Der Quanten-Hall-Effekt im Fortgeschrittenenpraktikum

28 KAPITEL 3. THEORETISCHE GRUNDLAGEN
Sind nun alle n =1 2:::i Energieniveaus vollstandig besetzt (n s = iN),
so ergibt sich fur den quantisierten Hall-Widerstand
R H =
B
iN e = h
ie 2 i=1 2 3:::
bzw:R H = ;1 0 c=2i nach [1]:
ist hierbei die Feinstrukturkonstante, 0 die magnetische Feldkonstante und
c die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit. Der quantisierte Hall-Widerstand sollte
immer dann auftreten, wenn die Ladungstragerdichte n s und das Magnetfeld
B so verknupft sind, da der Fullfaktor i jedes Energieniveaus eine ganze
Zahl ist [2]:
i = n s
N =
n s
eB=h
Der Fullfaktor i wird auch als dimensionslose Hall-Leitfahigkeit bezeichnet.
Der Fullfaktor wird bei experimentellen Untersuchungen mit i oder
bezeichnet. Ein gemessener QHE ist in Bild 3.3 zu sehen. Durch das angelegte
Magnetfeld istaberauch noch die Zeeman-Aufspaltung zu beachten. Der
Zeeman-Eekt bezeichnet die Aufspaltung der Energie-Niveaus eines Atoms,
welches sich in einem aueren Magnetfeld bendet. Die Aufspaltung ist in
der Spin-Bahn-Kopplung begrundet. In starken Magnetfeldern tritt die Aufspaltung
starker hervor als in schwachen.
Die bisherigen Aussagen bezuglich der Zustandsdichte und der Entartung
beziehen sich jeweils auf nur eine Spinrichtung. D.h. in hohen Magnetfeldern
und bei tiefen Temperaturen sieht man beim QHE zwei Plateaus pro Landau-
Niveau, sowie zwei dazugehorige Maxima in der Leitfahigkeit langs des angelegten
Stromes. In schwacheren Magnetfeldern tritt die Aufspaltung nicht
mehr so extrem auf und die beiden Plateaus pro Spinrichtung gehen ineinander
uber, so da nur noch ein gemeinsames Plateau sichtbar ist. Auch bei
hoheren Temperaturen kommteszueinerUberlagerung der Spin-bestimmten
Plateaus zu einem gemeinsamen. In diesem Plateau ist dann allerdings die
Zustandsdichte doppelt so hoch und damit ist auch derEntartungsgrad doppelt
so gro
N = 2
N 0
L x L y
=2 eB h :
Der quantisierte Hall-Widerstand lautet nach wie vor:
B
R H =
i N e
= h i=1 2 3::::
ie 2