Der Quanten-Hall-Effekt im Fortgeschrittenenpraktikum

3.2. THEORIEN ZUM QUANTEN-HALL-EFFEKT 25
n x , n y ganzzahlig. Mit diesem Ansatz erhalt man eine konstante Zustandsdichte
im k-Raum:
Z k = L x L y
(2) 2 :
Zur Berechnung der Zustandsdichte D(E) als Funktion der Energie E, verwendet
man:
Zwischen k und k + dk liegen
E = h2 k 2
2m
dE = h2
m kdk:
dZ k = Z k 2kdk
Zustande (Kreisring im Zweidimensionalen), somit liegen zwischen E(k) und
E(k + dk)
dZ k = Z k 2kdk
= L xL y m
2k
(2)
2
h 2 k dE = L xL y m
2 h dE 2
k-Zustande. Die Zustandsdichte im Zweidimensionalen D(E) = dZ k
dE
konstant und lautet pro Spinrichtung
D(E) = D 0 = L xL y m
2 h 2 :
ist also
3.2.2 Zweidimensionales Elektronengas im Magnetfeld
Von nun an betrachten wir den Fall des zweidimensionalen Elektronengases
in der x-y-Ebene mit einem senkrecht dazu angelegtem aueren Magnetfeld
;! B . Der Hamilton-Operator lautet
H =
1
2m (p ; eA)2
wobei das Vektorpotential A die Beziehung
B = rotA