hall-Widerstand lautet nach wie vor:
B
R H =
i N e
= h i=1 2 3::::
ie 2

3.2. THEORIEN ZUM QUANTEN-HALL-EFFEKT 29
Bei den im Praktikum durchgefuhrten Versuchen (vgl. Anhang 2) ist die
Zeeman-Aufspaltung nicht zu erkennen und aus diesem Grund erhalt man
nur geradzahlige Plateaus. Mit der Betrachtung des zweidimensionalen Elektronengases
im Magnetfeld wird aber nur der Wert der Hall-Plateaus beschrieben,
nicht die Tatsache, da Hall-Plateaus mit endlicher Breite auftreten
[7]. Der Verlauf der Leitfahigkeit in Langsrichtung xx lat sich mit
Abbildung 3.3: Quanten-Hall-Eekt einer GaAs-AlGaAs Heterostruktur bei
1,2 K. Der Source-Drain-Strom betragt 25,5 A und n = 5 6 10 11 e ; /cm 2 ,
nach [6]
dem Shubnikov-deHaas-Eekt beschreiben. Allgemein geht man bei tiefen
Temperaturen von einem mit N 0 Elektronen besetzten Landau-Niveau aus,
welches sich energetisch unterhalb des Fermi-Niveaus bendet. Mit wachsendem
Magnetfeld verschieben sich die Landau-Niveaus zu hoheren Energie
und durchlaufen schlielich dasFermi-Niveau. Dabei kommt es zu einer Entleerung
des Landau-Niveaus, da sich dieuberzahligen Elektronen in dem jeweils
darunterliegenden Niveau ansammeln. Dieser Vorgang wiederholt sich
mit weiter anwachsendem Magnetfeldund es kommt zu der Oszillation der
freien Energie als Funktion des aueren Magnetfeldes. Die Oszillation der
freien Energie hat konkret auf die Leitfahigkeit folgende Auswirkung. Die

30 KAPITEL 3. THEORETISCHE GRUNDLAGEN
freien Ladungstrager konnen innitesimal kleine Energiebetrage im elektrischen
Feld aufnehmen und streuen an Phononen und Storstellen, weshalb
die elektrische Leitfahigkeit endlich bleibt. Durch die Streuprozesse werden
die scharfen Landau-Zustande energetisch verbreitert und es konnen kleine
Energiebetrage aus dem aueren Feld aufgenommen werden. Kreuzt nun
solch ein Landau-Niveau das Fermi-Niveau bei Vergroerung des Magnetfeldes,
verringert sich seine Elektronendichte, was eine Abnahme der elektrischen
Leitfahigkeit entspricht. Eine Oszillation der Elektronendichte in der
Umgebung des Fermi-Niveaus aussert sich also unmittelbar als Oszillation
der Leitfahigkeit xx [14].
3.2.3 Der Quanten-Hall-Eekt im Modell der lokalisierten
und delokalisierten Zustande
Die Storstellen bewirken eine energetische Verbreiterung der Landau-
Niveaus.
Zustandsdichte
hw c
E E E
1 2 3
E
Abbildung 3.4: Qualitatives Bild der Zustandsdichte eines ungeordneten zweidimensionalen
Systems von Ladungstragern im starken Magnetfeld, nach [8]
Entscheidend ist, da an den Auslaufern der verbreiterten Landau-
Bander \ lokalisierte Zustande auftreten. Diese lokalisierten Zustande sind
"
von den delokalisierten Zustanden in der Bandmitte durch eine sogenannte
Mobilitatskante \ getrennt. Dieses Phanomen ist in ungeordneten Materialien
haug anzutreen [15]. Der Lokalisierungsmechanismus verhilft zu einem
"
qualitativen Verstandnis des QHE. Die besetzten lokalisierten Zustande verhindern
das oben bereits angesprochene Springen der Fermi-Energie. Aber
aufgrund der Lokalisierung tragen die betroenen Ladungstrager nicht zum
Stromu bei und damit bleibt (E F )=0und H = const. Damit kann man

3.2. THEORIEN ZUM QUANTEN-HALL-EFFEKT 31
das Auftreten der Hall-Plateaus in Bild 3.5 erklaren. Verschiedene Untersu-
Hall-Leitfähigkeit
in e²/h
3
2
1
1 2
3
Füllfaktor i
Abbildung 3.5: Quanten-Hall-Eekt (schematisch). Die gestrichelte Linie
entspricht der klassischen Hall-Leitfahigkeit 0 H, d.h. ohne Quantisierung,
nach [8]
chungen an Storstellen-Systemen haben ergeben, da die Hall-Leitfahigkeit
die gleichen Werte annimmt wie bei Systemen mit freien Elektronen, d.h.
wenn = i. Ferner haben Untersuchungen gezeigt, da die Zustande bei
E E n stets delokalisiert sind. Damit ergibt sich der qualitative Zusammenhang
aus Bild 3.6.
Die gerasterten Flachen geben den Bereich der lokalisierten Zustande
an. In ihnen ist Leitfahigkeit langs der angelegten Spannung xx = 0 und
xy = H = e2 . Aufgrund des Tensor-Charakters der Leitfahigkeit und des
h
Widerstandes ist auch xx = 0. In der Bandmitte sind die Zustande delokalisiert
und tragen damit zum Stromu bei, die Leitfahigkeit hat einen
endlichen Wert. Damit kommt es auch zu einem Anstieg der Hall-Leitfahigkeit.
In diesem Modell ist die Existenz von delokalisierten Zustanden in der
Bandmitte und lokalisierten Zustanden an der Bandkante zur Erklarung des
QHE notwendig [8].
3.2.4 Modell der Randkanale
Bei dem obigen Landau-Modell geht manvon einem in x-Richtung unendlich
ausgedehnten Objekt aus, welches mathematisch gunstig zu handhaben ist.
Physikalisch korrekter ware ein Objekt, welches in x-Richtung nur endlich

32 KAPITEL 3. THEORETISCHE GRUNDLAGEN
Leitfähigkeit
Zustandsdichte
e²/ h
Hall-Leitfähigkeit
0 1
Füllfaktor i ~ B
Abbildung 3.6: Qualitativer Zusammenhang zwischen dem QHE und der
Lokalisierung im unterste Landau-Band (n = 0) fur das Landau-Modell,
nach [8]

3.2. THEORIEN ZUM QUANTEN-HALL-EFFEKT 33
ausgedehnt ist und trotzdem periodische Randbedingungen hatte. Diese Annahmen
sind dem Modell der Randkanale zugrunde gelegt, das den Einu
des Probenrandes berucksichtigt. In diesem Fall sind die Energie-Eigenwerte
nicht mehr analytisch zu bestimmen, ihr qualitativer Verlauf ist in Bild 3.7
dargestellt. In der Graphik ist zu erkennen, da die Entartung in den Randzonen
der Breite r c aufgehoben ist, was einen Stromu bedeutet. Die in der
Probe vorhandenen Storstellen fuhren zu einer Verbreiterung der Energieniveaus
im Inneren des Systems, haben aber keinerlei Auswirkungen auf die
Randzustande. In diesem Modell liefern die Randstrome den Quanten-Hall-
Eekt, somit konnen die Zustande im Inneren des Systems lokalisiert sein.
Ohne aueres elektrisches Feld kompensieren sich die beiden in entgegenge-
E n (X)
n=2
n=1
-
L x
2
r c
n=0
0
L x
2
X
Abbildung 3.7: Qualitativer Verlauf der Energie-Eigenwerte beim Modell der
Randkanale, nach [8]
setzte Richtung ieenden Randstrome und der Gesamtstrom verschwindet.
Unter Einu eines Feldes werden die Zustande in den Randzonen unterschiedlich
besetzt und es entsteht ein endlich groer Gesamtstrom parallel zu
den Randern. Dieser Strom stimmt mit dem klassischen Hall-Strom uberein.
Auch in diesem Modell sind Storstellen notwendig, damit die Energieniveaus
verbreitert werden und zu Bandern uberlappen. Diese Unordnungspotentiale
bewirken, da die Zustande im Inneren "
fast \ entartet und lokalisiert sind.

34 KAPITEL 3. THEORETISCHE GRUNDLAGEN
Die Zustande am Rand hingegen bleiben nur schwach beeinut und verhalten
sich nach wie vor praktisch wie die freier Elektronen. Die Konstellation
ergibt wieder den QHE mit H = ie2 und =0.Ein entscheidender Unterschied
zum Landau-Modell ist, da hierbei keine delokalisierten Zustande in
h
der Bandmitte notwendig sind, wie bei den in x-Richtung unendlich ausgedehnten
Systemen [8].

Literaturverzeichnis
[1] K. von Klitzing, G. Dorda, M. Pepper: New Method for High-Accuracy
Determination of the Fine-Structure Constant Based on Quantized Hall
Resistance, Phys. Rev. Lett., Vol. 45, No. 6, 1980, p. 494
[2] K. von Klitzing: The quantized Hall eect, Reviews of Modern Physics,
Vol. 58, No. 3, 1986, p. 519
[3] K. von Klitzing: Ten Years Quantum Hall Eect, Festkorperprobleme
30: Advances in Solid State Physics, Vieweg Braunschweig, 1990, p. 25
[4] G. Landwehr: The Discovery of the Quantum Hall Eect, Festkorperprobleme:
Advances in Solid State Physics, Vieweg Braunschweig,
Vol. XXVI, 1986, p. 17
[5] G. Landwehr: Zur Entdeckung des Quanten-Hall-Eektes, Phys. Bl. 41,
Nr. 11, 1985, S. 357
[6] R.E. Prange, S.M. Girvin, eds.: The Quantum Hall Eect, Springer Verlag,
New York, 1990
[7] U. Buchenau: Zweidimensionales Elektronengas und Quantenhalleekt,
21. IFF-Ferienkurs vom Institut fur Festkorperforschung der Kernforschungsanlage
Julich GmbH, 1990
[8] J. Hajdu, B. Kramer: Der Quanten-Hall-Eekt, Phys. Bl. 41, Nr. 12,
1985, S. 401
[9] Quanten-Hall-Eekt, Mitteilung der Physikalisch Technischen Bundesanstalt,
Braunschweig und Berlin, 1991
[10] V. Kose, F. Melchert: Quantenmae in der elektrischen Metechnik,
VCH Verlagsgesellschaft mbH, Weinheim, 1991
35

36 LITERATURVERZEICHNIS
[11] C. Weimantel, C. Hamann: Grundlagen der Festkorperphysik, Johan
Ambrosius Barth Verlag, Heidelberg, Leipzig, 1995
[12] C. Kittel: Einfuhrung in die Festkorperphysik, Oldenbourg Verlag,
Munchen, Wien, 1996
[13] K. Fant: Alfred Nobel, Birkhauser Verlag, Basel Boston Berlin, 1995
[14] H. Ibach/H. Luth: Festkorperphysik: Einfuhrung in die Grundlagen,
Springer Verlag, Berlin, 1995
[15] N. Mott: Metal-Insulator-Transitions, Taylor and Francis LTD, London,
1974
[16] N. W. Ashcroft, N. D. Mermin: Solid state physics, Holt Reinhart and
Winston, New York, 1976
[17] K. Kopitzki: Einfuhrung in die Festkorperphysik, B. G. Teubner, Stuttgart,
1986
[18] B. L. Johnson, G. Kirczenow: Composite fermions in the quantum Hall
eekt, Reports on Progress in Physics, Vol. 60, No. 9, 1997, p. 889