Masterarbeit - Physikzentrum der RWTH Aachen

Aufbau und Optimierung eines
BGO-Kalorimeters
von
Max Emde
Master-Arbeit in Physik
vorgelegt der
Fakultät für Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften der
RWTH Aachen
im September 2013
angefertigt am
III. Physikalischen Institut B
bei
Herrn Prof. Dr. Achim Stahl

Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung 7
2. Grundlagen 9
2.1. Wechselwirkung von Teilchen in Materie . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1. Schwere, geladene Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2. Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.3. Photonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Kernreaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3. Identifizierung von Teilchen in einem Flugzeitspektrometer . . . . . 13
2.4. Szintillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.1. Anorganische Szintillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.2. Organische Szintillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.3. Auflösung von Szintillationdetektoren . . . . . . . . . . . . . 15
2.5. Halbleiterdetektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5.1. PIN-Dioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5.2. Lawinenphotodioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5.3. Silizium-Photomultiplier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6. Elektronik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6.1. Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6.2. Operationsverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6.3. Verstärkerschaltungen für Sensoren . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6.4. Stabilität von Operationsverstärkern . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6.5. Elektronisches Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6.6. Impulsformung für ladungsempfindliche Vorverstärker . . . . 29
2.6.7. Pole-Zero-Kompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3. Messgeräte und weiteres Equipment 35
3.1. Ladungskonverter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2. Flash-Konverter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3. Diskriminator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4. Logikeinheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5. Hochspannungsversorgung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.6. Myonenteleskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7. Weitere Spannungsquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3

Inhaltsverzeichnis
4. Verwendete Programme 39
4.1. Analyseprogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.1. Root . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2. Simulationsprogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.1. NgSpice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.2. Geant4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3. Messprogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3.1. readout juelich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3.2. FlashReadout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5. Aufbau des Flugzeitspektrometers 43
5.1. Startdetektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2. Vetodetektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.3. Fasertracker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.4. Rahmendetektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.5. Kalorimeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.5.1. Szintillatorkristalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.5.2. Photodioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.5.3. Ladungsempfindliche Verstärker . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.5.4. Zentralzelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6. Simulationen 49
6.1. Elektronik-Simulationen mit SPICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.1.1. Pulsformung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.1.2. Schleifenverstärkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.2. Geant4-Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.2.1. Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.2.2. Myonspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.2.3. Datenaufzeichnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.2.4. Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2.5. Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7. Messungen 61
7.1. Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.2. Photonenausbeute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.3. Messung mit einem elektrischen Testsignal . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.4. Messung mit einer 241 Am-Quelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.4.1. Ableitbare Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.4.2. Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.4.3. Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.4.4. Ergebnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4

Inhaltsverzeichnis
7.4.5. Zur Messunsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.4.6. Deutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.5. Messung mit kosmischen Myonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.5.1. Messaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.5.2. Messergebnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.5.3. Kalibrationskonstante A E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.5.4. Elektronische Auflösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.5.5. Lichtausbeute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.5.6. Lichtsammeleffizienz CE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.5.7. Dynamischer Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.6. Messung mit einer radioaktiven 228 Th-Probe . . . . . . . . . . . . . 77
7.6.1. Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.6.2. Aufzeichnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.6.3. Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.7. Verarmungsspannung der Dioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.7.1. Aufbau und Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.7.2. Ergebnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8. Fazit und Ausblick 83
A. Anhang 87
Abbildungsverzeichnis 100
Tabellenverzeichnis 101
Glossar 103
Index 106
Literaturverzeichnis 110
5

1. Einleitung
Krebs gehört in den Industrienationen zu den häufigsten Todesursachen. Neben
pharmazeutischen und chirurgischen Maßnahmen ist die Bestrahlung eine der gängigsten
Behandlungen. Bestrahlt wird neben Gamma-Strahlen in den letzten Jahren
zunehmend mit schweren Teilchen, den Hadronen. Im Speziellen können dies etwa
Protonen oder Kohlenstoffatome sein. Im Gegensatz zu Photonen, deren Wirkung
im Gewebe mit zunehmender Eindringtiefe exponentiell abnimmt, steigert sich der
Energieeintrag durch Hadronen bis zum sogenannten Bragg-Peak und fällt danach
schlagartig ab. Besonders bei tief liegenden Tumoren lässt sich durch den Einsatz von
Hadronen das umliegende Gewebe also besser schützen als bei Photonen, ohne dabei
die vom Arzt für den Tumor verschriebene Dosis zu unterschreiten. Bestrahlungen
werden in der Regel am Computer geplant, wobei ein Programm aus einem theoretischen
oder phänomenologischen Modell und einem CT 1 -Datensatz des Patienten
die Dosisverteilung innerhalb des Körpers berechnet. Durch Variation der Richtung,
Form und Intensität der Bestrahlungsfelder wird diese Dosisverteilung optimiert,
um die verschriebene Dosis innerhalb des Tumors zu erreichen und das umliegende
Gewebe bestmöglich zu schonen. Bei der Bestrahlung mit Hadronen treten neben
elektromagnetischen Wechselwirkungen auch Kern-Wechselwirkungen auf. Um eine
Bestrahlung mit Hadronen exakt planen zu können, müssen auch die Wirkungsquerschnitte
dieser Reaktionen genau bekannt sein. Bei Kenntnis aller relevanten
Wirkungsquerschnitte können zur Behandlungsplanung numerische Simulationen
eingesetzt werden, wie sie in der Hochenergiephysik üblich sind. Dies sind insbesondere
Monte-Carlo-Simulationen wie sie etwa das Programmpaket Geant4 ermöglicht.
Auch wenn die Abweichungen in der Dosisverteilung für den klinischen Alltag nicht
relevant sein sollten, ergeben sich durch ein besseres Verständnid der Sekundärstrahlung
neue Ansätze wie etwa das Bragg-Peak-Monitoring, mit dessen Hilfe während
einer laufenden Bestrahlung die Position des Bragg-Peaks gemessen werden soll. Da
gerade die Kern-Wirkungsquerschnitte noch vergleichbar ungenau gemessen sind,
wurde am III. Physikalischen Institut B der RWTH Aachen mit dem Aufbau eines
Flugzeitspektrometers begonnen, das über die Identifikation einzelner Reaktionen
beim Beschuss eines festen Ziels 2 diese Wirkungsquerschnitte genauer bestimmen soll.
Diese Identifikation basiert auf der Flugzeit, dem Energieverlust in Materie und der
kinetischen Energie der Kernfragmente. Um die kinetische Energie eines Teilchens zu
messen, muss es in einem sogenannten Kalorimeter gestoppt werden. Die dabei frei
1 Computer-Tomograph
2 fixed target
7

1. Einleitung
werdende Energie kann in Form von Licht gemessen und aufgezeichnet werden. Diese
Arbeit beschäftigt sich mit dem dafür vorgesehenen Wismuth-Germanat-Kalorimeter.
Das Hauptaugenmerk liegt dabei auf der Weiterentwicklung der Verstärkerelektronik.
Die zentralen Probleme zu Beginn der Arbeit bestanden in der mangelhaften Stabilität
und dem hohen Rauschen des bis dahin verwendeten Prototyps. Diese Probleme
sollen untersucht und so weit wie möglich beseitigt werden, um das Kalorimeter für
den Einsatz in besagtem Flugzeitspektrometer während eines Teststrahlbetriebs im
Oktober des Jahres 2013 vorzubereiten.
8

2. Grundlagen
2.1. Wechselwirkung von Teilchen in Materie
Teilchen können nur durch ihre Interaktion mit Materie detektiert werden. Für
den Bau von Teilchendetektoren ist es daher wichtig, zu wissen welche Art von
Teilchen mit welcher Wahrscheinlichkeit welche Art von Wechselwirkung mit einem
bestimmten Detektormaterial ausführt. Die in Frage kommenden Prozesse für diese
Arbeit werden im Folgenden beschrieben.
2.1.1. Schwere, geladene Teilchen
Der Energieverlust schwerer, geladener Teilchen, das heißt hier im Speziellen der
von Protonen oder der schwererer Atomkerne geschieht vor allem durch Ionisation
oder Anregung von Atomen. Bei Stößen an den Hüllenelektronen verlieren die
Teilchen jeweils nur einen geringen Bruchteil ihrer Energie und werden nur wenig
abgelenkt. Daher lässt sich ihr Energieverlust als quasi-kontinuierlich annehmen.
Daraus resultiert die Bethe-Bloch-Formel für mittlere Teilchenenergien 1 [39]:
−
〈 〉 dE
dx
= Kz 2 Z [
1 1
A β 2 2 ln 2m ec 2 β 2 γ 2 T max
I 2
− β 2 − δ(βγ)
]
2
(2.1)
mit
T max =
2m e c 2 β 2 γ 2
1 + 2γ/M + (m e /M) 2 (2.2)
1 etwa 0, 1 ≤ βγ ≤ 1000 [39]
9

2. Grundlagen
Symbol Definition Einheit oder Wert
E Energie des einfallenden Teilchens,
x Massenbelegung des Absorbers g/cm 2
γMc 2
MeV
M Masse des einfallenden Teilchens MeV/c 2
T Kinetische Energie MeV
m e Elektronenmasse 0,510 998 918(44) MeV
r e Klassischer Elektronenradius 2,817 940 325(28) fm
e 2 /4πɛ 0 m e c 2
α Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante 1/137,035 999 11(46)
z Ordnungszahl des
einfallenden Teilchens
Z Ordnungszahl des Absorbers
A Massenzahl des Absorbers g/mol
K 4πN A rem 2 e c 2 0,307 075 MeV/(cm 2 mol)
I Mittlere Anregungsenergie eV
δ(βγ) Dichteeffekt-Korrektur
β, γ Relativistische Parameter
N e Elektronendichte (Einheit von r e ) −3
2.1.2. Elektronen
Elektronen verlieren ihre Energie durch ähnliche Prozesse wie schwere geladene
Teilchen. Durch ihre geringere Masse werden jedoch schon bei geringerer kinetischer
Energie Strahlungsprozesse relevant.
Anregung und Ionisation
Die es sich bei der Kollision mit Hüllenelektronen im Material um Reaktionen
ununterscheidbarer Teilchen handelt, muss die Bethe-Bloch-Formel leicht abgewandelt
werden und lautet dann [37]
−
〈 〉 dE
= K 1 Z
dx β 2 A ρ1 2 ln m ec 2 β 2 T max
2I 2 (1 − β 2 + f (β) . (2.3)
)
Hier bezeichnet f (β) eine von der relativistischen Geschwindigkeit des Teilchens
abhängige Korrektur.
Bremsstrahlung
Im Coulomb-Potential eines Atomkerns werden die Elektronen abgelenkt und können
sogenannte Bremsstrahlungs-Photonen abgeben. Der Energieverlust wird dabei mit
10

2.1. Wechselwirkung von Teilchen in Materie
Hilfe der Strahlungslänge X 0 zu
1 dE
ρ dx = − E (2.4)
X 0
angegeben. Der Energieverlust steigt also proportional zur kinetischen Energie. Damit
lässt sich nun eine kritische Energie E c bestimmen, bei der der Energieverlust durch
Ionisation und Anregung gleich groß ist wie der Energieverlust durch Bremsstrahlung.
Oberhalb von E c ist letzterer dominant. Für Festkörper und Flüssigkeiten gilt
näherungsweise [39]
E c ≈ 610 MeV (2.5)
Z + 1,24
und für Gase
E c ≈ 710 MeV. (2.6)
Z + 0,92
2.1.3. Photonen
Der Intensitätsverlust von Photonen in einem Medium lässt sich durch
(
I(x) = I 0 · exp − x )
λ
(2.7)
beschreiben, wobei x die zurückgelegte Wegstrecke bezeichnet und und λ die mittlere
freie Weglänge. Dabei bezieht sich die Intensität nur auf die Ursprungspopulation
der Photonen, während bei vielen möglichen Streuprozessen Sekundärphotonen oder
andere Teilchen entstehen können [16]. Im Folgenden werden nun die wichtigsten
Prozesse vorgestellt.
Photoelektrischer Effekt
Beim photoelektrischen Effekt wird die Energie des absorbierten Photons auf ein
gebundenes Elektron übertragen, welches in einen angeregten Zustand versetzt
wird oder bei Überschreiten der Bindungsenergie das Potential des Kerns verlassen
kann. Der photoelektrische Effekt tritt vor allem bei niedrigen Energien auf. Unter
Vernachlässigung von Absorptionskanten kann sein Wirkungsquerschnitt zu
⎧
⎨
σ =
⎩
genähert werden [16].
32 √ ( )
2π
3
re 2 · Z 5 · α 4 m ec 2 7
2
E γ
; E γ ≪ m e c 2
(2.8)
4π · re 2 · Z 5 · α 4 mec2
E γ
; E γ ≥ m e c 2
11

2. Grundlagen
Kohärente Streuung
Bei Photonenergien unterhalb von einigen hundert keV tritt kohärente Streuung
von Photonen an der Elektronhülle eines Atoms, auch Rayleigh-Streuung genannt,
auf. Dabei wird dieses weder ionisiert noch angeregt und die Energie des Photons
bleibt unverändert. Lediglich seine Richtung ändert sich. Da der Ablenkwinkel mit
steigender Energie kleiner wird und die Wahrscheinlichkeit einer Streuung abnimmt,
ist dieser Prozess für Anwendungen in der Hadronentherapie bei einigen hundert
MeV vernachlässigbar [20].
Comptoneffekt
Beim Compton-Effekt werden Photonen an (quasi-)freien Elektronen gestreut und
verlieren dabei Energie abhängig vom Streuwinkel. Der Wirkungsquerschnitt für
Energien deutlich über m e c 2 lässt sich mit
angeben [27].
Paarbildung
σ = πre
2 m e c 2 ( ( ) 2Eγ
ln
E γ m e c 2 + 1 )
2
(2.9)
Ab einer Energie E γ von 2 m e c 2 ≈1 MeV kann ein Photon im Coulombfeld eines
Atomkerns in ein Elektron-Positron-Paar umgewandelt werden. Bei einer Energie
von 5 m e c 2 bis 50 m e c 2 erhält man den Wirkungsquerschnitt
σ pp = αr 2 eZ 2 ln E γ . (2.10)
Für höhere Energien E γ flacht der Anstieg ab und der Wirkungsquerschnitt wird ab
etwa 10 3 m e c 2 nahezu konstant bei [27]
2.2. Kernreaktionen
σ pp ≃ 12αZ 2 r 2 e. (2.11)
Beim Beschuss eines festen Targets mit Ionen einer Energie von rund 200 MeV pro
Nukleon müssen Wechselwirkungen auf der Ebene von Atomkernen berücksichtigt
werden. Dabei handelt es sich einerseits um Streuungen im Coulombfeld des Kerns, wie
sie schon Rutherford beschreibt und die wir heute als elastische Streuung bezeichnen,
da die Summe der kinetischen Energien der Stoßpartner konstant bleibt. Andererseits
tritt auch inelastische Streuung auf, bei der ein Teil der Energie in die Umwandlung
der beteiligten Teilchen fließt. Hier reicht die Betrachtung der Teilchen anhand ihrer
12

2.3. Identifizierung von Teilchen in einem Flugzeitspektrometer
elektrischen Nettoladung nicht mehr aus und Vorgänge im Inneren der Kerne müssen
untersucht werden. Dabei tritt zusätzlich zur elektromagnetischen auch die starke
Wechselwirkung auf. Eine Kernreaktion, bei der das einfliegende Projektil a auf einen
Kern A trifft, diesen dabei in einen oder mehrere Produkte B i umwandelt und selbst
zu einem oder mehreren Ejektilen b i wird, kann man als
A + a → ∑ i
B i + b i (2.12)
bezeichnen, üblicher ist jedoch die Notation A(a, b i )B i . Man unterteilt dabei die
Reaktion anhand des zugrunde liegenden Prozesses in direkte und indirekte Prozesse.
Bei den direkten Prozessen sind nur das Projektil selbst oder eines seiner Nukleonen
und ein Nukleon des Targets beteiligt oder es werden Resonanzen des Kerns im
Ganzen angeregt. In beiden Fällen verlassen die Ejektile den Kern nach einer Zeit
in der Größenordnung von 1 × 10 −22 s, sodass sich die Reaktion auf der Gleichen
Zeitskala abspielt wie der Durchflug eines Neutrons. Bei den indirekten Prozessen
reicht die auf ein Nukleon des Targets übertragene Energie nicht aus, um direkt
zur Emission eines neuen Teilchens zu führen, sodass der Kern erst über mehrere
Schritte in eine Form umgewandelt wird, die schließlich die Abgabe eines Teilchens
ermöglicht. Zwischenzeitlich wird der Kern als Compound-Kern bezeichnet. Diese
Prozesse spielen sich auf einer Zeitskala von bis zu 1 × 10 −16 s ab, sodass sie prinzipiell
gut von den direkten Prozessen zu unterscheiden sind. Es kann bereits vor dem Zerfall
des Compound-Kerns zur Emission eines Teilchen kommen, wenn zum Beispiel das
Projektil den Kern anregt und sofort wieder verlässt. Der eigentliche Compound-
Zerfall ereignet sich dann erst später. Der Wirkungsquerschnitt
σ =
N einfallendeTeilchen
N Reaktionen · Fläche
(2.13)
lässt sich nun für jede Reaktion abhängig von Winkel, Energie und Teilchensorte
messen, um die Kernreaktionen eindeutig zu beschreiben [26].
2.3. Identifizierung von Teilchen in einem Flugzeitspektrometer
Atomkerne können anhand ihrer Massenzahl A und ihrer Ordnungszahl Z eindeutig
identifiziert werden. Um diese zu ermitteln können der Energieverlust dE
dx
(A, E, Z)
und die Geschwindigkeit v (A, E) verwendet werden. Zusätzlich benötigt man die
kinetische Energie E, um aus diesen drei Information auf A und Z schließen zu
können. Dies ist nur dann praktisch möglich, wenn die Geschwindigkeit deutlich
kleiner als die Lichtgeschwindigkeit ist, sodass v ausreichend mit E variiert.
13

2. Grundlagen
2.4. Szintillation
Szintillation nennt man die Eigenschaft einiger Stoffe, bei Anregung oder Ionisation
Energie in Form von Licht (meist im sichtbaren oder UV-Bereich) wieder abzugeben.
Das Spektrum der emittierten Photonen liegt dabei bezüglich der Energie unterhalb
des Absorptionsspektrums, sodass das Material für die emittierten Photonen
transparent ist. Man unterscheidet hierbei zwischen organischen und anorganischen
Szintillatoren, da diese unterschiedliche Mechanismen der Szintillation besitzen.
2.4.1. Anorganische Szintillatoren
Anorganische Szintillatoren sind meistens transparente Kristalle, die mit speziellen
Fremdatomen als Aktivatoren dotiert sind. Es existieren allerdings auch intrinsische
Szintillatorkristalle, die ohne eine solche Dotierung auskommen.
Intrinsische Szintillatoren
Intrinsische Szintillatoren kommen ohne weitere Dotierung aus. Ein gemeinsames
Merkmal ist, dass das Emissionsspektrum deutlich gegen das Absorptionsspektrum
verschoben ist, sodass das Material für das emittierte Licht weitgehend transparent
ist. In der Regel haben intrinsische Szintillatoren eine geringere Effizienz als dotierte
Szintillatoren. Die Mechanismen der intrinsischen Szintillation sind dabei verschieden.
Ein Beispiel ist Wismut-Germanat, kurz BGO. Die Szintillation wird hier auf
angeregte Bi 3+ -Zustände zurückgeführt. Es weist darüber hinaus eine auffällig kurze
Strahlungslänge X 0 auf, die sich aus der hohen Massenzahl des Wismuts ergibt [20].
Tabelle 2.1 zeigt den Vergleich von BGO als intrinsischen Szintillator und CsI(Tl)
als dotierten Szintillator.
Tabelle 2.1.: Kennzahlen für Thallium-dotiertes Cäsiumiodid und Wismut-Germanat
nach [5, 33, 34]
Wert CsI(Tl) BGO
Dichte in g/cm 3 4,51 7,31
Photonenausbeute in γ/keV 54 8-10
Strahlungslänge X 0 in cm 1,86 1,10
Abklingzeit in ns 1200 300
hygroskopisch ja nein
Wellenlänge 2 λ in nm 540 480
14

2.4. Szintillation
2.4.2. Organische Szintillatoren
Bei organischen Szintillatoren wie zum Beispiel Anthrazen oder Polystyren werden
bestimmte Moleküle angeregt, die danach durch strahlungslose Übergänge in einen
Zustand geringerer Energie gelangen. Erst beim anschließenden Übergang in den
Grundzustand wird ein Lichtquant frei. Dessen Energie ist zu niedrig für eine erneute
Anregung den ursprünglichen Zustands, sodass es nicht sofort wieder absorbiert wird.
Die Lebensdauer der angeregten Zustände liegt meist in der Größenordnung von
einigen Nanosekunden und ist damit kürzer als die der anorganischen Szintillatoren.
Organische Szintillatoren liefern damit eine gute Zeitauflösung. Durch die geringere
Dichte dieser Materialien eignen sie sich gut für die Messung des Energieverlustes,
ohne die zu vermessenden Teilchen komplett zu stoppen [20].
2.4.3. Auflösung von Szintillationdetektoren
Bei Szintillationsdetektoren ist das messbare Signal immer proportional zur Zahl
der erzeugten Photonen N. Diese Zahl ist eine Zufallsvariable, sodass bei der naiven
Annahme einer Poisson-Verteilung einen relativen Fehler
σ N
N = 1 √
N
(2.14)
annehmen würde. Nicht nur die Erzeugung der Photonen, sondern auch deren
Transport zur aktiven Fläche des Lichtsensors und die dortige Umwandlung in
elektrische Signalträger sind Zufallsprozesse. Da die relativen Fehler aller Prozesse
quadratisch addiert werden, ist am Ende immer der Beitrag des Prozesses mit der
niedrigsten Zahl der Signalträger dominant. Dies ist bei Detektoren ohne interne
Verstärkung immer der Prozess der Umwandlung von Photonen in Photoelektronen.
Tatsächlich ist der Fehler jedoch kleiner als bei einer klassischen Poissonverteilung,
sodass ein phänomenologischer Fano-Faktor F eingeführt wird, der zwischen Null
und eins liegt. Daraus folgt die relative Energieauflösung
σ E
E = 1
√ F · NPhotoelektronen
(2.15)
≤
1
√
NPhotoelektronen
(2.16)
∝ 1 √
E
(2.17)
Weitere Effekte führen zu einer zusätzlichen Linienverbreiterung. Der hier genannte
Beitrag bezieht sich nur auf die statistischen Fluktuationen im Szintillator bzw.
dessen Lichtsensor [16].
15

2. Grundlagen
2.5. Halbleiterdetektoren
Bei Halbleiterdetektoren werden in der Verarmungszone eines Halbleiters durch einfallende
Teilchen Elektron-Loch-Paare erzeugt, die dann zu den Elektroden wandern.
Die Summe der erzeugten Ladungsträger ist als Strom messbar. Die Verarmungszone
entsteht in pn-dotierten Halbleiterübergängen durch Rekombination von freien
Elektronen der Donatoratome mit Löchern der Akzeptoratome oder bei ausreichend
hoher angelegter Spannung auch durch das Entfernen von Ladungsträgern in intrinsischen
Halbleitern. Die Energie für die Erzeugung eines Ladungsträgerpaares, auch
Ionisationsenergie 3 ɛ genannt, ist dabei mit rund 3 eV für Silizium oder Germanium
etwa zehn mal kleiner als die üblicher Gasdetektoren. Damit ist die Zahl der primären
Ladungsträgerpaare
n eh = ∆E
ɛ
(2.18)
mit der deponierten Energie ∆E deutlich höher als bei Gasdetektoren, sodass statistische
Fluktuationen der Ladungsträgerzahlen zu einem geringeren Messfehler führen.
Die Dichte der intrinsischen Ladungsträger
( )
n i ∝ T 3 Eg
2 exp (2.19)
2k b T
mit der Temperatur T , der Bandlücke E g und der Boltzmannkonstanten k b ist stark
temperaturabhängig. Solche Ladungsträger führen zu einem Dunkelstrom, dessen
Fluktuationen die Messgenauigkeit verschlechtern. Daher werden Halbleiterdetektoren
oft gekühlt und finden oberhalb der Raumtemperatur praktisch keinen Einsatz. Ein
zu hoher Dunkelstrom kann per se die verwendeten Vorverstärker in Sättigung treiben
oder sogar beschädigen [20].
2.5.1. PIN-Dioden
PIN-Dioden besitzen zwischen der n- und der p-dotierten Schicht eine relativ breite
nicht dotierte, sog. instrinsiche Schicht (I-Schicht). Legt man eine Spannung an, lässt
sich die gesamte I-Schicht verarmen. Die messbare Ladung ist dann direkt durch
die Anzahl der erzeugten Primärladungsträger gegeben, welche proportional ist zur
absorbierten Energie [20]. Da diese Dioden häufig mit einer großen aktiven Fläche
gefertigt werden, bildet die Verarmungszone eine oft nicht zu vernachlässigende Kapazität
proportional zur aktiven Fläche aus. Der Dunkelstrom einer in Sperrrichtung
betriebenen Diode ist aus dem gleichen Grund oft eine wichtige Größe beim Entwurf
von Detektorsystemen auf Basis von PIN-Dioden.
3 eigentlich W -Wert, mittlerer Energieverlust pro erzeugtem Ladungsträgerpaar, dieser ist bei Gasen
deutlich niedriger als die eigentlich Ionisationsenergie, siehe etwa [16]
16

2.6. Elektronik
2.5.2. Lawinenphotodioden
Bei Lawinenphotodioden 4 wird der pn-Übergang so gestaltet, dass Ladungsträger bei
ausreichend hoher Spannung neue Ladungsträger durch Ionisation erzeugen können.
Dadurch ergibt sich eine interne Verstärkung des Ladungssignals. Betreibt man eine
APD oberhalb der Durchbruchsspannung, reicht ein Primärladungsträger, um eine
Dauerentladung zu erzeugen. Ein in Reihe geschalteter Löschwiderstand 5 sorgt dafür,
dass nun die Spannung einbricht und unterbricht damit die Dauerentladung. Nachdem
sich die Spannung wieder aufgebaut hat, ist die Diode wieder sensitiv. Man spricht
hier von Geiger-Modus-Lawinenphotodioden 6 . Dadurch wird eine Multiplikation der
Primärladungsträgerzahl im Bereich von etwa 10 5 bis 10 6 erreicht, es kann jedoch
aus der Ladungsmenge eines Pulses nicht mehr auf die Zahl der Primärladungsträger
geschlossen werden [36].
2.5.3. Silizium-Photomultiplier
Um Informationen über die Anzahl der Primärladungsträger zu gewinnen, wird
aus vielen G-APD-Zellen ein Silizium-Photomultiplier, kurz SiPM aufgebaut. Die
Ladungsmenge dieses Bauteils ist proportional zur Anzahl der ausgelösten Zellen,
auch Pixel genannt. Man bezeichnet das Signal eines einzelnen Pixels als Photonäquivalent
7 , welches von der Verarmungsspannung und der Temperatur abhängt. Auch
thermische Fluktuationen führen zur Lawinenbildung, sodass zusätzlich zur Zählrate
durch detektierte Photonen eine sogenannte Dunkelrate auftritt, die ebenfalls von
Temperatur und Spannung abhängt. Durch Verunreinigungen im Halbleitermaterial
existieren in der Regel langlebige Zustände, die beim Zerfall ihrerseits eine Lawine im
betreffenden Pixel und damit ein Signal erzeugen können. Dieses Verhalten bezeichnet
man als after pulsing. Ebenso kann das Halbleitermaterial Photonen emittieren, die
ein benachbartes Pixel auslösen und damit zu einer Überschätzung des Primärsignals
führen. Dies bezeichnet man als optical crosstalk [31].
2.6. Elektronik
2.6.1. Laplace-Transformation
Die Laplace-Transformation ist eine Transformation einer Funktion f(t) mit dem
reellen Argument t in eine Transformierte F (s) = L t {f(t)} mit dem komplexen
4 engl. avalanche photo diodes, APD
5 engl. quenching resistor
6 engl. Geiger-mode avalanche photo diode, G-APD
7 kurz p.e.
17

2. Grundlagen
Argument s. Die Vorschrift für die Transformation lautet
F (s) =
∫ ∞
0
exp (−st) f (t) dt. (2.20)
Die Laplace-Transformation wird häufig in der Elektrotechnik eingesetzt, um Differentialgleichungen
zu lösen oder Übertragungsfunktionen anzugeben. Dabei gilt
s = σ + iω mit σ, ω ∈ R, (2.21)
wobei s praktisch rein imaginär ist 8 und ω die Kreisfrequenz bezeichnet. Übertragungsfunktionen
lassen sich in der Regel als gebrochen rationale Funktionen
darstellen, sodas man Nullstellen des Zählerpolynoms als Nullen und Nullstellen des
Nennerpolynoms als Pole bezeichnet.
2.6.2. Operationsverstärker
Ein idealer Operationsverstärker, kurz OPV, ist ein Differenzverstärker mit unendlichem
Verstärkungsfaktor, unendlichem Eingangswiderstand, verschwindendem
Ausgangswiderstand und verschwindender Reaktionszeit. Legt man den Ausgang auf
den invertierenden Eingang, so erhält man eine negative Rückkopplung und damit
einen Regelkreis, bei dem die Differenz der beiden Eingänge immer auf Null geregelt
wird. Daraus lässt sich eine Reihe nützlicher Schaltungen ableiten, die verschiedene
Operationen ausführen. Bei den hier vorgestellten Typen besteht die Rückkopplung
immer aus einer Impedanz Z f zwischen Ausgang und invertierendem Eingang des
Operationsverstärkers sowie einer Impedanz Z i zwischen dem invertiereden Eingang
und dem Erdpotential 9 . In dieser Konstellation wird eine Rückkopplung über die
Spannung hergestellt, d.h. die Ausgangsspannung des Operationsverstärkers stellt
sich so ein, dass am sich invertierenden Eingang die Spannung über Z f und die zu
verstärkende Eingangsspannung kompensieren. Ohne Z i erhält man eine Rückkopplung
über den Strom, d.h. die Ausgangsspannung des Operationsverstärkers stellt
sich so ein, dass durch Z f gerade der Strom des zu verstärkenden Signals abfließt,
ohne dass sich am invertierenden Eingang eine Spannung relativ zum Erd- oder
Referenzpotential aufbaut.
Spannungsfolger, invertierend
Beim invertierenden Spannungsfolger werden Widerstände gleichen Wertes in Reihe
und parallel zum Operationsverstärker geschaltet. Der nicht-invertierende Eingang
8 womit die Laplacetransformation in die Fouriertransformation übergeht
9 Es kann jede beliebige konstante Spannungsquelle mit niedriger Ausgangsimpedanz gewählt
werden, ohne die Übertragungsfunktion zu ändern.
18

2.6. Elektronik
wird auf ein Referenzpotential gelegt und der invertierende wird über den Reihenwiderstand
mit der Signalquelle verbunden, siehe Abb. 2.1. Das Ausgangssignal ist
damit immer betragsgleich aber mit umgekehrtem Vorzeichen bezogen auf das Referenzpotential.
Bei unterschiedlichen Widerstandswerten ist die Ausgangsspannung
gegeben durch
wenn man einen idealen Operationsverstärker annimmt.
U A = − R f
R i
· U E , (2.22)
U E
R i
U R b
R b
f
3
U R
−
U a a
A
1 A v
+
+
U Ref U Ref
-
Av
R f
U A
Abbildung 2.1.: Ein invertierender Spannungsfolger (links) und ein invertierender
Addierer (rechts).
Addierer
Der Addierer ist gleich dem Spannungsfolger, nur dass die zu addierenden Signale
über zwei Widerstände parallel auf den invertierenden Eingang gelegt werden. Die
Werte der beiden Widerstände bestimmen dabei die Gewichtung der Signale bei der
Addition. Die Übertragungsfunktion ist durch
( Rf
U A = − · U a + R )
f
· U b (2.23)
R a R b
gegeben.
Differenzierer
Verwendet man einen Kondensator in Reihe zum Eingangssignal und einen Widerstand
wie in Abb. 2.2 gezeigt, erhält man als Antwort auf eine Heaviside-Funktion
ein Signal der Form
U A (t) = U 0 · e − t τ ; t > 0, sonst 0; mit (2.24)
τ = R i C i . (2.25)
19

2. Grundlagen
Hierbei ist die Übertragungsfunktion in der Frequenzbasis nicht mehr konstant,
sondern steigt bis zur Grenzfrequenz
f c = 1
(2.26)
2πτ
mit 20 dB pro Dekade an und flacht in diesem Bereich auf einen kontanten Wert von
U 0 = R f /R i ab.
Integrierer
Beim Integrierer wird ein Kondensator parallel zum Widerstand im Rückkopplungszweig
geschaltet. Man erhält hier wie auch beim Differenzierer eine Grenzfrequenz
f c =
1
2πR f C f
. (2.27)
Unterhalb dieser Frequenz ist die Übertragungsfunktion konstant bei U 0 = R f /R i ,
darüber fällt sie mit 20 dB pro Dekade ab, siehe auch Abb. 2.4. Die Antwort auf eine
Heavisidefunktion ist hier
( )
U A (t) = U 0 · 1 − e − t τ ; t > 0, sonst 0; mit (2.28)
τ = R f C f . (2.29)
U E
C i
R i
3
−
R f
U A
1 A v
+
U E
R i
R f
C f
3 −
1 A v
+
U A
U Ref
U Ref
Abbildung 2.2.: Ein Differenzierer (links) und ein Integrierer (rechts).
2.6.3. Verstärkerschaltungen für Sensoren
In der Regel werden Signale der vorgestellten Sensoren nicht direkt aufgezeichnet,
sondern erst elektronisch verstärkt. Dazu können verschiedene Typen von Verstärkern
bzw. Verstärkerschaltungen verwandt werden. Üblicherweise baut man diese aus
Transistoren oder Operationsverstärkern auf. Im Prinzip kann jede der drei folgenden
Schaltungen auf dem gleichen Verstärker aufgebaut werden.
20

2.6. Elektronik
Spannungsverstärker
Ein Spannungsverstärker gibt einen Spannungspegel als Funktion der Eingangsspannung
ab. Er besitzt dazu eine möglichst große Eingangsimpedanz, um die Signalquelle
wenig zu belasten und das Signal selbst so wenig wie möglich zu verfälschen. Er besitzt
eine niedrige Ausgangsimpedanz, um die Ausgangsspannung möglichst unabhängig
von der zu treibenden Last zu erzeugen. Ein einfaches Beispiel hierfür ist der oben
genannte Spannungsfolger, siehe auch Abb. 2.1.
Stromverstärker
Ein Stromverstärker soll hier ein Spannungssignal als Funktion des Eingangsstroms
erzeugen. Er besitzt dazu eine niedrige Eingangsimpedanz, um den Signalstrom
nicht zu beeinflussen. Die Ausgangsimpedanz ist auch hier niedrig. Ein einfaches
Beispiel ist ein Operationsverstärker, der die Spannung, die über einem kleinen
Widerstand 10 in Reihe zur Signalstromquelle abfällt, verstärkt. Alternativ lässt sich
ein Operationsverstärker mit einer Strom-Gegenkopplung betreiben, bei der ein
Widerstand zwischen Ein- und Ausgang des OPV eingesetzt wird, um eine geringe
Impedanz zwischen den Eingängen zu erzeugen [36], siehe Abb. 2.3.
I in →
3
−
R f
U out
1
+
Abbildung 2.3.: Ein stromrückgekoppelter Operationsverstärker. Der Operationsverstärker
baut am Ausgang die Spannung U out auf, sodass über der
Widerstand R f gerage der Strom I in fließt, wodurch eine niedrige
Impedanz für die Signalquelle am Eingang erzeugt wird.
Ladungsempfindliche Verstärker
Soll ein Ausgangssignal abhängig von der Ladung, die ein Ereignis in einem Sensor
hervorruft, erzeugt werden, benötigt man einen sogenannten ladungsempfindlichen
10 engl. shunt resistor
21

2. Grundlagen
Verstärker, kurz CSA 11 . Da man die Ladung als Integral eines Stroms beschreiben
kann, ist ein solcher CSA nichts anderes als ein Integrierer. Einen CSA kann man
konstruieren, indem man in den Rückkopplungszweig eines Operationsverstärkers
einen Kondensator einfügt. Der OPV wird dann die Ausgangsspannung so einstellen,
dass die Ladung über dem genannten Rückkopplungskondensator die Ladung des
Sensors kompensiert. Um zu erreichen, dass der Operationsverstärker nach endlicher
Zeit wieder die gleiche Reaktion auf eine bestimmte Ladungsmenge zeigt und nicht
nach einer bestimmten Ladungsmenge in Sättingung geht, muss der Kondensator wieder
entladen werden. Dies kann durch einen parallel geschalteten, hohen Widerstand
geschehen oder durch einen aktiven Schalter, der bei einer bestimmten Bedingung
den Kondensator entlädt. Unter Vernachlässigung der Entladung des Kondensators
ist das Ausgangssignal des Vorverstärkers eine Stufenfunktion, bei der die Höhe
der einzelnen Stufen proportional zur Ladung eines mehr oder weniger diskreten
Ereignisses ist, etwa dem Durchflug eines Teilchens.
2.6.4. Stabilität von Operationsverstärkern
Da Operationsverstärker in der Regel mit Gegenkopplung betrieben werden, um ein
stabiles Ausgangssignal bei einer bestimmten Übertragungsfunktion zu erhalten, liegt
es nahe einige Konzepte aus der Regelungs- und Systemtechnik zur Beurteilung der
Stabilität dieser Systeme zu nutzen. Dazu werden zuerst zwei wichtige Diagrammtypen
eingeführt. Diese dienen zur Darstellung der komplexen Übertragungsfunktion
eines allgemeinen linearen Systems.
Bode-Diagramm
G (ω) = S Ausgang
S Eingang
(2.30)
Das Bode-Diagramm besteht zwei Kennlinien. Die erste zeigt den Absolutbetrag
|G (ω)| der Übertragungsfunktion in doppelt-logarithmischer Darstellung während
die zweite die Phasedrehung φ (ω) in halblogarithmischer Darstellung repräsentiert.
In Abb. 2.4 sieht man ein Bode-Diagramm eines Tiefpasses erster Ordnung mit einem
Pol bei der Grenzfrequenz ω C . Die Differenz zweier Kurven in der Graphik entspricht
durch die logarithmische Darstellung dem Quotienten der beiden Übertragungsfunktionen.
Nyquist-Diagramm
Das Nyquist-Diagramm ist eine reduzierte Darstellung des Bode-Diagramms. Es
ist eine parametrische Darstellung der Übertragungsfunktion nach der Frequenz in
11 engl. charge sensitive amplifier
22

2.6. Elektronik
Abbildung 2.4.: Bode-Diagramm eines Tiefpasses [1]. Gezeigt sind Betrag |A (f)| und
Phase ϕ (f) der komplexen Übertragungsfunktion A (f).
Polarkoordinaten. Ein Beispiel ist in Abb. 2.5 zu sehen.
Operationsverstärkerschaltung als Regelkreis
Eine gegengekoppelte Operationsverstärkerschaltung wie in Abb. 2.6 besteht allgemein
aus einem Operationsverstärker mit der komplexen Übertragungsfunktion 12
A v (ω) = u o (ω) /u fb (ω) , (2.31)
bei dem der Ausgang über ein Rückkopplungsnetzwerk mit dem invertierenden
Eingang verbunden wird, mit der Übertragungsfunktion
12 wird oft als open-loop gain bezeichnet.
A fb (ω) = (u fb /u o ) (ω) . (2.32)
23

2. Grundlagen
Abbildung 2.5.: Nyquist-Diagramm eines Tiefpasses [1].
u fb
A fb (ω)
u i
+
−
u ia
A v (ω)
u o
Abbildung 2.6.: Blockschaltbild eines gegengekoppelten Regelkreises. Hier stellt A v
die Leerlaufverstärkung eines Operationsverstärkers dar, während
A fb die Übertragungsfunktion des Rückkopplungsnetzwerkes zwischen
Operationsverstärkerausgang unf -eingang modelliert.
Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises ist dann
Es gilt nun
A CL (ω) = u o /u i (ω) . (2.33)
u ia = u i + u fb (2.34)
u fb = A fb u o (2.35)
u o
= −A v
u ia
(2.36)
⇒ u o
u i
=
A v
1 + A fb A v
≡ A CL . (2.37)
24

2.6. Elektronik
Nyquist-Kriterium
A priori lässt sich die Stabilität eines Reglers mit Hilfe des Nyquist-Kriteriums
beurteilen, wie es etwa in [40] beschrieben wird. Es basiert darauf, dass 2.37 endlich
sein und daher G 0 (iω) ≡ A v A fb ≠ −1 sein muss. Eine vereinfachte Form des
Kriteriums, wie sie auf die meisten physikalisch realisierbaren und gebräuchlichen
Regler zutrifft ist die sogenannte Linke-Hand-Regel:
Der offene Regelkreis habe nur Pole in der linken s-Halbebene, außer
einem 1- oder 2-fachen Pol bei s = 0 (P-, I- oder I 2 - Verhalten). In diesem
Fall ist der geschlossene Regelkreis genau dann asymptotisch stabil, wenn
der kritische Punkt (−1 + 0i) in Richtung wachsender ω-Werte gesehen
links der Ortskurve von G 0 (iω) liegt. [40]
Vereinfacht bedeutet dies, dass der kritische Punkt (−1,0i) beim Nachfahren der
Kurve in Richtung höhere Frequenzen im Nyquist-Diagramm immer links passiert
werden muss, um ein stabiles System zu erhalten. Es lassen sich nun zwei Größen
definieren, die zur praktischen Beurteilung der Stabilität eines Reglers nützlich sind.
Die Amplitudenreserve A R gibt an, wie stark der Betrag der Übertragungsfunktion
noch vergrößert werden darf, bis aus einem stabilen System ein instabiles wird. Die
Phasenreserve φ R gibt an, wie weit sich die Phase verschieben darf, bis das System
instabil wird. Eine praxisnahe Darstellung dieses Themas findet sich in [14].
2.6.5. Elektronisches Rauschen
Jedes elektronische Bauelement erzeugt Fluktuationen im Strom oder der Spannung
eines Signals, die man als elektronisches Rauschen bezeichnet. Alle Frequenzen tragen
hier unabhängig zur Leistung des Gesamt-Rauschens P n bei, daher gilt
P n =
Mit P = U · I und U = R · I folgt daraus
∫ dP
df. (2.38)
df
dP n
df
= dU n
d √ f · dI n
d √ f = e n · i n (2.39)
mit den spektralen Spannungs- und Stromrauschdichten e n = dU n /d √ f und i n =
dI n /d √ f.
Thermisches Rauschen
Thermisches Rauschen, auch Johnson-Rauschen genannt, tritt durch Fluktuationen
der Ladungsträgergeschwindigkeit in Widerständen auf die spektrale Rauschleistung
25

2. Grundlagen
ist konstant bezüglich der Frequenz und proportional zur absoluten Temperatur,
dP n
df
= 4kT (2.40)
mit der Boltzmann-Konstanten k B . Die Leistung innerhalb eines Widerstands ist
P = U 2
R = I2 R. (2.41)
Daraus folgt für die spektrale Spannungsdichte des Rauschens
und für die spektrale Stromdichte des Rauschens [36]
e 2 n = 4k b T R (2.42)
i 2 n = 4k bT
R . (2.43)
Rauschen mit flachem Spektrum bezeichnet man als weißes Rauschen.
Schrotrauschen
Schrotrauschen entsteht durch Fluktuationen in der Anzahl der Ladungsträger, wie
es in Halbleitern der Fall ist. Dabei sind Entstehung bzw. Vernichtung einzelner
Ladungsträger unabhängig voneinander. Dies trifft zum Beispiel dann zu, wenn
einzelne Ladungsträger die Potentialbarriere einer Halbleiterdiode überwinden müssen.
Die spektrale Stromdichte des Rauschens ist hier
i 2 n = 2eI, (2.44)
wobei e die Elementarladung ist und I der Strom durch die Barriere [36]. Auch das
Schrotrauschen ist weißes Rauschen.
Niederfrequentes Rauschen
Sobald Fluktuationen nicht mehr unabhängig von der Zeit sind, etwa bei Ladungsträgern,
die in bestimmten Energieniveaus gefangen werden und nach einer charakteristischen
Zeit τ wieder freigesetzt werden, ist die spektrale Dichte des Rauschens nicht
mehr gleichverteilt. Im Grenzwert unendlich vieler, gleichverteilter Zeitkonstanten
nimmt die spektrale Leistungsdichte des Rauschens eine 1/f-Form an. Für praktische
Zwecke lässt sich diese Form schon ab etwa drei verschiedenen Zeitkonstanten
annehmen. Derartige Prozesse entstehen durch willkürliche oder unwillkürliche Verunreinigungen
in Halbleitern, sodass man praktisch für jeden Halbleiter eine solche
1/f-Komponente im Rauschspektrum findet [36]. Man bezeichnet diese Art von
Rauschen auch als rosa Rauschen.
26

2.6. Elektronik
Rauschen eines ladungsempfindlichen Vorverstärkers
Üblicherweise bestehen Spektroskopieverstärker aus mehreren Stufen, wobei jede
einzelne zum Rauschen am Verstärkerausgang beiträgt. Da jede Stufe sowohl Signal
als auch Rauschen der vorangegangenen Stufe verstärkt und ihren eigenen Beitrag
hinzufügt 13 , ist bei hinreichendem Verstärkungsfaktor immer das Rauschen der ersten
Stufe dominant. Es lässt sich mit heutigen Bauteilen fast immer ein Verstärker kontruieren,
bei dem das Rauschen aller Stufen nach dem Vorverstärker vernachlässigbar
sind. Praktisch ist dies auch daher der Fall, da der Vorverstärker in der Regel einen
sehr hohen Verstärkungsfaktor hat und sich an dessen Eingang die Bauelemente mit
den größten Einzelbeiträgen befinden. Dies betrifft insbesondere den Sensor selbst.
Daher gilt die größte Aufmerksamkeit bei der Untersuchung eines Verstärkers immer
der Kombination aus Sensor und Vorverstärker, während alle nachfolgenden Stufen
nur noch die Übertragungsfunktion des hier erzeugten Rauschens bestimmen [36].
Das Rauschen des Vorverstärkers ist bestimmt durch die Frequenzdichten von Strom-
Abbildung 2.7.: Ersatzschaltbild für die Berechnung des Rauschens aus [36].
und Spannungsrauschen. Da der Eingang eines Vorverstärkers in der Regel eine sehr
hohe Impedanz aufweist, lässt sich das Rauschen komplett in Einheiten einer Spannung
angeben. Dazu müssen die Beiträge aller relevanten Bauelemente in Einheiten
einer Spannung angegeben werden. Zu diesem Zweck wird das Ersatzschaltbild 2.7
verwendet, welches für viele Halbleiterdetektoren gültig ist. Es enthält den Sensor in
Form eines Kondensators, der die Anschlusskapazität C d abbildet und einer Stromquelle
für den Dunkelstrom I d des Halbleiters. Alle weiteren parallelen Kapazitäten
wie die Eingangskapazität des Verstärkers, dessen Rückkopplungskondensator und
13 Beiträge des Rauschens werden quadratisch addiert
27

2. Grundlagen
weitere parasitäre Kapazitäten werden ebenfalls zum Wert des Kondensators C d
hinzugezählt. Parallel dazu liegt der Bias-Widerstand R b . In gleicher Weisewirken
sich auch alle restlicehn resistiven Elemente parallel zum Sensor aus. Dazu gehört
auch der Widerstand R f im Rückkopplungszweig des Verstärkers. Es wird deshalb im
folgenden das Symbol R p für die Kombination aller Parallelwiederstände zur Diode
verwendet. Der Serienwiderstand R s steht für alle willkürlichen und unwillkürlichen
Widerstände in Reihe zum Sensor. Alle Spannungsquellen werden als ideale Quellen
mit verschwindendem Innenwiderstand aufgefasst, alle Stromquellen besitzen einen
unendlichen Innerwiderstand. Die Ströme i nd , i rb und i na können also nur durch
den Kondensator C d und den Parallelwiderstand R p fließen. Für die Untersuchung
des Beitrags des Rauschen durch den Dunkelstrom des Sensors i nd = 2eI d wird der
Parallelwiderstand wegen seiner in der Regel hohen Impedanz vernachlässigt. Man
erhält damit als Spannungsdichte zwischen den Verstärkereingängen
e 2 nd = i 2 1
nd
(ωC d ) 2 =
2eI d
(ωC d ) 2 . (2.45)
In gleicher Weise wird das Stromrauschen des Verstärkers i na behandelt. Der Parallelwiderstand
R p erzeugt ein Stromrauschen i 2 rp = 4k b T R p proportional zur absoluten
Temperatur und seines Ohmschen Widerstandswertes. Lässt man diesen durch die
Parallelkombination aus Sensorkapazität und Parallelwiderstand fließen, erzeugt er
dort eine Spannung
e 2 rp = Z 2 i 2 rp = 4k ( ) 2
bT Rp (−i/ωC d )
(2.46)
R p R p + (−i/ωC d )
mit dem Betrag
|e np | 2 =
4k b T R p
1 + (ωR p C d ) 2 . (2.47)
Über alle Frequenzen integriert ergibt sich als für die kumulative Spannung
U np = k bT
C d
, (2.48)
was unabhängig vom Wert des Widerstands ist. Verwendet man jedoch ein bandbreitenbegrenzendes
System, verkleinert sich der kumulative Wert für größere Widerstände
[36]. Das Spannungrauschen des Serienwiderstandes wird einfach als
e 2 nr = 4k b T R s (2.49)
angegeben. Für den Verstärker wird üblicherweise ein Spannungsrauschen
e 2 na = e 2 nw + A f
f
(2.50)
28

2.6. Elektronik
spezifiziert, welches sich aus einem konstanten Wert e nw und einem 1/f-Term mit der
bauteilspezifischen Konstanten A f zusammensetzt. Addiert man nun alle einzelnen
Beiträge quadratisch, erhält man
e 2 ni = e 2 nd + e 2 np + e 2 nr + e 2 na
= 2eI d + i 2 na 4k b T R p
(ωC d ) 2 +
1 + (ωC d R p ) 2 + 4k bT R s + e 2 na.
(2.51)
Bei Kenntnis der Übertragungsfunktion A v des Vertärkers lässt sich damit das
Rauschen am Verstärkerausgang nach
U no =
∫ ∞
0
e 2 nodω =
∫ ∞
0
e 2 ni |A v | 2 dω (2.52)
berechnen. Mit dem Verstärkungsfaktor A Q = max (U o )/Q i folgt dann die rauschäquivalente
Ladung
Q n = U no
A Q
= U no
U o
Q i . (2.53)
2.6.6. Impulsformung für ladungsempfindliche Vorverstärker
Wie in Abschnitt 2.6.3 beschrieben, besteht das Ausgangssignal eines CSA aus einer
Reihe aufeinander folgender Stufen, deren jeweilige Höhe der gemessenen Ladung
entspricht. Um die Höhe einer einzelnen Stufe unabhängig von der Amplitude unmittelbar
vor dem Ereignis bestimmen zu können, wird üblicherweise der ursprüngliche
Impulszug umgeformt, sodass sich die gemessene Ladung im Idealfall aus einzelnen,
kurzen Pulsen bestimmen lässt, ohne dass dabei Informationen über die Höhe der
Stufe verloren gehen [20]. Dabei wird die Übertragungsfunktion des eingesetzten
Impulsformer nach Möglichkeit so gewählt, dass das Verhältnis von Nutzsignal zu
zufälligem Rauschen, kurz SNR 14 , möglichst groß ist. Praktisch werden bei diesem
Optimierungsprozess noch weitere Randbedingungen eingeführt, die in der Regel zu
einem nicht-maximalen SNR führen. Anforderungen an einen Puls sind oft eine kurze
Pulsdauer, um bei hohen Raten wenig Überlagerungen zu erhalten, eine schmale
Bandbreite, um ein hohes SNR zu erreichen und nicht zu kurzes Maximum, welches
sich bei der Digitalisierung leicht abtasten lässt. Ein Beispiel für einen Pulsformer
zeigt Abb. 2.8.
Zusammenhang zwischen Pulsform und Rauschen
Es lässt sich zeigen, dass das beste SNR durch eine Impulsform erreicht wird, die
aus der Abfolge einer ansteigenden und einer abfallenden Exponentialfunktion mit
14 engl. signal-to-noise ratio
29

2. Grundlagen
HIGH-PASS FILTER
“DIFFERENTIATOR”
d
LOW-PASS FILTER
“INTEGRATOR”
i
e -t/ d
Abbildung 2.8.: Blockschaltbild eines CR-RC-Shapers aus [36]. Das näherungsweise
stufenförmige Ausgangssignal des ladungsempfindlichen Vorverstärkers
wird zuerst mit der Zeitkonstanten τ d differenziert, um ein kurzes
Signal zu produzieren und anschließend mti der Zeitkonstanten τ i
integriert, um ein symmetrischeres Signal mit flacherem Maximum
und geringerer Bandbreite zu erhalten.
gleichen Zeitkonstanten gebildet wird. Diese Form lässt sich allerdings kaum realisieren
und ist für praktische Zwecke schlecht geeignet, da sie ein sehr spitzes und kurzes
Maximum liefert [35]. Diese Funktion lässt sich jedoch als Maßstab für jede beliebige
andere Impulsform verwenden. Zu den angestrebten Eigenschaften einer Impulsform
zählen in den meisten Fällen eine kurze zeitliche Ausdehnung, die die Separation
aufeinanderfolgender Ereignisse ermöglicht und ein flaches Maximum der Amplitude,
welches bei der Digitalisierung weniger anfällig auf momentane Fluktuationen ist.
Diese Anforderungen werden sehr gut von einer Gaußschen Glockenkurve erfüllt,
deren SNR nur etwa 12% schlechter ist als das Optimum. Eine solche Gauß-Form
ergibt sich als Grenzwert der Kombination eines Differenzierers mit einer unendlichen
Anzahl von Integrierern gleicher Zeitkonstante. Schon die erste Näherung dieses
Aufbaus mit nur einem Integrierer liefert ein nur 36% schlechteres SNR als das
Optimum. Mit jedem weiteren Integrierer wird die abfallende Flanke kürzer und der
Impuls symmetrischer. Solche Impulsformer mit n Integrierern werden gemeinhin als
CR − RC n -Shaper 15 bezeichnet. Die Impulsform lässt sich für gleiche Zeitkonstanten
τ = RC als
( ) t n
V (t) = · exp − t τ τ
(2.54)
angeben. Deutlich leichter ersichtlich wird der Zusammenhang zwischen Pulsform und
SNR, wenn man die Übertragungsfunktion in der Frequenzbasis betrachtet. Für jede
Sprungantwort U o (t) lässt sich per Fouriertransformation die Übertragunsfunktion
15 engl. to shape = formen
30

2.6. Elektronik
A f berechnen. Mit dieser lässt sich dann nach Abschnitt 2.6.5 Q n berechnen. Für
einen CR-RC-Shaper ist die Übertragungsfunktion
und ihr Betrag
A v =
1 1
1 − i ·
(2.55)
1 + iωτ
ωτ i d
|A| 2 =
(τ d + τ i ) 2 +
τ 2 d
( ) 2
. (2.56)
ωτ i τ d − 1 ω
Integration über das Rauschspektrum nach 2.6.5 liefert dann
Uno 2 = 1
( )
4kb T
τ
+ 2eI d + i 2 2
d
na
(2.57)
τ d + τ i
4C 2 d
+
R p
(
)
4k b T R s + e 2 τ d
na
τ i (τ d + τ i ) + A f
τ 2 d
τ 2 d + τ 2 i
ln
( τd
τ i
)
. (2.58)
Eine Ladung Q s im Verstärkereingang verursacht dort eine Spannung U s = Q s /C d ,
sodass das Pulsmaximum für die Ladung Q s mit Gl. 2.54 gerade
max U so (t) = U so (T p ) = Q s
· e −1 (2.59)
t
C d
ist. Einsetzen in S/N = U so (T p )/U no = Q s /Q n liefert für τ = τ i = τ d
Q s
Q n =
U so (T p ) U no = eC d U no (2.60)
⎡
⎤
Q 2 n = e2
8
(
2eI
⎢ d + 4k )
bT
+ i 2 na
R
⎣
p
} {{ }
≡i 2 n
(
·τ +
)
4k b T R s + e 2 na
} {{ }
≡e 2 n
·C2 d
τ
+ 4A f Cd
2 . (2.61)
⎥
⎦
Der linke Term steigt mit der Zeitkonstante τ, wobei der Vorfaktor i 2 n die Einheit
eines Stroms hat, der mittlere sinkt mit τ, wobei e 2 n die Einheit einer Spannung
hat, und der rechte Term ist konstant. Man sieht, dass die Detektorkapazität einen
großen Einfluss auf des Rauschen hat. Wie auf Abb. 2.9 zu sehen ist, gibt es für jede
Kombination der Parameter eine Zeitkonstante, die Q n minimiert. Für komplexere
Shaper lässt sich ebenfalls ein Ausdruck für Q n finden, wenn die Frequenzantwort
bekannt ist. Diese lässt sich per Fouriertransformation ermitteln. Nutzt man das
Parseval’sche Theorem
∫ ∞
0
|A(f)| 2 df =
∫ ∞
−∞
[F (t)] 2 dt, (2.62)
31

2. Grundlagen
Abbildung 2.9.: Typische Kennlinie der rausch-äquivalenten Ladung Q n (T P ) aus [36].
so kann man den allgemeinen Ausdruck
Q 2 n = i 2 nF i T S + e 2 nF v
C 2
finden, wobei die die Formfaktoren F i und F v durch
F i = 1
2T S
∫ ∞
−∞
[W (t)] 2 dt, F v = T S
2
T S
+ F vf A f C 2 (2.63)
∫ ∞
−∞
[ ] dW (t) 2
dt. (2.64)
Hier ist W (t) die Form des Pulses mit einem Maximum bei 1 und T S ist eine
Zeitkonstante, die an einem bestimmten Punkt des Pulses definiert wird. Üblicherweise
wird das Pulsmaximum oder ein Nulldurchgang gewählt. Die Größen e 2 n und i 2 n sind
die bereits aus der Behandlung des CR-RC-Shapers bekannten Spannungs- und
Stromrauschdichten [36]. Die optimale Zeitkonstante, die Q n minimiert lässt sich
dt
32

2.6. Elektronik
durch gleichsetzen der ersten beiden Terme bestimmen und beträgt
Der Wert von Q 2 n ist dann
√
T S,opt = e n F v
C . (2.65)
i n F i
Q 2 n = 2e n e i C √ F i F v + F vf A f C 2 . (2.66)
2.6.7. Pole-Zero-Kompensation
Verwendet man einen CSA mit kontinuierlicher Entladung, resultiert das langsam
abfallende Ausgangssignal nach dem Anstieg durch ein detektiertes Teilchen in einem
Überschwinger des Ausgangssignal des darauf folgenden Differenzierers. Dieser Überschwinger
kann kompensiert werden, indem man in der Übertragungsfunktion eine
Null bei der Frequenz des Pols des Vorverstärkers einfügt. Praktisch heißt dies, dass
parallel zum Kondensator des Differenzierers ein Widerstand eingefügt wird, sodass
die Zeitkonstante τ PZ = R PZ C diff identisch ist mit der Zeitkonstanten des Vorversträkers
τ CSA = C feedback R discharge . Einfacher betrachtet wird zu dem differenzierten
Vorverstärkersignal ein proportionaler Anteil addiert, der den Überschwinger genau
ausgleicht. [36]
33

3. Messgeräte und weiteres Equipment
Dieses Kapitel stellt die im Laufe der Arbeit verwendeten Messgeräte vor.
3.1. Ladungskonverter
Der verwendete Ladungskonverter 1 ist vom Typ CAEN 2 V965 [9]. Solange am Tor-
Eingang ein NIM 3 -Signal anliegt, wird der Signalstrom der 16 Eingänge parallel
integriert. Fällt das Tor-Signal ab, wird die akkumulierte Ladung jedes Kanals
digitalisiert und in einem Ausleseregister gespeichert. Von dort aus können die
Messwerte über den VMEbus 4 ausgelesen werden. Alle 16 Eingänge sind mit 50 Ω
terminiert.
3.2. Flash-Konverter
Der verwendete Flash-Konverter 5 ist ein CEAN Typ VX1721. Er besitzt am mit
je 50 Ω terminimierte Eingänge, die jeweils mit einem eigenen Digitalkonverter
verbunden sind. Die Digitalwerte werden alle 4 ns ausgelesen und in einen Ring-Puffer
geschreiben. Erhält die Einheit ein Triggersignal, wird nach einer bestimmten Zahl
von Taktzyklen der gesamte Puffer in einen zweiten Speicher kopiert, bevor die Daten
beim nächsten Umlauf überschrieben werden. Aus diesem zweiten Speicher lassen
sie sich per PC als einzelne Ereignisse auslesen. Die Digitaliesierung der Spannung
geschieht zwischen −1 V und 1 V in 4096 diskreten Stufen a etwa 0,5 mV.
3.3. Diskriminator
Verwendet wird ein Anstiegsflankendiskriminator 6 vom Typ CAEN N840 [8]. Er
besitzt acht Eingänge, die mit 50 Ω terminiert sind. Beim Unterschreiten eines
einstellbaren Schwellwertes wird an den korrespondierenden Ausgängen ein NIM-
Signal einstellbarer Breite erzeugt.
1 engl. charge-to-digital converter, kurz QDC
2 Costruzioni Apparecchiature Elettroniche Nucleari S.p.A., Viareggio, Italien
3 Nuclear Instrumentation Module, −700 mV für eine logische Eins, 0 V für eine logische Null.
4 Versa Module Eurocard bus
5 kurz FADC, engl. flash analog-to-digital converter
6 engl. leading-edge discriminator
35

3. Messgeräte und weiteres Equipment
3.4. Logikeinheit
Die verwendete Logikeinheit ist vom Typ CAEN N405 [7]. Diese besitzt drei Untereinheiten
mit je vier Logikeingängen, die als UND- oder als ODER-Schaltung verwendet
werden können, zwei nicht-invertierende Ausgänge, die bei erfüllter Bedingung ein
NIM-Signal produzieren, einen invertierenden Ausgang, der bei nicht erfüllter Bedingung
ein NIM-Signal produziert und einen Veto-Eingang, der die Ausgänge sperrt,
sodass kein Signal erzeugt wird.
3.5. Hochspannungsversorgung
Als Hochspannungsversorgung wird ein NIM-Modul vom Typ CAEN N1470 verwendet.
Es besitzt zwei Ausgänge mit wechselbarer Polarität, die sich bis 8 kV einstellen
lassen. Dieses Modul ist programmierbar und besitzt unter anderem eine Rampenfunktion,
die die Ausgangsspannung über ein definierbares Zeitinterval bis zum
Erreichen der Sollspannung erhöht bzw. verringert.
3.6. Myonenteleskop
Zu Testzwecken wird in dieser Arbeit ein einfaches Myonenteleskop verwendet, das
aus zwei Szintillationszählern, die aus je einem rechteckigen Plastikszintillator und
einem Sekundärelektronenvervielfacher, kurz PMT 7 bestehen, aufgebaut ist. Die
Szintillatoren sind dazu im Abstand von etwa 40 cm auf der vertikalen Achse um
90 ◦ gegeneinander verdreht angebracht. Bei koinzidenten Signalen von beiden PMT
wird jeweils eine Messung gestartet, sodass ein zu vermessender Detektor, der dabei
zwischen den Szintillationszählern eingebracht wird, zu diesem Zeitpunkt mit einer
bestimmten Wahrscheinlichkeit von einem kosmischen Myon durchflogen wird.
3.7. Weitere Spannungsquellen
Im Testaufbau wird für die Spannungsversorgung der Diodenverstärker ein Netzteil
vom Typ Lambda 8 Z-Up 10 [24] verwendet. Wenn nicht anders angegeben, wird dieses
auf 5 V eingestellt. Die Verarmungsspannung für die Dioden liefert ein Labornetzteil
der Firma HP 9 vom Typ 6634A [2]. Dieses lässt sich auf bis zu 100 V einstellen. Es
verfügt leider nicht über eine Rampenfunktion, sodass es zum Schutz der Widerstände
vor den Dioden nur Schrittweise auf die gewünschte Verarmungsspannung eingestellt
werden sollte. Für den nächsten Teststrahl ist ein selbstgebautes NIM-Modul in
Planung, welches die Spannung für die Diodenverstärker, die Verarmungsspannung für
7 engl. photomultiplier tube
8 Lambda TDK
9 Hewlett Packard
36

3.7. Weitere Spannungsquellen
Abbildung 3.1.: Das Myonenteleskop. Der zu untersuchende Detektor wird auf den
gelben Bleiblöcken unten im Bild platziert. Rot markiert sind die
sensitiven Flächen der Plastikszintillatoren.
die Dioden sowie die komplette Versorgung und Kommunikation der SiPM-Verstärker
beinhalten wird, Kapitel 5. Dies bietet sich an, da beide Systeme gemeinsam im
Kalorimeter verbaut sind und einen gemeinsamen Versorgungs-Anschluss auf dem
Flansch auf der Rückseite der Vakuumkammer nutzen können (vgl. Abb. 5.1).
37

4. Verwendete Programme
Dieses Kapitel listet kurz die verwendeten Programme auf.
4.1. Analyseprogramme
4.1.1. Root
Root [6] ist ein Analyseframework, welches am CERN [11] 1 entwickelt wird. Es
besteht aus einer Sammlung von C++-Klassen, die zur Organisation und Verarbeitung
von Daten verschiedenster Art genutzt werden können. Es bietet mit CINT einen
eigenen Interpreter, der C++-Quellcode zeilenweise ausführbar macht.
4.2. Simulationsprogramme
4.2.1. NgSpice
NgSpice [41] ist eine freie und quelloffene Erweiterung des Schaltkreissimulators
Spice [29], welcher seit 1973 an der University of California in Berkeley entwickelt
wird und noch heute den Kern vieler Elektronik-Simulatoren bildet. NgSpice selbst
bietet keine graphische Benutzeroberfläche, sondern wird entweder über einen Kommandozeileninterpreter
gesteuert oder über Macro-Dateien, in denen eine bestimmte
Abfolge von Befehlen gespeichert wird. Dies hat den Vorteil, dass sich sämtliche
Arbeitsgänge in Textform speichern und jederzeit wieder aufrufen lassen. Solche
Dateien lassen sich problemlos über Versionskontrollsysteme wie HG 2 [28] verwalten,
sodass ihre komplette Entwicklung über die Dauer eines Projekts nachvollziehbar ist.
Die Topologie eines Schaltkreises wird in Form einer Netzliste eingelesen, welche pro
Zeile ein Element mit allen verbundenen Knoten enthält. Solche Netzlisten lassen
sich mithilfe graphischer Editoren wie dem quelloffenen gschem [19] erstellen. Die
Simulation durch Spice basiert dabei auf der Matrixinversion des übergebenen
Netzwerks nach den Kirchhoffschen Maschen- und Knotenregeln. Strahlungseffekte
und die Geometrie der Schaltung bleiben dabei unberücksichtigt, sodass die Ergebnisse
im Hochfrequenzbereich nur bedingt aussagekräftig sind. Mit Spice lassen
sich sowohl Analysen in der Frequenzbasis, sogenannte AC-Analysen, als auch in der
Zeitbasis, sogenannte Transientenanalysen durchführen. Für nähere Informationen
sei auf das Benutzerhandbuch von NgSpice [41] verwiesen.
1 Centre Européen pour la Recherche Nucléaire, Genf
2 Mercurial SCM
39

4. Verwendete Programme
4.2.2. Geant4
Geant4 ist ein Monte-Carlo-Simulator, der für die Entwicklung von Teilchendetektoren
und die Erzeugung von simulierten Messdaten gemäß den bekannten
theoretischen Modellen mit den am CERN entwickelt wird. Generell lässt sich damit
die Interaktion von Teilchen mit Materie simulieren. Ähnlich wie Root handelt es
sich dabei nicht um ein Programm, sondern ein Framework zur Erstellung eigener
ausführbarer Simulationsprogramme beliebiger Komplexität.
4.3. Messprogramme
4.3.1. readout juelich
Readout Juelich ist ein Paket von Programmen, die zum Testbetrieb des Flugzeitspektrometers
am Teilchenbeschleuniger COSY 3 in Jülich entwickelt wurde [4]. Die
einzelnen Bestandteile erfüllen alle Funktionen für die Datennahme und die Anzeige
der aktuellen Messdaten. Es ist derart modular gestaltet, dass es sich ebenfalls zur
Aufzeichnung verschiedenster Labormessungen eignet. Im Speziellen dient es der
Aufzeichnung von TDC- und QDC-Daten sowie der sogenannten Slow-Control-Daten,
d.h. Temperatur und Druck während der laufenden Messung.
4.3.2. FlashReadout
Dies ist ein selbstgeschriebenes Programm auf der Basis eines libLAB 4 -Programmbeispiels
zur Auslese eines FADC. Es ermöglicht die Auslese und Einstellung eines CAEN
VX1721 [10] und die Analyse der ausgelesenen Pulse durch beliebige Implementierungen
einer abstrakten Klasse, welche auch für die Aufzeichnung der gewonnenen
Ergebnisse verantwortlich ist. Es werden zwei verschiedene Analyseklassen verwendet,
wovon die erste nach Anwendung eines Mittelwertfilters das Pulsminimum ermittelt
und die zweite lediglich alle Messpunkte aufzeichnet, um daraus später ein Pedestal-
Spektrum zu zeichnen. Eine Darstellung eines Pules vor und nach Anwendung des
Mittelwertfilters zeigen die Abbildungen 4.1 und 4.2.
3 COoler SYnchrotron
4 institutsinterne Sammlung von C++-Interfaces für Mess- und Steuergeräte, früher libVME++ [38]
40

4.3. Messprogramme
Raw FADC Muon Candidate
Voltage / mV
-0.01
-0.02
-0.03
-0.04
-0.05
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000
Sample
Abbildung 4.1.: Puls eines potentiellen Myon-Ereignisses nach Digitalisierung im
FADC.
Average / mV
Average:Sample
-0.01
-0.015
-0.02
-0.025
htemp
Entries 0
Mean x 0
Mean y 0
RMS x 0
RMS y 0
-0.03
-0.035
-0.04
-0.045
-0.05
-0.055
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000
Sample
Abbildung 4.2.: Puls aus 4.1 nach Anwendung eines Mittelwertfilters mit Mittelwertbildung
über 200 Samples.
41

5. Aufbau des Flugzeitspektrometers
Folgende Messgrößen soll das Flugzeitspektrometer für jedes Teilchen oder Teilchenfragment
ermitteln:
• Flugzeit
• Energieverlust
• Kinetische Energie
Funktionell benötigt man dafür mindestens einen Start-Detektor, der die Flugzeitmessung
beginnt, einen Stopp-Detektor, der die Flugzeitmessung beendet, einen
Detektor für den Energieverlust und ein Kalorimeter. Eine weitere Funktion ist die
Rekonstruktion der Teilchenspur, die vor allem der Auswahl valider Trajektorien
und der Unterdrückung von Mehrfachtreffern dient. Die Komponenten, die diese
Funktionen erfüllen sollen, werden in den folgenden Abschnitten erläutert. Abbildung
5.1 zeigt den Aufbau der Vakuumkammer mit den einzelnen Detektor-Modulen.
Geant4-Simulationen von J. Hermes [18] zeigen, dass wir für 10% Messunsicherheit
Abbildung 5.1.: Vakuumkammer des Flugzeitspektrometers mit aktiven Komponenten.
Der hier eingezeichnete Tailcatcher dient der Erkennung von
Teilchen, die aus dem Kalorimeter austreten. Seine Umsetzung ist
jedoch fraglich.
43

5. Aufbau des Flugzeitspektrometers
auf die differenziellen Wirkungsquerschnitte etwa 0,3 ns Messunsicherheit auf die
Flugzeitmessung erreichen müssen, 1,5 MeV auf den Energieverlust und etwa 50 MeV
auf die Gesamtenergie.
5.1. Startdetektor
Der Startdetektor ist ein Szintillationszähler aus einem flachen, rechteckigen Plastikszintillator,
der an den einer Seite von vier nebeneinander liegenden SiPM ausgelesen
wird. Das Summensignal der vier SiPM wird diskriminiert und bei Überschreiten der
Schwelle als Startmarke für die Zeitmessung verwandt.
5.2. Vetodetektor
Die zwei Vetodetektoren sind ebenfalls Szintillationszähler. Hier wird je eine Plastikszintillatorkachel
verwendet, die in der Mitte ein Loch von 1 cm hat, durch welches
der Primärteilchenstrahl tritt. Teilchen, die zu weit von der Strahlachse abweichen,
erzeugen Licht im Szintillatormaterial, welches von einem SiPM mit 3 mm 2 × 3 mm 2
aktiver Fläche und 1600 Pixeln detektiert wird. Dessen Signal wird verstärkt und
aufgezeichnet, sodass sich derartige Ereignisse bei der Datenanalyse erkennen lassen.
5.3. Fasertracker
Der Fasertracker besteht als zwei Modulen. Jedes dieser Module besteht aus einer
Matte aus parallen szintillierenden Fasern, die an einem Ende verspiegelt und am
anderen durch optisches Gel mit einer Reihe aus 32 SiPM verbunden sind, sodass der
Durchtrittspunkt eines Teilchens senkrecht zur Faserrichtung aus den Positionen und
Signalhöhen der SiPM bestimmt werden kann. Die Orientierung der Fasern beider
Module ist um 90 ◦ gegeneinander verdreht, sodass jedes Modul eine Koordinate
radial zur Strahlrichtung liefert. Die Signale des Fasertrackers werden als Stopp-
Signal für die Flugzeitmessung und für die Messung des Energieverlustes der Teilchen
verwendet, Siehe auch [25]. Die Ortsinformation kann genutzt werden, um die Anzahl
der Teilchen zu bestimmen und nach passenden Einträgen im Kalorimeter zu suchen.
5.4. Rahmendetektoren
Die vier Rahmendetektoren sind aus je einem rechteckigen Stück Plastikszintillator
aufgebaut, dessen Licht seitlich über zwei szintillierende Fasern zu je einem SiPM pro
Faser geleitet wird. Sie bilden einen Rahmen um den Fasertracker und überlappen
leicht an den Ecken, siehe 5.1. Sie übernehmen dort die Funktionen des Fasertrackers,
ohne jedoch eine Ortsauflösung zu bieten. Es kann lediglich zwischen Treffern der
vier Module unterschieden werden.
44

5.5. Kalorimeter
5.5. Kalorimeter
Das Kalorimeter besteht aus 16 Zellen aus je einem Wismut-Germanat 1 -Kristall,
der von einer PIN-Diode ausgelesen wird. Die 16 BGO-Zellen sind dabei um eine
Zentralzelle angeordnet, die streng genommen nicht die Funktion eines Kalorimeters
erfüllt, siehe 5.5.4.
5.5.1. Szintillatorkristalle
Die Szintillatorkristalle bestehen aus Wismut-Germanat, dessen Eigenschaften in
Tabelle ?? aufgelistet sind. Im Vergleich zu Cäsiumiodid 2 hat BGO eine höhere Dichte,
weshalb die einzelnen Kristalle kürzer sein können und einen geringeren Molière-
Radius, der eine feinere Granularität erlaubt. Außerdem ist BGO ein intrinsischer
Szintillator, der nicht von einer Dotierung mit Fremdatomen abhängt, es ist nicht
hygroskopisch, sodass auf eine luftdichte Verpackung verzichtet werden kann und
besitzt eines kürzere Abklingzeit. Ein Nachteil dieses Materials ist die geringere
Lichtausbeute. Die Kristalle selbst stammen aus dem L3-Experiment und wurden
im Fraunhofer Institut für Lasertechnik in eine vordere und eine hintere Hälfte
geteilt und poliert. Anschließend wurden sie mit reflektierender Titandioxidfarbe
beschichtet und mit aluminisiertem Mylar beklebt, um den Lichtaustausch zwischen
benachbarten Zellen zu minimieren, siehe [21]. Die größere Fläche jedes Kristalls
wurde dabei frei gelassen, sodass hier die Lichtauslese angeschlossen werden kann.
Verarbeitung, Form und Material des Kristall entscheiden darüber, wie viel Licht
pro deponierter Energie auf diese Auslesefläche trifft.
5.5.2. Photodioden
Für die Lichtauslese werden pro Zelle je zwei PIN-Dioden vom Typ Hamamatsu
S2744-08 [17] verwendet, die auf eine gemeinsame Platine gelötet sind und deren
sensitive Flächen von einer gemeinsamen, matten Polystyrolplatte 3 bedeckt sind.
Diese Diodenmodule ind die gleichen, wie sie auch im BaBar-Experiment [3] und
später im E-166-Experiment verwendet wurden [23]. Die wichtigsten Charakteristika
der verwendeten Dioden sind in Tabelle 5.1 zusammengefasst. Die Diodenmodule
sind jeweils mit optischem Zement vom Typ Saint-Gobain BC600 [32] auf die Ausleseflächen
der Kristalle geklebt. Sie sind maßgeblich für das elektronische Rauschen
jeder Zelle und die Größe des elektrischen Signals pro Lichtmenge.
1 kurz BGO
2 Dieses wird im E166-Kalorimeter [23] verwendet, welches hier noch häufiger als Vergleichsobjekt
dienen soll
3 Plexiglas, Brechungsindex n = 1,4 [22]
45

5. Aufbau des Flugzeitspektrometers
Tabelle 5.1.: Kenndaten der PIN-Diode [17]
Größe Wert Einheit
aktive Fläche A 2 cm 2
Photosensitivität S @480 nm 0,3 A/W
Dunkelstrom (typ.) I d @70 V 3 nA
Anschlusskapazität C d @70 V 85 pF
Tabelle 5.2.: Parameter des PIN-Dioden-Verstärkers
Element Wert Einheit
R bias 100 MΩ
R feedback 100 MΩ
C feedback 4,7 pF
R pz 68 kΩ
C diff 3,3 nF
R diff 1 kΩ
C int 330 pF
R diff,1 10 kΩ
C coupling 200 nF
C output 2,2 µF
5.5.3. Ladungsempfindliche Verstärker
Für die Verstärkung des elektrischen Signals wird ein selbstgebauter Prototyp eines
ladungsempfindlichen Verstärkers benutzt. Auf einer Platine, die jeweils wenige
Zentimeter hinter einem Diodenmodul montiert wird, sind je zwei ladungsempfindliche
Vorverstärker und ein gemeinsamer Pulsformer untergebracht.
Vorverstärker
Jeder Vorverstärker besteht aus einer Untereinheit eines Operationsverstärkers vom
Typ Maxim MAX4487 4 . Er ist kapazitativ an eine Diode gekoppelt und ist im
Rückkopplungszweig bestückt mit einem Kondensator geringer Kapazität und einem
Parallelen hohen Widerstand, der diesen Kondensator im Betrieb kontinuierlich
entlädt und dadurch bis zu einer bestimmten Lichtintensität auf der Platine dafür
sorgt, dass der Operationsverstärkerausgang im linearen Bereich bleibt. MAX4487
ist ein sogenannter rail-to-rail-Operationsverstärker, dessen Ausgang jeden Wert zwischen
den beiden Versorgungsspannungen annehmen kann und einen großen linearen
Bereich aufweist. Wie bereits in Abschnitt 2.6.5 beschrieben, ist die Kombination aus
4 MAX4478 enthält vier baugleihe Untereinheiten
46

5.5. Kalorimeter
Vorverstärker und Diode maßgeblich für das Rauschen. Betrachtet man aus Gl. 2.61
nur den ersten Term
i 2 n = 2eI d + 4k bT
R p
+ i 2 na, (5.1)
sieht man, dass dieser seinerseits aus drei Anteilen besteht, wovon der erste durch die
verwendete Diode bestimmt ist und der letzte durch den verwendeten Operationsverstärker.
Der Anteil des Operationsverstärkers ist dabei bereits etwa einen Faktor 1000
kleiner als der des Operationsverstärkers und kann damit vernachlässigt werden. Soll
der Term des thermischen Rauschens nicht größer sein als der des Schrotrauschens,
erhält man durch Gleichsetzen und Umstellen die Bedingung
R p ≥ 68,8MΩ. (5.2)
Da R p auch die Entladungsrate des Rückkopplungskondensators bestimmt, kann
dieser Wert nicht beliebig hoch gewählt werden. Der Parallelwiderstand R p entsteht
durch die Parallelschaltung des Bias-Widerstands R bias und des Rückkopplungswiderstands
R feedback . Wir wählen diese beiden zu je 100 MΩ, sodass der Parallelwiderstand
nominell 50 MΩ beträgt und damit einen ähnlichen Beitrag liefert wie das Schrotrauschen.
Pulsformer
Der Pulsformer folgt dem Konzept eines CR − RC 3 -Formers, vgl. Abschnitt 2.6.6. Der
Differenzierer und der erste Integrierer sind auf einem einzigen Operationsverstärker
untergebracht. Dieser fungiert zusätzlich als Addierer für die Signale der beiden Vorverstärker
und kompensiert deren abfallende Flanke durch Pole-Zero-Kompensation,
siehe Abschnitt 2.6.7. Der zweite Integrierer befindet sich auf einem eigenen Operationsverstärker.
Beide hier genannten Operationsverstärker befinden sich im gleichen
Bauteil wie auch die beiden Vorverstärker. Alle drei Integrierer besitzen die gleiche
Zeitkonstante. Der letzte Integrierer ist gleichzeitig der Ausgangstreiber, der ausreichend
Strom für die Signalleitung bis zur Digitalisierung liefern muss. Daher wurde
hier ein MAX4230 gewählt, der in einem eigenen Gehäuse untergebracht ist. Sein
Ausgang ist kapazitativ mit der Signalleitung gekoppelt.
Messgeräte
Die Analogpulse der Verstärker werden mit Hilfe eines QDC digitalisiert, siehe
Abschnitt ??. Dabei wird die Kenntnis der genauen Verzögerung zwischen dem
Auftreten eines Lichtpulses auf einer Diode und dem Signalmaximum eines Verstärkers
5 T p verwendet, um das Tor für den QDC nur um den quasi-konstanten Bereich
5 engl. peaking time
47

5. Aufbau des Flugzeitspektrometers
des Signalmaximums zu legen 6 . Damit wird hier nur ein Wert proportional zum
Signalmaximum gemessen. Bei Messungen mit radioaktiven Quellen, bei denen der
Zeitpunkt eines Zerfalls nicht unabhängig bestimmt werden kann, wird stattdessen
ein FADC verwendet, sodass nach der Messung jedes Pulses nach dessen Maximum
gesucht werden kann, siehe Abschnitt 3.2.
5.5.4. Zentralzelle
Im Zentrum des Kalorimeters wird während der Strahlzeit der höchste Teilchenfluss
erwartet, sodass dort eine BGO-Kalorimeterzelle durch die Strahlung schnell an
Transparenz verlieren würde. Darüber hinaus müsste die Auslegung des Verstärkers
dieser Zelle sich stark von der der restlichen unterscheiden, um bei der erwarteten Rate
nicht in Sättigung zu gehen. Da zu erwarten ist, dass Teilchen, die das Kalorimeter an
dieser Stelle treffen, nicht aus Kernwechselwirkungen stammen, ist die Information
über deren Gesamtenergie verzichtbar. Es genügt die Information, dass und zu
welchem Zeitpunkt dort ein Teilchen die Apparatur durchfliegt. Daher wird hier statt
einer Kalorimeterzelle ein Szintillationszähler in gleicher Form verbaut, der nur den
Zeitpunkt und den Energieverlust misst. Dieser besteht aus einem Plastikszintillator,
der auf der Rückseite von vier SiPM ausgelesen wird und ist somit besser an den
erwarteten Teilchenfluss angepasst. Sollte das Szintillatormaterial durch die Strahlung
zu stark beschädigt werden, kann es vergleichsweise günstig ausgetauscht werden.
Messungen zur Kalibration der Zentralzelle finden sich in [15]. Die Lichtauslese der
Zentralzelle aus der genannten Arbeit musste angepasst werden, um den mechanischen
Anforderungen in der Detektorkammer gerecht zu werden. Da die Messverstärker
der SiPM breiter sind als die Rückseite des Szintillators, mussten die Verstärker
um 5 cm zurück versetzt werden, damit sie nicht mit den Dioden und Verstärkern
der Kalorimeterzellen kollidieren. Daraus resultierte, dass die Leitungen für die vier
SiPM und die zwei PT100-Fühler ebenfalls etwa 4 cm länger wurden. Um die starke
Neigung zum Übersprechen zwischen diesen Leitungen zu verringern, wurden die
Leitungen zu jeweils zwei SiPM eines Verstärkers in eine zusätzliche Abschirmung
aus Kupferband verpackt, sodass die PT100-Messleitungen außen liegen. Die vier
SiPM wurden mittels optischen Gels [13] an die Rückseite des Szintillators gekoppelt.
6 Genaue Werte werden im Verlauf der Arbeit ermittelt, siehe z.B. Abschnitt 6.1.1
48

6. Simulationen
Um einen zielgerichteten Optimierungsprozess zu ermöglichen, werden neben rein
analytischen Rechnungen auch numerische Simulationen verwendet. Im Speziellen
handelt es sich dabei um elektrische Simulationen des Verstärkers, die mit Hilfe
von Spice 1 durchgeführt werden, um Anhaltspunkte für mögliche Verbesserungen
und ungenutzte Potentiale zu erhalten, bevor die Bestückung der Platinen von
Hand geändert wird. Des Weiteren wird mit dem Programmpaket Geant4 eine
physikalische Simulation der Energiedeposition kosmischer Myonen in einem BGO-
Kristall erstellt.
6.1. Elektronik-Simulationen mit SPICE
Im Rahmen dieser Arbeit werden zwei Elektronik-Simulationen verwendet. Diese
basieren auf der kompletten Liste aller verbauten Elemente, parasitäre Effekte
durch Leiterbahnen oder ähnliches werden vernachlässigt. Ziel der Simulationen ist
einerseits die Begutachtung der entstehenden Pulsform und des Verstärkungsfaktors
A Q = V test /Q test , sowie des zu erwartenden Rauschens Q n , andererseits soll die
Stabilität der Schaltung evaluiert und die Neigung zur Selbst-Oszillation minimiert
werden. In den hier gezeigten Simulation werden die Parameter verwendet, welche in
der vorläufigen Produktionsversion der Verstärker benutzt werden. Diese sind in Tab.
5.2 zu sehen.
6.1.1. Pulsformung
Die erste Simulation verwendet ein Abbild des realen Verstärkers, bei dem die
PIN-Diode durch eine Kapazität und eine Stromquelle ersetzt wird, sodass sich
der Strom durch ein absorbiertes Teilchen nachbilden lässt 2 . Der verwendete schematische
Schaltplan befindet sich im Anhang A.1, wie auch die daraus erzeugte
Netzliste A.1 und die Parameterliste A.2. Das Ergebnis dieser Simulation ist die
Sprungantwort des Verstärkers, wie man sie in Abb. 6.1 sehen kann, aus der sich
Ladungsverstärkung A Q , Dauer bis zum Pulsmaximum T P und Pulslänge 3 ablesen
lassen. Die Pulsform wird weiter verwendet, um nach Abschnitt 2.6.6 das Rauschen
des Verstärkers vorherzusagen. Dazu sind die bekannten Parameter der Bauteile
1 Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis
2 Dieser muss nach der Zeitkonstante von BGO einer Exponentialfunktion folgen.
3 Die Pulslänge wird hier nicht näher definert, sie dient nur der Orientierung, bei welchem Pulsabstand
sog. Pile-Up auftritt
49

6. Simulationen
Abbildung 6.1.: Simulation der Pulsform in NgSpice.
aus den Datenblättern hinterlegt, lediglich der konstante dritte Term in Q n wird
vernachlässigt, da hier keine Informationen bekannt sind. Man erhält also eine untere
Grenze des Rauschens und die dafür nötige Peaking-Time T P , die unabhängig vom
unbekannten konstanten Term ist. Tabelle 6.1 zeigt die Ergebnisse der Auswertung
der Pulsform. Das verwendete Script befindet sich im Anhang A.3.
6.1.2. Schleifenverstärkung
Die Schleifenverstärkung wird für jede Verstärkerstufe einzeln bestimmt, um damit
nach Abschnitt 2.6.4 die Stabilität der Schaltung zu beurteilen. Es wird dabei
jeweils am Ausgang des Operationsverstärkers eine Spule mit einer Induktivität von
Tabelle 6.1.: Ergebnisse der Transientenanalyse in NgSpice
A Q in mV/fC T P in µs F v F i Q n in fC Q n in e U n in mV
7,28 11,1 0,999 0,954 0,162 1012 1,67
50

6.1. Elektronik-Simulationen mit SPICE
1 GH eingefügt, die im Gleichstromfall ein Kurzschluss ist, bei Wechselstrom jedoch
näherungsweise wie eine Unterbrechung der Leitung wirkt. Hinter dieser Spule wird
eine AC-Spannungsquelle angeschlossen, welche durch einen Kondensator von 1 GF
kapazitativ gekoppelt ist. Dieser wirkt im Gleichstromfall wie eine Unterbrechung,
im Wechselstromfall wie ein Kurzschluss. Kondensator und Spule werden benötigt,
damit NgSpice vor der AC-Analyse einen korrekten DC-Arbeitspunkt bestimmen
kann, von dem aus die AC-Analyse als lineare Kleinsignal-Näherung startet. Durch
dieses Verfahren wird die Rückkopplungsschleife hinter dem Operationsverstärker
für die AC-Analyse aufgetrennt, sodass man den komplexen Verstärkungsfaktor
G 0 (iω) = A (iω) exp (iφ (iω)) messen kann, mit dem ein Signal vom Eingang des
Rückkopplungsnetzwerks über den Operationsverstärker bis zu dessen Ausgang
übertragen wird. Der Wert der Schleifenverstärkung darf für keine Frequenz (−1 + 0i)
erreichen, da sonst eine Polstelle in der Übertragungsfunktion des geschlossenen
Regelkreises entsteht, siehe Abschnitt 2.6.4. Ein negativer Realteil von G 0 bedeutet
darüber hinaus, dass bei geschlossenem Regelkreis eine Mitkopplung herrscht, bei
der die Spannungsdifferenz zwischen den Eingängen des OPV verstärkt wird, statt
kompensiert zu werden. Dies erzeugt potentiell 4 Schwingungen im Ausgangssignal,
die bei einem Realteil von unter -1 nicht mehr abklingen.
Vorverstärker
Abbildung 6.2.: Schematischer Schaltplan zur Simulation der Schleifenverstärkung
des Vorverstärkers. Die Induktivität L block öffnet im Wechselstromfall
die Rückkopplungsschleife des Operationsverstärkers.
4 Weitere Komponenten können das Verhalten noch beeinflussen. Hier wird dieser ohne Widerstand
mit dem Referenzpotential verbunden.
51

6. Simulationen
Units
vp(op1out)*360/(2*pi)
vdb(op1out)
200.0
150.0
100.0
50.0
0.0
-50.0
Gain
Margin
-100.0
-150.0
-180
Phase Margin
fzc
-200.0
10^-3 0.01 0.1 1 10 100 10^3 10^4 10^5 10^6 10^7 10^8 10^9 10^10 10^11 10^12
frequency
Hz
Abbildung 6.3.: Bode-Diagramm der Simulation der Schleifenverstärkung des Vorverstärkers.
Die gestrichelte Linie ist der Absolutbetrag, die gepunktete
ist die Phasendrehung. Die Phasenreserve ist hier der minimale Abstand
der gepunkteten Kurve von von 180 ◦ in dem Bereich, wo die
gestrichelte Kurve über der Nulllinie ist.
Für die Simulation der Schleifenverstärkung der Vorverstärkerstufe wird der in
Abb. 6.2 gezeigte schematische Schaltplan genutzt. Die daraus erzeugte Netzliste
befindet sich im Anhang, Abschnitt A.4. Eine AC-Anlyse 5 wird mit dem Befehl
. ac dec 100 1e−3 1 e9
durchgeführt und das Ergbnis wird mit
. p l o t vdb ( op1out ) vp ( op1out )∗360/(2∗ pi )
geplottet, wobei der erste Parameter die doppelt-logarithmische Darstellung des
Absolutbetrags der Schleifenverstärkung und der zweite die Darstellung der Phasen-
5 Pro Dekade werden 100 Datenpunkte aufgezeichnet, die Startfrequenz ist 1 mHz und die Endf
Frequenz 1 GHz. Die Punkte sind äquidistant in log verteilt.
10 Hz
52

6.2. Geant4-Simulation
drehung der Schleifenverstärkung mit logarithmischer Frequenzskala und der Phase
in Grad erzeugt, siehe Abb. 6.3. Der Betrag beginnt für niedrige Frequenzen bei etwa
120 dB, was in etwa der Leerlaufverstärkung des OPV entspricht. Mit zunehmender
Frequenz sinkt die Verstärkung und durchtritt 0 dB bei rund 500 MHz. Diese Frequenz
wird als Durchtrittsfrequenz bezeichnet. Die Phasendrehung beträgt bei dieser
Frequenz etwa −90 ◦ , sodass hier eine Phasenreserve von ebenfalls 90 ◦ vorhanden
ist, bis aus der Rückkopplung eine Mitkopplung wird. Bei 180 ◦ Phasendrehung ist
die Verstärkung bereits auf etwa −170 dB zurück gegangen, sodass die Amplitude
um maximal 170 dB erhöht werden darf, bis eine Mitkopplung erreicht wird. Dies
ist die Amplitudenreserve. Der Phasengang sinkt allerdings lokal bei rund 100 Hz
auf 117,5 ◦ , sodass hier nur eine Phasenreserve von 62,5 ◦ bleibt. Es wird empfohlen,
eine Phasenreserve von mindestens 45 ◦ einzuhalten, da sich der Schaltkreis sonst
bereits zu Schwingungen anregen lässt, selbst wenn dies nicht zu einer andauernden
Selbstoszillation führen sollte. Diese Bedingung wird problemlos erfüllt.
Erste Stufe des Pulsformers
Die erste Stufe des Pulsformers, die für die Addition der beiden Vorverstärkersignale,
die Differenzierung, die Pole-Zero-Kompensation und die erste Integration genutzt
wird, wird in gleicher Weise wie der Vorverstärker untersucht. Wie man in Abb. 6.4
sehen kann, liegt hier eine ähnliche Situation vor, sodass sich eine Amplitudenreserve
von 134 dB und eine Phasenreserve von 47,1 ◦ ergibt.
Zweite Stufe des Pulsformers
Die zweite Stufe des Pulsformers beeinhaltet nur einen Integrierer. Das Bode-
Diagramm der Schleifenverstärkung dieser Stufe sieht man in Abb. 6.5. Amplitudenund
Phasenrand betragen 133 dB bzw. 82,7 ◦ .
Dritte Stufe des Pulsformers
Die dritte Stufe enthält einen Integrierer mit der gleichen Zeitkonstante wie die
zweite Stufe, allerdings ist der Betrag der Verstärkung des Rückkopplungsnetzwerks
hier kleiner und der verwendete OPV besitzt eine geringere Leerlaufverstärkung.
Das Ergebnis der Simulation sieht man in Abb. 6.6. Die Phasenreserve beträgt hier
86,9 ◦ , während die Amplitudenreserve aus der Simulation bis 1 × 10 12 Hz nicht zu
bestimmen und damit größer als 180 dB ist.
6.2. Geant4-Simulation
Für die Kalibration eines Detektors mit kosmischen Myonen benötigt man Informationen
über die Energie, die die Myonen in dem Detektormaterial deponieren. Der
53

6. Simulationen
Units
vp(op1out)*360/(2*pi)
vdb(op1out)
200.0
150.0
100.0
50.0
0.0
-50.0
-100.0
-150.0
-200.0
10^-3 0.01 0.1 1 10 100 10^3 10^4 10^5 10^6 10^7 10^8 10^9 10^10 10^11 10^12
frequency
Hz
Abbildung 6.4.: Bode-Diagramm der Schleifenverstärkung der ersten Pulsformerstufe.
Energieverlust lässt sich näherungsweise über analystische Rechnungen bestimmen.
Sobald die Geometrie des Detektors jedoch komplizierter wird, lässt sich die Energiedeposistion
praktisch nur noch mit numerischen Methoden ermitteln. Dazu wird in
dieser Arbeit das Programmpaket Geant4 verwendet, das am CERN entwickelt
wird.
6.2.1. Geometrie
Obwohl alle 16 BGO-Kristalle unterschiedlich geformt sind, werden hier nur zwei
verschiedene Geometrien simuliert, wovon eine dem vorderen Teil eines L3-Kristalls
entspricht und die andere dem hinteren. Über und unter dem Kristall wird dabei
eine Kachel aus Plastikszintillator eingefügt, die dem Myon-Teleskop aus Abschnitt
3.6 entspricht. Zwischen dem Kristall und der unteren Szintillatorkachel wird ein
Bleiblock modelliert, der verhindert, dass niederenergetische Myonen die untere
Kachel erreichen. Die Simulation stammt von K. Laihem und wurde von A. Herten
54

6.2. Geant4-Simulation
Units
vp(op1out)*360/(2*pi)
vdb(op1out)
200.0
150.0
100.0
50.0
0.0
-50.0
-100.0
-150.0
-200.0
10^-3 0.01 0.1 1 10 100 10^3 10^4 10^5 10^6 10^7 10^8 10^9 10^10 10^11 10^12
frequency
Hz
Abbildung 6.5.: Bode-Diagramm der Schleifenverstärkung der zweiten
Pulsformerstufe.
und T. Krings für einen Praktikumsversuch abgewandelt. Die gleiche Simulation wird
hier mit einer angepassten Geometrie verwendet. Die tatsächliche Form der Kristalle
besteht aus einem Körper, der zwischen zwei unterschiedlich großen, parallelen
Trapezoiden aufgepannt wird, wobei deren Basis ebenfalls parallel ist, siehe Abb. A.2.
Da die Mehrzahl der Kristalle im Kalorimeter so eingebaut ist, dass die Basen der
Trapezoide horizontal liegen, wird als Modell für die Simulation Pyramidenstumpf
gewählt, wodurch aus den Trapezoiden Quadrate werden. Die schiefen Seiten werden
dabei vernachlässigt, da die meisten Myonen den Kristall vertikal durchtreten werden.
Im realen Kalorimeter wird es durch die schiefen Seiten mehr Einträge bei niedrigen
Energiedepositionen geben, wenn Moynen durch die Seiten ein- oder austreten und
dabei eine kürzere Strecke innerhalb des Kristalls zurücklegen, als dies bei Ein- und
Austritt durch die obere und untere Fläche der Fall wäre. Diese Ungenauigkeiten des
Modells müssen später in Form eines systematischen Fehlers berücksichtigt werden.
55

6. Simulationen
Units
vp(op1out)*360/(2*pi)
vdb(op1out)
100.0
50.0
0.0
-50.0
-100.0
-150.0
-200.0
-250.0
-300.0
10^-3 0.01 0.1 1 10 100 10^3 10^4 10^5 10^6 10^7 10^8 10^9 10^1010^1110^1210^1310^14
frequency
Hz
Abbildung 6.6.: Bode-Diagramm der Schleifenverstärkung der dritten
Pulsformerstufe.
6.2.2. Myonspektrum
Die Energie der Myonen ist gleichverteilt in x, sodass
E (x) = x −3,7 für 105 · 10 6 ≤ x ≤ 10 15 . (6.1)
Es werden mit gleicher Wahrscheinlichkeit Myonen und Antimyonen simuliert. Die
Winkel der simulierten Myonen sind gleichverteilt in cos 2 θ und φ und ihre Ausgangspunkte
sind gleichverteilt auf einer quadratischen Fläche von 5,25 cm mal 5,25 cm
in einer Entfernung von 20 cm oberhalb des Nullpunkts und damit direkt über der
oberen Szintillatorkachel.
6.2.3. Datenaufzeichnung
Alle Spuren, die sowohl Energie in beiden Szintillatorkacheln als auch im BGO-
Kristall deponieren, werden ausgewertet, wobei folgende Größen in eine ASCII-Datei
56

6.2. Geant4-Simulation
Abbildung 6.7.: Geometrie der Geant4 Simulation. Oben befindet sich die erste
Plastikszintillatorkachel, darunter liegt der BGO-Kristall, unter diesem
befinden sich Bleiplatten und die untere Plastikszintillatorkachel.
geschrieben werden:
• Die eindeutige Ereignisnummer,
• die im Kristall deponierte Energie,
• die im Kristall zurückgelegte Strecke,
• die jeweils in den Kacheln deponierte Energie,
• die Teilchenart und
• die Winkel θ und φ, unter denen das Myon produziert wurde.
6.2.4. Auswertung
Zur Auswertung wird die ASCII-Liste der aufgezeichneten Spuren in ROOT eingelesen.
Um die Energiedeposition der Myonen zu bestimmen, wird an die Verteilung
der deponierten Energie E dep eine Faltung aus Exponential- und Normalverteilung
angepasst, die sich als
F (x) = A λ 2 exp ( λ
2
mit erfc (x) = √ 2 ∫ ∞
π
x
(
2µ + λσ 2 − 2x) ) (
µ + λσ 2 )
− x
· erfc √
2σ
(6.2)
(
exp −t 2) dt (6.3)
parametrisieren lässt. Das Ergebnis dieser Anpassung sieht man in Abb 7.7. Simulation
und Anpassung werden für verschiedene Maße des Kristalls durchgeführt, sodass
jeweils ein Datensatz für die kleinsten Maße, einer für die größten und ein dritter
für den Mittelwert vorhanden ist. Dies wird sowohl für die schmaleren Kristalle
(vordere Hälfte, im Kalorimeter außen) als auch für die breiteren Kristalle (hintere
Hälfte, im Kalorimeter innen) durchgeführt. Die Maße werden dafür aus Tab. A.3
entnommen und auf 0,5 mm gerundet. Das die Parameter der Modellanpassung sind
in Tab. 6.2 aufgeführt. Da sich der wahrscheinlichste Wert M nicht analytisch aus den
ermittelten Parametern ermitteln lässt, wird zusätzlich mittels Root die Energie
des Maximums der angepassten Funktion ausgelesen. Daher lässt sich für M auch
kein statistischer Fehler auf analytischem Weg aus den Parametern berechnen.
57

6. Simulationen
Entries
Kinetic Muon Energy
600
hEkinMC
Entries 12938
Mean 22.33
Entries RMS 12938 8.712
2 χ / ndf
34.6 / 41
Mean
constant 3864
22.33
± 40.8
mu 25.05 ± 0.06
sigma 2.132 ± 0.049
RMS 8.712
lambda 0.5707 ± 0.0197
500
400
300
200
100
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40
in MeV
E kin
Abbildung 6.8.: MC-Verteilung der deponierten Energie kosmischer Myonen im BGO-
Kristall.
Statistischer Fehler des wahrscheinlichsten Wertes der Energiedeposition
In Ermangelung eines analytischen Ausdrucks für den wahrscheinlichsten Wert
der Funktion F (x) in 6.3 wird statt der üblichen analytischen Fehlerfortpflanzung
nach Gauß eine numerische Methode eingesetzt. Es wird angenommen, dass bei
Wiederholung der Simulation die resultierenden Parameter A, µ, σ und λ je einer
Normalverteilung folgen, bei der Mittelwert und Breite durch die Ergebnisse der oben
gezeigten Simulation gegeben sind. Nun werden 10000 Tupel dieser Parameter mit der
genannten Verteilung per Zufallsgenerator erzeugt und numerisch der wert bestimmt,
der die resultierende Funktion maximiert. Aus dem Histogramm dieser 10000 Werte
lässt sich nun der statistische Fehler auf den wahrscheinlichsten Wert ablesen, siehe
6.9. Dieses Verfahren wird nun auf jeden MC-Datensatz für die verschiedenen Maße
des BGO-Kristalls angewandt, um jeweils dessen statistischen Fehler zur bestimmen.
58

6.2. Geant4-Simulation
Entries
Random Distribution of Function Maximum hMax
Entries 10000
900
Mean 21.99
RMS 0.1061
800
χ
2
/ ndf
35.71 / 35
Constant 828.4 ± 10.1
700
Mean 21.99 ± 0.00
600
Sigma 0.1055 ± 0.0007
500
400
300
200
100
0
21 21.5 22 22.5 23
E / MeV
Abbildung 6.9.: Statistische Verteilung des wahrscheinlichsten Wertes der Energiedeposition
durch zufallsverteilte Parameter. Die hier verwendeten
Parameter stammen aus Tab. 6.2 in der zweiten Zeile.
6.2.5. Interpretation
Wie man in Tab 6.2 sehen kann, sind die relativen Abweichungen durch die Wahl
der Maße der Kristalle deutlich größer als der relative statistische Fehler auf die
angepassten Parameter. Es ist anzunehmen, dass dies auch auf den wahrscheinlichsten
Wert M zutrifft. Aus der Simulation wird später nur je ein Wert für die Kalibration
der inneren und der äußeren Kalorimeterzellen benötigt. Ein statistischer Fehler
auf diese Größen muss dabei als systematischer Fehler betrachten werden, da beide
Werte nur ein mal bestimmt werden und eine Abweichung sich gleich auf alle weiteren
Messungen auswirken wird. Da der statistische Fehler hier klein ist, wird er vernachlässigt.
Als systematischer Fehler wird die halbe Breite des Intervals zwischen dem
größten und dem kleinsten Wert gewählt. Es folgt daraus für die wahrscheinlichste
Energiedepostion
M innen = 25,76 ± 0,96 sys. MeV und M außen = 23, 12 ± 0, 72 sys. MeV. (6.4)
59

6. Simulationen
Tabelle 6.2.: Ergebnisse der Simulation kosmischer Myonen mit verschiedenen Abmessungen
des Kristalls. Statistische Unsicherheit auf die letzten beiden
Stellen in Klammern. Die oberen drei Zeilen enthalten die kleinsten, die
gemittelten und die größten simulierten Maße für eine hintere Hälfte
eines L3-Kristall, die unteren drei analog dazu die Ergebnisse für eine
vordere Hälfte.
S 1 xS 2 xL in mm 3 µ in MeV σ in MeV λ in 1/MeV M in MeV
25 22 119 20,509(84) 1,836(75) 0,623(36) 21,685(98)
25,5 22 119 20,833(92) 1,9157(74) 0,650(42) 21,99(11)
27 23 119 21,87(94) 2,060(78) 0,583(34) 23,12(11)
29 25,5 114 23,836(91) 2,049(80) 0,544(29) 25,17(10)
29,5 26 117 24,48(10) 2,2812(79) 0,604(39) 25,76(12)
31 27,5 119 25,72(11) 2,294(78) 0,551(34) 27,10(12)
Noch nicht berücksichtig sind Unsicherheiten durch die Ausrichtung der einzelnen
Kristalle.
60

7. Messungen
7.1. Überblick
Die Auslesekette des Kalorimeters besteht aus vier aufeinanderfolgenden Elementen.
Im szintillierenden BGO wird Energie deponiert und zum Teil in Form von Photonen
im sichtbaren Wellenlängenbereich wieder abgeben. Die Zahl dieser Photonen pro
Energieeinheit wird im Folgenden Photonenausbeute P Y 1 genannt. Diese Photonen
breiten sich isotrop im Kristall aus und werden an den Wänden reflektiert. Ein Teil von
ihnen trifft auf die aktive Fläche einer Photodiode, dieser wird als Lichtsammeleffizienz
CE 2 bezeichnet. Dort lösen diese Photon Photoelektronen aus. Das Zahlenverhältnis
der Elektronen pro Photon wird als Quanteneffizienz QE bezeichnet. Am Ende dieser
drei Schritte steht eine bestimmte Ladungsmenge am Eingang des Verstärkers pro
Energieeinheit im Kristall. Dieses Verhältnis wird als Lichtausbeute LY bezeichnet,
wobei
LY = P Y · CE · QE
gilt 3 . Anschließend wird diese Ladungsmenge vom Verstärker in einen Ausgangspuls
mit einer bestimmten Amplitude pro Ladungsmenge umgewandelt. Dieses Verhältnis
wird als Ladungsverstärkung A Q bezeichnet. Das Produkt aller vier Elemente ist die
Kalibrationskonstante
A E = P Y · CE · QE · A Q ,
mit der sich aus der Maximalspannung eines Ausgangspulses die im Kristall deponierte
Energie berechnen lässt. Verknüpft mit den oben genannten Umrechnungsfaktoren
sind Messgrößen des elektronischen Rauschens. Jeder Verstärker produziert mit der
angeschlossenen Diode ein individuelles Rauschen, welches durch Serienstreuung der
Bauteile variiert. Dieses Rauschen wird durch den Vorverstärker und den Pulsformer
verstärkt und in seinen Frequenzbereich eingeschränkt. Messbar ist am Ausgang nur
die Fluktuation σ a des derart verstärkten Signals. Durch leichte Variationen in der
Verstärkung A Q lässt sich daraus noch keine Aussage über die Größe des Rauschens
σ in im Eingang machen. Diese lässt sich erst durch Anwendung des bekannten
Verstärkungsfaktors berechnen. Dieses Rauschen moduliert jedes Lichtsignal der
Diode, sodass die Auflösung einer Kalorimeterzelle eine untere Grenze durch dieses
Rauschen besitzt. Das Rauschen jeder Zelle lässt sich nun in Einheiten von Energie im
1 photon yield
2 collection efficiency
3 In der Regel bezeichnet LY die Anzahl der Photoelektronen pro absorbierter Energiemenge,und
entspricht somit einer Ladung pro Energie
61

7. Messungen
Szintillator angeben. Zuletzt werden der dynamische Bereich der Kalorimeterzellen
und die optimale Verarmungsspannung der PIN-Dioden bestimmt.
7.2. Photonenausbeute
Die Photonenausbeute eines Szintillators ist die Anzahl der erzeugten Szintillationsphotonen
pro deponierter Energie. Sie variiert sehr stark für unterschiedliche
Materialien. BGO weist eine eher geringe Photonenausbeute auf, die etwa von [33] mit
8000 γ/MeV bis 10 000 γ/MeV angegeben wird. Die wahrscheinlichste Wellenlänge
dieser Photonen ist 480 nm [33]. Zum Vergleich: Thallium-dotiertes Cäsiumiodid
erreicht eine Photonenausbeute von 54 000 γ/MeV bei einer ähnlichen Wellenlänge
von 550 nm [34]. Die Photonenausbeute ist eine unveränderliche Materialkonstante,
zumindest im Rahmen dieser Arbeit. Sie kann mit den zur Verfügung stehenden
Mitteln nicht unabhängig gemessen werden. Eine höhere Photonenausbeute wäre
wünschenswert, da sie die Schwelle zur Detektion von Teilchen herabsenken und
den Beitrag des elektronischen Rauschens zur Gesamtauflösung herabsetzen würde.
Bei höheren Energien würde sie ebenfalls zu geringeren statistischen Fluktuationen
führen, siehe Abschnitt 2.4.3.
7.3. Messung mit einem elektrischen Testsignal
Die Ladungsverstärkung gibt an, wie hoch das Spannungsmaximum eines Ausgangspulses
bei einer gegebenen Eingangsladung ist. Sie lässt sich über zwei verschiedene
Methoden testen. Die erste Methode nutzt einen zusätzlichen Testeingang des
Verstärkers. Hier wird über einen kleinen Kondensator ein definierter Spannungssprung
auf den Verstärkereingang gegeben. Nach
Q test = C test · U test
wird die applizierte Ladung berechnet und anschließend die Ladungsverstärkung
A Q = U aus
Q test
bestimmt. Die Messung von U aus ist leicht möglich, allerdings lässt sich die Testkapazität
C test nur schwer messen 4 , weshalb diese Messung starken systematischen Fehlern
unterliegt. Nutzt man einen steckbaren Testeigang, der sich der Reihe nach mit allen
Verstärkern einsetzen lässt, eignet sie sich dennoch gut, um ohne Strahlungsquellen
die Verstärkungsfaktoren der Platinen untereinander zu vergleichen und einen schnellen
Funktionstest unabhängig von den Dioden zu erhalten. Diese Messung wird nicht
4 Die Skaleneinteilung des verwendeten Messgeräts ist 1 pF, die verwendeten Kondensatoren haben
nominell je 1 pF.
62

7.4. Messung mit einer 241 Am-Quelle
systematisch durchgeführt, allersings existieren für einzelne Platinen Messungen. Es
werden keine Daten digital aufgezeichnet, sondern nur Messungen am Oszilloskop
notiert. Die Testplatine ist auf Abb. 7.1 zu sehen.
Abbildung 7.1.: Testplatine an PIN-Dioden-Verstärker.
7.4. Messung mit einer 241 Am-Quelle
7.4.1. Ableitbare Größen
Ladungsverstärkung
Die zweite zur Messung der Ladungsverstärkung Methode besteht darin, mittels einer
241 Am-Quelle Röntgenquanten von 59,5 keV in direkt in die Verarmungszone der
Diode zu bringen. Die werden zum Großteil per Photoeffekt absorbiert und deponieren
dabei ihre gesamte Energie im Halbleitermaterial. Mit Hilfe der Ionisationsenergie
von 3,6 eV lässt sich daraus bequem die applizierte Ladung errechnen. Damit wird
nun analog zu ersten Methode verfahren.
Rauschen der Verstärker
Das Rauschen der Eingänge Q 2 n 5 wird in Einheiten der Ladung auf den Dioden eines
Verstärkers angegeben. Bei bekannter Ladungsverstärkung A Q kann es leicht aus
der Fluktuation eines Verstärkerausgangs berechnet werden. Es bietet sich an, dies
während der Messung mit 241 Am zu tun, da hier bereits das Pedestal gemessen
werden muss. Aus der Breite des Pedestals σ a und der Ladungsverstärkung erhält
man
Q n = σ a
A Q
.
5 engl. equivalent noise charge, Ladungsäquivalent des Rauschens
63

7. Messungen
7.4.2. Aufbau
Diode und Verstärker werden in einer Testbox befestigt, in der eine stabförmige
Americiumquelle auf die Diode gerichtet ist, siehe Abb. 7.2. Das Ausgangssignal wird
unverändert auf einen FADC gegeben.
Abbildung 7.2.: Bilder der Testbox von oben mit Verstärkerplatine (links), von der
Seite mit Americiumstrahler (mitte) und von unten mit PIN-Diode
(rechts).
7.4.3. Messung
Nun werden 50000 Trigger bei einer Schwelle 6 von etwa 8 mV aufgezeichnet. Danach
werden 1000 weitere zufällige Pulse als Pedestal aufgezeichnet. Dazu wird jeweils
per Software die Aufzeichung gestartet, sodass es keinen Zusammenhang zwischen
Signalform oder -höhe und dem Trigger gibt. Dies wird für jeden Verstärker wiederholt,
wobei immer die gleiche Diode verwendet wird. Bereits während der Messung wird
in jedem Puls nach dem Maximum gesucht. Dieses wird für jedes Ereignis in einer
Textdatei gespeichtert. Um die Rohdaten zu glätten, wird ein Mittelwertfilter mit
einer Fensterbreite von 200 Samples a 4 ns benutzt, siehe Abschnitt 4.3.2.
7.4.4. Ergebnis
Zur Auswertung der gemessenen Spektren werden mittels Root zunächst Mittelwert
und Standardabweichung sowie deren statistische Fehler aus je einem Histogramm der
Samples eines Pedestaldatensatzes entnommen, siehe 7.3. Anschließend wird an das
Spektrum jedes Verstärkers mit 241 Am-Quelle die Summe zweier Normalverteilungen
6 Da die Signale negative Polarität haben, wird beim Unterschreiten der Schwelle ein Trigger
ausgelöst.
64

7.4. Messung mit einer 241 Am-Quelle
angepasst, siehe 7.4.
Hieraus werden wird jeweils die Lage des Signalmaximums
Entries
3000
2500
2000
3
×10
Pedestal Data
Entries
hPedestal
1.6384e+07
Mean 18
RMS 2.079
χ
2
/ ndf
1.067e+05 / 25
Constant 3.127e+06 ± 9.665e+02
Mean 18.02 ± 0.00
Sigma 2.028 ± 0.000
1500
1000
500
0
0 5 10 15 20 25 30
Voltage / mV
Abbildung 7.3.: Anpassung einer Normalverteilung an die Samples eines
Pedestaldatensatzes.
sowie dessen statistischer Fehler entnommen. 241 Am liefert bei jedem Zerfall mit
einer Wahrscheinlichkeit von rund 35,9 % ein Röntgenquant mit einer Energie E γ
von 59,5412(1) keV [30]. Dieses deponiert bei Absorption in der Verarmungszone
der PIN-Diode durch den hohen relativen Wirkungsquerschnitt für den Photoeffekt
mit hoher Wahrscheinlichkeit dort seine komplette Energie. Bei 300 K beträgt die
mittlere Energie pro Elektron-Loch-Paar in Silizium ɛ 3,62 eV. Damit wird nun mit
der Elementarladung e nach
A Q = U pedestal − U signal
E γ
ɛ e (7.1)
der Kalibrationsfaktor A Q bestimmt. Dessen relativer statistischer Fehler ist dominiert
durch den statistischen Fehler der Messung des Signalmaximums, da dieses mit
deutlich weniger Statistik aufgezeichnet ist. Zuletzt wird aus der Breite des Pedestals
σ a und dem Kalibrationsfaktor A Q nach
Q n = σ a
A Q
(7.2)
die Ladung Q n bestimmt, die zu einem Signal-zu-Rausch-Verhältnis von 1 führt.
Auch hier ist der relative statistische Fehler gegeben durch den relativen statistischen
65

7. Messungen
Tabelle 7.1.: Ergebnisse der Messung mit einer 241 Am-Probe, die auf eine PIN-
Diode gerichtet wird. Als Fehler sind hier die statistischen Fehler aus
der Anpassung in Root angegeben, die auf die abgeleiteten Größen
fortgepflanzt werden.
NR
U ped
mV
U sig
mV
A Q
mV/fC
p01 18,219 17(51) 3,389(15) 5,6281(57) 2,059 67(36) 0,365 96(37)
p02 18,221 54(52) 2,944(12) 5,7977(46) 2,120 31(37) 0,365 71(29)
p03 17,445 35(55) 1,866(15) 5,9122(58) 2,211 69(39) 0,374 08(37)
p04 18,172 31(49) 3,547(18) 5,5504(68) 1,993 82(35) 0,359 22(44)
p05 17,431 20(55) 2,480(19) 5,6739(74) 2,206 38(39) 0,388 86(51)
p06 17,512 14(52) 2,732(14) 5,6092(53) 2,092 39(37) 0,373 02(36)
p07 17,372 41(52) 2,601(14) 5,6057(54) 2,087 14(36) 0,372 32(36)
p08 17,492 13(52) 2,214(15) 5,7982(58) 2,115 83(37) 0,364 91(37)
p09 18,215 95(52) 3,268(13) 5,6729(52) 2,124 12(37) 0,374 43(34)
p11 19,119 62(51) 4,226(25) 5,6522(96) 2,075 89(36) 0,367 27(63)
p12 17,522 78(54) 2,432(18) 5,7270(70) 2,204 63(39) 0,384 95(47)
p15 19,051 92(53) 3,560(26) 5,8790(99) 2,131 19(37) 0,362 51(61)
p17 18,941 04(51) 3,921(25) 5,7001(97) 2,049 17(36) 0,359 49(61)
p0d 19,405 72(51) 4,109(34) 5,805(13) 2,058 16(36) 0,354 54(81)
p0e 19,492 67(54) 3,828(28) 5,944(10) 2,179 61(38) 0,366 64(66)
p12b 19,074 91(47) 4,203(30) 5,643(11) 1,911 64(33) 0,338 71(69)
p13 19,255 62(51) 3,786(29) 5,870(11) 2,050 13(36) 0,349 20(67)
σ a
mV
Q n
fC
66

7.4. Messung mit einer 241 Am-Quelle
Am241 Data
Entries
5000
4000
3000
2000
hSource
Entries 100000
Mean 4.18
RMS 2.598
χ 2
/ ndf
395.9 / 70
p0 4778 ±
22.3
p1 3.389 ±
0.015
p2 2.018 ±
0.011
p3
1.758e+04 ±
7.372e+03
p4 11.87 ±
0.80
p5 2.06 ±
0.19
1000
0
-15 -10 -5 0 5 10 15
Voltage / mV
Abbildung 7.4.: Anpassung der Summe zweier Normalverteilungen an das Spektrum
einer Messung mit 241 Am direkt auf einer PIN-Diode.
Fehler auf A Q . Sämtliche Ergebnisse sieht man in Tabelle 7.1. Die Verteilung der
Kalibrationsfaktoren A Q und der Ladung Q n sieht man in Abb. 7.5. Der Mittelwert
von Q n entspricht dabei einer Ladung von etwa 2300 Elektronen in der PIN-Diode.
Dies liegt etwa einen Faktor 1,7 über dem in Tabelle 6.1 angebenen Wert aus der
NgSpice-Transientenanlyse, wenn man berücksichtigt, dass der dortige Wert nur für
eine Diode gilt, während wird hier immer die Summe zweier Dioden messen, wobei
sich deren zufälliges Rauschen quadratisch addiert.
7.4.5. Zur Messunsicherheit
Im vorangegangenen Abschnitt werden nur die statischen Fehler unter Annahme
sehr einfacher Modelle verwendet. Bei genauer Betrachtung der Spektren mit 241 Am
sieht man, dass das Signal nur näherungsweise einer Normalverteilung folgt. Wertet
man eine Messung Abschnittsweise mit je 1 × 10 4 aufeinanderfolgenden Messpunkten
aus, erhält man 5 Werte für U signal , die deutlich stärker voneinander abweichen,
als man es nach den statistischen Fehlern in Tab. 7.1 erwarten würde, siehe Tab.
7.2. Man sieht hier, dass die Position des Signalmaximums zeitlich nicht stabil ist,
67

7. Messungen
Entries
7
Distribution of Calibration Factor
hCal
Entries 17
Entries
7
Distribution of Equivalent Noise Charge
hEnc
Entries 17
6
Mean 5.649
RMS 0.1165
6
Mean 0.3745
RMS 0.01223
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6 6.1 6.2 6.3
A Q
/ (mV/fC)
0
0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4
Q n
/fC
Abbildung 7.5.: Verteilung der Parameter A Q und Q N der einzelnen Verstärkerplatinen.
Gemessen wird jeweils mit der gleichen PIN-Diode.
Tabelle 7.2.: Ergebnis der Modellanpassung aus 7.4 für 5 aufeinanderfolgende Unterabschnitte
einer Messung.
Bereich bis x 10000 1 2 3 4 5
U signal
mV
3,394(49) 3,299(48) 3,340(54) 3,428(48) 3,536(45)
sondern von ihrem Anfangswert aus in beide Richtungen schwankt. Vom mittleren
Wert aus weichen der minimale und der maximale Wert etwa 6,9 % ab, sodass eine
Messung der Parameter A Q und Q n anschaulich nicht besser sein kann als diese
relative Unsicherheit in der Position des Signalmaximums. Zusätzlich ergibt sich ein
relativer systematischer Fehler durch die Verwendung der Literaturwerte E γ und ɛ,
wobei letzterer bei etwa 0,01/3,62 liegen sollte 7 .
7.4.6. Deutung
Alle Verstärker scheinen eine hinreichend ähnliche Verstärkung und ein ähnliches
elektronisches Rauschen zu haben, um gemeinsam in einem Kalorimeter eingesetzt
7 Eine Angabe der Messunsicherheit auf diese Größe fehlt in der verwendeten Literatur
68

7.5. Messung mit kosmischen Myonen
werden zu können. Der genaue Zahlenwert der Ladungsverstärkung ist im späteren
Betrieb unwichtig, da jede Zelle später in Einheiten von Spannung pro Energie
kalibriert wird. Diese Messung dient als Qualitätskontrolle der gebauten Verstärker
und kann eingesetzt werden, um nach Messungen mit anderen Quellen die Lichtausbeute
zu bestimmen. Die Varianz der Parameter innerhalb der Stichprobe von 17
Verstärkern ist dabei geringer als die abgeschätzten statistischen Fehler, sodass man
die Verstärker im Rahmen der Messungenauigkeit als gleich betrachten kann.
7.5. Messung mit kosmischen Myonen
7.5.1. Messaufbau
Zur Messung der Reaktion wird ein QDC benutzt, der mit einem verzögerten Signal
des Myonenteleskops getriggert wird. Dessen PMT-Signale werden mittels eines LED
diskriminiert und in einer Koinzidenzschaltung logisch verknüpft. Das Logiksignal
wird nun durch zwei Stufen des Torgenerators um 10 µs verzögert und auf 500 ns
gedehnt. Dieses Torsignal wird für den QDC verwendet. Die Analogsignale der
einzelnen Kalorimeterzellen werden jeweils um 20 dB abgeschwächt und mit den
QDC-Eingängen verbunden. Es wird also immer genau 10 µs, nachdem ein Myon
den Bereich des Kalorimeter durchflogen hat, eine 500 ns lange QDC-Messung von
10 Zellen vorgenommen. Die Datennahme läuft dabei typischerweise über etwa drei
Tage. Der Detektor steht dabei in einem Kühlcontainer bei 20 ◦ C, sodass durch die
begrenzte Zahl der Kabeldurchführungen nur 10 Zellen parallel vermessen werden
können. Daher wird erst die rechte Seite des Kalorimeters vermessen, dann die Mitte
und zuletzt die linke Seite. Dabei werden die Kanäle in der Mitte bei jeweils zwei
Messungen überlappend aufgezeichnet.
7.5.2. Messergebnis
Tabelle A.1 zeigt die Ergebnisse der Messungen M1-M3 bei denen jeweils 7-9 Zellen
in der Mitte (M1), rechts (M2) und links (M3) von hinten betrachtet im Kalorimeter
gemessen werden. Einige Zellen sind dabei mehrfach vermessen. Für jede Zelle wird
ein Histogramm des Pulsmaximums angelegt, siehe Abb. 7.6 und ein Histogramm mit
zufälligen Pedestal-Messungen. Aus den Pedestal-Messungen werden der Mittelwert
und die Standardabweichung sowie deren statistische Fehler extrahiert. An das
Spektrum mit Myon-Trigger wird analog zu Abschnitt 6.2 die Funktion 6.3 angepasst,
siehe Abb. 7.7, und deren wahrscheinlichster Wert und Mittelwert sowie deren
statistische Fehler berechnet. Abb. 7.8 zeigt die wahrscheinlichsten Werte des Signals
bei Trigger auf kosmische Myonen nach Abzug des Pedestals für alle Messungen der
16 Kalorimeterzellen.
69

7. Messungen
entries
Cosmic Muon Spectrum
2500
2000
htemp
Entries 13412
Mean 1110
RMS 674.1
1500
1000
500
0
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
QDC channel
Abbildung 7.6.: Histogramm einer Kalorimeterzelle bei Trigger auf kosmische Myonen.
Das linke Maximum entsteht durch Trigger, bei denen die Zelle nicht
getroffen wurde. Klar separiert davon ist rechts das Spektrum der
Myonen.
70

7.5. Messung mit kosmischen Myonen
Cosmic Muon Spectrum
entries
250
200
150
h2
Entries 13412
Mean 1884
RMS 374.6
χ 2
/ ndf
26.8 / 27
constant
1.393e+05 ±
2.494e+03
mu 1746 ±
5.2
sigma 101
±
6.9
lambda 0.003696 ±
0.000123
100
50
0
1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 2800
QDC channel
Abbildung 7.7.: Anpassung einer Faltung aus Exponential- und Normalverteilung
an einen Ausschnitt des Histogramms aus Abb. 7.6. Der Ausschnitt
wird automatisch über 2000 QDC-Kanäle ab der dreifachen Standardabweichung
oberhalb des Pedestals gewählt. Die Funktion wird
ab 250 Bins unterhalb des Maximums dieses Ausschnitts angepasst.
7.5.3. Kalibrationskonstante A E
Die Kalibrationskonstante A E wird vor allem für die spätere Analyse der Messdaten
bei Messungen mit Target in einem Teilchenstrahl benötigt. Mit ihr kann nach Abzug
des Pedestals aus den Rohdaten die deponierte Energie berechnet werden. Im Labor
wird sie benötigt, um den dynamischen Bereich auf die im Experiment erwarteten
Energien anzupassen und um einige andere abgeleitete Größen bestimmen zu können,
wie etwa die Lichtausbeute. Da im Experiment ein QDC verwendet wird, berechnen
wir A E in Einheiten von QDC-Kanälen pro Energie in MeV. Für eine absolute
Kalibration eines Detektors benötigt man ein Referenzsignal bekannter Energie, dem
ein bestimmtes elektrisches Signal zugeordnet werden kann. Hier wird als Referenz
die deponierte Energie kosmischer Myonen verwendet. Diese Energie hängt vor
allem von der Flugstrecke der Myonen innerhalb des Kristalls ab, unterliegt aber
auch bei konstanten Flugstrecke statistischen Fluktuationen. Im Gegensatz zu einer
Kalibration mit radioaktiven Präparaten, deren Emissionsspektrum nahezu diskrete
71

7. Messungen
mode - pedestal in qdc #
1600
1400
1200
1000
800
Mode of Signal vs Calorimeter Cell
0 2 4 6 8 10 12 14 16
cell no
Abbildung 7.8.: Pedestal-bereinigte Werte für das wahrscheinlichste Signal der 16
Kalorimeterzellen.
72

7.5. Messung mit kosmischen Myonen
entries
7
6
Calibration Factor Distribution
hCal
Entries 16
Mean 52.13
RMS 7.587
5
4
3
2
1
0
30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 qdc #
80
A E /
MeV
Abbildung 7.9.: Verteilung des Kalibrationsfaktors A E der 16 Kalorimeterzellen.
Linien besitzt, wird es also auch im Grenzfall eines idealen Detektors ohne weitere
Linienverbreiterung immer ein mehr oder weniger breites Spektrum geben. Daher
müssen innerhalb dieses Spektrums gewisse Punkte festgelegt werden, die sowohl
im gemessenen als auch im als Referenz genutzten Spektrum ausreichend genau
bestimmt werden können. Das Referenzspektrum stammt hier aus einer Monte-Carlo-
Simulation, siehe Abschnitt 6.2. Als solche Punkte kommen hier der wahrscheinlichste
Wert, sprich der Modus, und der Mittelwert in Frage. Durch einen Vergleich mit der
wahrscheinlichsten Energiedeposition E C aus der Simulation in Abschnitt 6.2 lässt
sich nun der Kalibrationsfaktor
A E = S C Modus − Pedestal
=
E C E C
bestimmen. Für E C werden die Werte M innen und M außen aus Gl. 6.4 verwendet, je
nachdem, ob es sich bei einer Zelle um eine innere oder äußere Zelle handelt. Tabelle
A.2 zeigt diese Werte für alle Zellen. Die Verteilung von A E sieht man in Abb. 7.9.
7.5.4. Elektronische Auflösung
Das elektronische Rauschen der Kombination von Dioden und Vorverstärker sorgt
für eine Linienverbreiterung im gemessenen Spektrum jeder Kalorimeterzelle. Diese
Breite lässt sich nach
σ el = σ a
A E
(7.3)
berechnen, wobei σ a hier die Breite des Pedestals in QDC-Kanälen bezeichnet,
wenn A E in QDC-Kanälen pro MeV angegeben ist, sodass man eine Linienbreite
73

7. Messungen
in MeV erhält. Abbildung 7.10 zeigt die Verteilung der Linienbreite σ el der 16
Energy Resolution
entries
5
hRes
Entries 16
Mean 1.31
RMS 0.2102
4
3
2
1
0
0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
σ el
/ MeV
Abbildung 7.10.: Verteilung der Energie-Linienbreite σ el der 16 Kalorimeterzellen.
Kalorimeterzellen. Man kann zwei deutliche Ausreißer erkennen, wovon derjenige mit
der größten Linienbreite zur Zelle direkt unter dem Zentrum des Kalorimeters gehört,
während die geringste Linienbreite zur Zelle links unten im Kalorimeter gehört, wenn
man dieses von hinten betrachtet.
7.5.5. Lichtausbeute
Die Lichtausbeute lässt sich bei bekannter Ladungsverstärkung A Q berechnen, wenn
die Reaktion einer Kalorimeterzelle auf eine bekannte deponierte Energie gemessen
wird. Die Vorschrift dafür ist
LY = k · A E
A Q
, (7.4)
wobei hier der Faktor k eingeführt wird, um A E in mV/MeV umzurechnen, wenn
A Q in mV/fC bekannt ist. Der Faktor k wird bestimmt, indem ein Signal über
einen Fan-Out mit einer bekannten Verschiebung ∆ U versehen wird, sodass man die
Differenz ∆ qdc der Pedestals mit und ohne die Verschiebung messen kann. Es muss
berücksichtigt werden, dass vor dem QDC ein Abschwächer von 20 dB verwendet
wird. Es gilt also
k = 10∆ U
∆ qdc
≈
10 · 9,12 mV
3048,5
≈ 29,92 µV. (7.5)
74

7.5. Messung mit kosmischen Myonen
Die Verschiebung wird mithilfe eines Oszilloskops gemessen, sodass hier ein systematischer
Fehler von etwa 1 % 8 auftritt. Die Zellen können untereinander ohne diesen
Fehler verglichen werden, der absolute Wert zum Vergleich mit anderen Experimenten
oder Aufbauten ist allerdings hierdurch nur begrenzt genau. Die Verteilung der
Light Yield
entries
7
6
htemp
Entries 16
Mean 1723
RMS 250.8
5
4
3
2
1
0
600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600
photoelectrons per MeV
Abbildung 7.11.: Verteilung der Lichtausbeute LY .
Lichtausbeute zeigt Abb. 7.11. Vergleicht man dies mit den Messungen am elektromagnetischen
Kalorimeter von E166 [23], so ist die Lichtausbeute dort um etwa einen
Faktor 4 größer.
7.5.6. Lichtsammeleffizienz CE
Photonenausbeute P Y und Quanteneffizienz QE sind durch beiden Materialen BGO
hier und CsI bei E166 festgelegt, sodass man nun noch die Lichtsammeleffizienz
berechnen und vergleichen kann. Diese erhält man aus
CE =
LY
QE · P Y . (7.6)
Die Photonenausbeute für BGO ist etwa 8 × 10 3 /MeV bis 10 × 10 3 /MeV. Die Quanteneffizienz
erhält man aus der Photosensitivität S aus dem Datenblatt der verwendeten
PIN-Diode [17] näherungsweise nach der Vorschrift [12]
QE = S (λ) · W
A
· 1240 nm
λ
· 100 %. (7.7)
8 Die Auflösung des Oszillokops beträgt bei der gewählten Einstellung etwa 0,06 mV.
75

7. Messungen
Mit einer Photosensitivität von 0,3 A/W für die häufigste Wellenlänge des Emissionsspektrums
von BGO bei 480 nm besitzen die PIN-Dioden in Verbindung mit BGO eine
Quanteneffizienz von etwa 77,5 %. Damit beträgt nach Gl. 7.6 die Lichtsammeleffizienz
CE etwa 21,5 %. Etwa ein Fünftel der im BGO erzeugten Szintillationsphotonen
erreichen also die aktive Fläche der PIN-Diode, von etwa drei Viertel dort ein
Elektron-Loch-Paar erzeugen.
7.5.7. Dynamischer Bereich
Unter dem dynamischen Bereich einer Kalorimeterzelle kann man sowohl die maximal
messbare Energie eines einzelnen Pulses verstehen als auch den maximalen Energiefluss,
bei dem die Zelle noch Pulse liefert die ausreichend linear zur Teilchenenergie
sind.
Maximale Energie eines Einzelereignisses
Die maximal messbare Energie ist vor allem durch den Aussteuerungsbereich der
letzten Verstärkerstufe gegeben. Der dort verwendete Operationsverstärker kann
die Ausgangsspannung zwischen 0 V und 5 V aussteuern, der Referenzpunkt wird
mittig auf diesem Intervall bei 2,5 V gewählt. Die Abschlusswiderstände am Verstärkerausgang
und am Messgerät bilden einen Spannungteiler, sodass das Messgerät
maximal 1,25 V Differenz zur Nulllinie messen kann. Auf einem Oszilloskop kann
man beobachten, dass bei sehr großen Pulsen deren Form schon bei knapp 1,1 V von
der Form kleiner Pulse abweicht, sodass dies als maximale Ausgangsspannung für
eine lineare Antwort angenommen wird. Bei bekanntem Verstärkungsfaktor A E kann
man nach
E max = U max
k · A E
≈
1,1 V
29,92 µV · A E
(7.8)
die korrespondierende Energie berechnen. Für den Mittelwert des Kalibrationsfaktors
A E und dessen Varianz über die 16 Zellen (siehe Abb. 7.9) erhält man so eine Maximalenergie
von 0,70(10) GeV. Dies ist für einen Teststrahl mit Protonen von 0,2 GeV
ausreichend, allerdings müssten für einen geplanten Teststrahl mit Kohlenstoffionen
bei 2,3 GeV die Verstärkungsfaktoren ensprechend reduziert werden.
Maximaler mittlerer Energiefluss
Betrachtet man Ereignisse, die deutlich unter der oben berechneten Energie liegen,
so kann man davon ausgehen, dass diese auch dann eine nicht-lineare Antwort des
Verstärkers hervorrufen können, wenn genug von ihnen pro Zeiteinheit eintreffen. Eine
Ursache hierfür ist, dass für jedes Ereignis Ladung auf dem Rückkopplungskondensator
des Vorverstärkers akkumuliert wird, die sich nur langsam kontinuierlich über die
76

7.6. Messung mit einer radioaktiven 228 Th-Probe
parallelen Widerstände entlädt. Die akkumulierte Ladungsmenge ist proportional
zur Ausgangsspannung eines Vorverstärkers, sodass auch die messbare akkumulierte
Ladung durch den Aussteuerungsbereich des Operationsverstärkers begrenzt ist. Es
existiert hier leider beim gegenwärtigen Aufbau keine leichte Möglichkeit, den gesuchten
Energiefluss zu messen, sodass er nur näherungsweise berechnet werden kann. Pro
Zelle existieren zwei Vorverstärker, die jeweils über zwei parallele Widerstände von je
100 MΩ entladen werden. Die Maximalspannung der Operationsverstärkerausgänge
ist −2,5 V relativ zur Nulllinie. Daraus lässt sich nun der maximale Strom einer Zelle
zu
I max = 4U max
R
berechnen. Der maximale Energiefluss ist daher
= 100 nA (7.9)
Ė max = I max · A Q
k · A E
. (7.10)
Oberhalb dieses Werts wird eine weitere Energiedeposition im Kalorimeterkristall
kein messbares elektrisches Signal mehr erzeugen. Mit dem Mittelwert und der
Standardabweichung der Faktoren A E aus Abb. 7.9 und A Q aus Abb. 7.5 lässt sich
der maximale Energiefluss für eine Kalorimeterzelle mit
angeben.
Ė max =
100 nA · 5,65(12) mV/fC
29,92 µV · 52,1(76)/MeV ≈ 3,62(53) × 1014 eV s
7.6. Messung mit einer radioaktiven 228 Th-Probe
(7.11)
Alternativ zur Methode mit kosmischen Myonen können auch radioaktive Quellen
verwendet werden, sofern deren Emissionsspektrum ausreichend gut separierbare
Linien aufweist. Das Thorium-228-Isotop gehört mit einer Gamma-Linie bei E γ =
2,614 MeV zu den stärksten Gamma-Referenzstrahlern, die kommerziell erhältlich
sind. Eine solche wurde für diese Arbeit beschafft. Die relative Häufigkeit des Photoeffekts
bezogen auf die Gesamtheit der Reaktionen beträgt für die betrachte Energie
etwa 20 % [33]. Nach Abschnitt 7.5.4 ist davon auszugehen, dass sich diese Energie
vom elektronischen Rauschen separieren lassen sollte, da zumindest eine Zelle des
Kalorimeters eine Linienbreite von etwa 1 MeV erreicht.
7.6.1. Aufbau
Hier wird eine 228 Th-Probe mit einer Aktivität von etwa 7,4 kBq direkt am vorderen
Ende eines BGO-Kristalls platziert. Mithilfe eines FADC wird nun das Ausgangssignal
des Verstärkers ausgelesen.
77

7. Messungen
7.6.2. Aufzeichnung
Es werden pro Zelle drei Messreihen aufgenommen. Die erste wird durch einen Pulsgenerator
getriggert, sodass hier zufällige Stücke des Ausgangssignals aufgezeichnet
werden. Dies ist die Pedestal-Messung. Die zweite Messung wird ohne radioaktive
Quelle mit einer Diskriminatorschwelle 9 von 6 mV unterhalb der Nulllinie aufgezeichnet.
Dies ist die Untergrundmessung. Die dritte Messung wird mit gleichen
Einstellungen und mit der radioaktiven Quelle aufgeichnet, dies wird als Quellenspektrum
bezeichnet. Bei letzteren beiden Messungen wird für jeden Puls direkt
nach Anwendung eines Mittelwertfilters das Pulsminimum bestimmt und nur dieses
aufgezeichnet. Es wird jeweils so lange gemssen, bis 1 × 10 6 Pulse analysiert und
aufgezeichnet sind. Abb. 7.12 zeigt diese beiden Messungen für eine der Zellen.
minimum
16000
14000
12000
Th228
Background
10000
8000
6000
4000
2000
0
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012
Voltage [mV]
Abbildung 7.12.: Untergrundspektrum (schwarz) und 228 Th-Spektrum (grün) der
Kalorimeterzelle 6. Die Darstellung des Untergrundspektrums wurde
so normiert, dass der höchste Eintrag beider Histogramme gleich
groß ist.
7.6.3. Auswertung
Da durch die hohe Totzeit des Messgeräts kein Rückschluss mehr auf die absoluten
Raten möglich ist, muss das Untergrundspektrum an das Quellenspektrum angepasst
werden und kann nicht einfach subtrahiert werden. Hier wird zuerst an das
9 Es wird jeweils bei Unterschreiten der Schwelle ein Puls aufgezeichnet.
78

7.6. Messung mit einer radioaktiven 228 Th-Probe
Untergrundspektrum eine Normalverteilung F bg angepasst. An das Quellenspektrum
wird anschließend die Summe aus zwei Normalverteilungen F source angepasst, wobei
Mittelwert und Breite des einen Summanden auf die werte von F bg fixiert werden,
da sich die Form des Untergrunds nicht verändert haben sollte und nur dessen relative
Höhe zum hinzugekommenen 228 Th-Spektrum unbekannt ist. Bei erfolgreicher
Anpassung des Modells sollte nun die Position des Referenzsignals als Mittelwert
µ th des zweiten Summanden von F source ablesbar sein. Zuletzt wird ein Histogramm
aller Samples der Pedestalmessung erstellt und hier ebenfalls eine Normalverteilung
F ped angepasst. Alle drei Kurven zeigt Abb. 7.13. Zur weiteren Verwendung werden
minimum
16000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
hSource
Entries 100000
Mean 0.01109
RMS 0.001087
2
χ / ndf
72.95 / 49
Prob 0.01483
p0
9.993e+04 ±
2.239e+03
p1 0.0148
±
0.0000
p2 0.001426 ±
0.000000
p3 4832 ±
547.2
p4 0.0133
±
0.0003
p5 0.002446 ±
0.000076
2000
0
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02
Voltage [mV]
Abbildung 7.13.: Quellen-(grün), Untergrund-(schwarz) und Pedestalspektrum (blau)
der 228 Th-Messung. Die grüne Kurve ist eine Summe aus zwei
Normalverteilungen, wovon der kleinere Summand nochmals in rot
eingezeichnet ist.
nun die mittlere Spannungsdifferenz eines 228 Th-assoziierten Signals zur Nulllinie
und die Breite des Pedestals extrahiert:
F ped (U) = N ped · N (U; µ ped , σ ped ) (7.12)
F bg (U) = N bg · N (U; µ bg , σ bg ) (7.13)
F source (U) = N th · N (U; µ th , σ th ) + N bg ′ · N (U; µ bg , σ bg ) (7.14)
⇒ ∆U th = µ bg − µ th (7.15)
79

7. Messungen
Tabelle 7.3.: Ergebnisse der Auswertung der Messung mit 228 Th an Kalorimeterzelle
6.
Größe Wert(Fehler) Einheit
Pedestal µ ped 18,1940(47) mV
Breite σ ped 1,9107(36) mV
Signal µ th 13,30(30) mV
Signaldifferenz U th 4,89(30) mV
Kalibrationskonstante A ′ E 1,87(12) mV/MeV
El. Auflösung σ el 1,022(62) MeV
Lichtausbeute LY 10 2,07(14) × 10 3 e/MeV
Daraus lässt sich nun der Kalibrationsfaktor A E bestimmen, der die Spannung pro
deponierter Energie in mV/MeV angibt:
A ′ E = U th
E γ
(7.16)
Mit der Breite des Pedestals lässt daraus nun die elektronische Auflösung
σ el = σ ped
A ′ E
(7.17)
berechnen. Analog zur Messung mit kosmischen Myonen lässt sich eine Lichtausbeute
LY bestimmen. Die gesamt Messung liefert nur bei einer einzigen Zelle des Kalorimeters
ein Resultat, bei dem sich die oben beschriebene Auswertung anwenden lässt.
Bei allen anderen schlägt bisher die Kurvenanpassung fehl. Die Ergebnisse dieser
Zelle Nummer 6 sind in Tab. 7.3 zusammengefasst.
7.7. Verarmungsspannung der Dioden
Die Verarmungsspannung der Dioden wirkt sich nicht nur auf die Dicke der Verarmungszone
aus, sondern auch auf deren elektrische Kapazität und auf den Dunkelstrom.
Wie man Abschnitt 2.6.6 entnehmen kann, beeinflusst dies merklich das
Rauschen der Schaltung. Daher wird hier auch die Verarmungsspannung untersucht.
7.7.1. Aufbau und Messung
Ein PIN-Diodenverstärker wird mit angeschlossener Diode in eine Abschirmung
aus Kupfer gelegt und diese in den Kühlcontainer gestellt, um bei möglichst guter
Abschirmung gegen externe Störer und bei konstanter Temperatur messen zu können.
Der Ausgang des Verstärkers wird über einen 20 dB-Abschwächer an einen QDC
80

7.7. Verarmungsspannung der Dioden
angeschlossen, welcher über einen Pulsgenerator getriggert wird. Die Breite dieser
Trigger-Pulse wird so gewählt, dass sich das Ausgangssignal des Verstärkers während
eines Pulses praktisch nicht ändert, hier 100 ns. Nun werden mit einer Frequenz von
250 MHz Trigger erzeugt und laufend der QDC ausgelesen. Die digitalisierten Werte
werden laufend auf Mittelwert und Standardabweichung untersucht und pro Sekunde
wird ein Wertepaar in eine Datei eingetragen. Während die Messung läuft, wird die
Verarmungsspannung schrittweise von 0 auf 90 V erhöht.
7.7.2. Ergebnis
Den zeitlichen Verlauf der Standardabweichung sieht man in Abb. 7.14. Es ist hier
Noise / qdc channels
Amplifier Noise χ 2
/ ndf
0.1504 / 49
p0 13.3 ±
0
25
20
15
10
0V
10V
20V
30V
40V
50V
60V 70V 80V 90V
5
1000 1200 1400 1600 1800
Time / s
Abbildung 7.14.: Standardabweichung der QDC-Digitalwerte während einer schrittweisen
Erhöhung der Verarmungsspannung von 0 auf 90 V.
oberhalb von 40 V nur noch eine schwache Abhängigkeit der Standardabweichung
von der Verarmungsspannung zu erkenneb. Der erwartete Anstieg durch die Zunahme
des Dunkelstroms bleibt fast aus. Der niedrigste gemessene Wert wird bei 60 V
erreicht. Über die Anpassung einer Parabel an die benachbarten Werte lässt sich zwar
eine genauere Optimalspannung ermitteln, dies wird jedoch aufgrund des geringen
Optimierungspotentials vorerst unterlassen.
81

8. Fazit und Ausblick
Im Laufe dieser Arbeit konnten die bestehenden PIN-Dioden-Verstärker so weit
verbessert werden, dass 16 von ihnen stabil parallel betrieben werden können. Dies
ist die Hauptvorraussetzung dafür, das Kalorimeter im Verbund des Flugzeitspektrometers
während in eines Teststrahls einsetzen zu können. Hierfür musste die
virtuelle Masse der Operationsverstärker durch einen zusätzlichen Kondensator für
niedrigere Frequenzen vom Ausgangssignal entkoppelt werden. Um gemessene Daten
auswerten zu können, muss eine absolute Kalibration der Kalorimeterzellen möglich
sein. Es konnte an einer Kalorimeterzelle gezeigt werden, dass dies prinzipiell auch
mit radioaktiven Quellen möglich ist. Zuverlässig, aber stärker mit systematischen
Fehlern behaftet ist in diesem Fall jedoch die Kalibration durch kosmische Myonen.
Durch eine detalliertere Simulation dieser Messung sollte eine exaktere Kalibration
möglich sein. Dies muss aber nicht prinzipiell vor einem Strahlbetrieb geschehen,
da während eines Strahlbetriebs alle Rohdaten gespeichert werden und nur für
Einstellungs- und Überwachungszwecke eine vorläufige Kalibration nötig ist. Eine
erneute Bearbeitung dieses Kalorimeters erübrigt sich unter Umständen, da bereits
die nächste Iteration eines größeren Kalorimeters vorbereitet wird, welches später zur
Messung von Wirkungsquerschnitten in einem Kohlenstoffstrahl verwendet werden
soll. Für die Reduktion des Rauschens war zuerst eine eingehende Untersuchung
desselben notwendig. Während dieses langwierigen Prozesses wurden Ursachen des
Rauschens evaluiert, es wurde eine theoretische Beschreibung sämtlicher interner
Rauschquellen aus der Literatur zusammengestellt und ein Verfahren zur numerischen
Berechnung des Rauschen umgesetzt. Hierzu war eine vollständige Simulation der
Schaltkreise nötig, sodass das Spektrum der Quellen des Rauschen durch sämtliche
Verstärkerstufen hindurch propagiert werden und anschließend auf den Eingang
zurück projiziert werden konnte. Damit steht nun ein Instrument zur Verfügung, mit
dem sich eine große Gruppe von zeitinvarianten ladungsempfindlichen Verstärkern
auf die gleiche Art und Weise untersuchen lässt. Aus einer Reihe von Randbedingungen
lassen sich Parameter einer geplanten Schaltung durch ein einfaches Verfahren
optimieren, noch bevor ein Prototyp aufgebaut wird. Die Pulsform der Verstärker
wurde so angepasst, dass ein störender Überschwinger kompensiert wird. Dies ist
notwendig, da die verwendeten Ladungskonverter keiner positiven Eingangsspannung
ausgesetzt werden dürfen. Der positive Anteil der Pulse konnte leicht durch eine
Pole-Zero-Kompensation unterdrückt werden. Weitere Änderungen der Pulsform
lassen sich nun leicht mit Hilfe der Simulation evaluieren. Zusätzlich zur Simulation
des Verstärkers in der Zeitbasis existieren nun Simulationen der Schleifenverstärkung
83

8. Fazit und Ausblick
der einzelnen Verstärkerstufen in der Frequenzbasis, mit deren Hilfe sich Aussagen
über die Stabilität dieser Stufen machen lassen. Es wurden Kriterien vorgestellt,
deren Verletzung unweigerlich zu Artefakten in der Pulsform oder zu fortwährender
Oszillation des Schaltkreises führen. Werden diese Stabilitätskriterien eingehalten,
ist es möglich, die Verstärker stabil zu betreiben, wenn keine weiteren gravierenden
Schwachstellen in der übrigen Beschaltung bestehen. Es wurde eine Methode vorgestellt,
mit der sich mit geringen systematischen Fehlern das exakte Verhalten der
Dioden unabhängig von einem Szintillatorkristall untersuchen lässt. Diese Kalibration
der Verstärker wurde nur durch die deutliche Reduktion des Rauschens möglich. Es
ist damit möglich, sämtliche Parameter in der Lichtauslesekette des Kalorimeters
bis auf die Primäre Effizienz des Szintillatormaterials zu bestimmen, wenn eine
weitere Kalibration der zusammengesetzten Kalorimeterzelle aus Szintillator und
Diode vorliegt. So kann leicht untersucht werden, an welchem Glied der Kette von
der Lichterzeugung im Szintillator, der Propagation durch den Kristall und die die
optische Ankopplung der Diode an diesen Kristall bei einzelnen Zellen übermäßige
Verluste auftreten, die daraufhin im Prinzip zielgerichtet behoben werden können.
Konkret kann unterschieden werden, ob eine schlechte Auflösung eines Kristall aus
mangelhafter optischer Ankopplung, aus einer stärker rauschenden Diode, eines stärker
rauschenden Verstärkers oder aus Unterschieden in der individuellen Bestückung
der Verstärker resultiert. Es konnte gezeigt werden, dass Unterschiede zwischen
den einzelnen hergestellten Verstärkern innerhalb der Messgenauigkeit nicht für die
beobachtete Varianz unter den 16 Kalorimeterzellen verantwortlich sind. Vielmehr
sind die Versträker innerhalb der Messgenauigkeit nahezu gleich. Die Anforderung an
die Auflösung des Kalorimeters von 50 MeV aus [18] kann zusammen mit den Daten
aus [21] und dieser Arbeit als erfüllt angesehen werden, da sowohl die Auflösung des
Szintillators an sich als auch die elektronisch bedingte Auflösung weit genug unter
dieser Grenze bleiben. Da bei Messungen mit einer radioaktiven 228 Th-Quelle bereits
jetzt ein Signalüberschuss gegenüber dem Untergrund messbar ist, kann eine weitere
Beschäftigung mit der Auswertung der Daten eventuell noch zu einer zuverlässigen
Kalibration des Kalorimeters führen, auch wenn dies in dieser Arbeit nur teilweise
gelungen ist.
In einer weiteren Iteration ab dem Wintersemester 2013/2014 ist eine Erweiterung
des Kalorimeters auf 144 Zellen aus je einem ganzen BGO-Kristall des L3-Experiments
geplant, während in dieser Arbeit nur halbierte Kristalle verwendet wurden. In der
neuen Version wird die Anordnung der Kristalle deutlich leichter und regelmäßiger
ausfallen, was die Simulation mittels Geant4 stark vereinfacht. Das inaktive Volumen
zwischen den Kristallen wird damit geringer werden. Neue Herausforderungen
ergeben sich aus der Verwendung älterer PIN-Dioden, die nicht völlig an die Qualitätsstandards
bezüglich Anschlusskapazität und Dunkelstrom der hier verwendeten
Dioden heran reichen. Zudem nehmen die Dioden auf der Oberfläche eines kompletten
L3-Kristalls einen geringen Flächenanteil an, sodass ein geringerer Anteil des erzeug-
84

ten Lichts die aktive Fläche der Dioden erreicht. Die besagten Dioden sind derzeit
noch sehr dauerhaft mittels optischem Zement auf den 144 Kristallen befestigt, sodass
ein Austausch einerseits einen fünfstelligen Betrag in Euro in Anspruch nehmen
würde, als auch die Gefahr bergen, die kostspieligen Kristalle selbst zu beschädigen.
Es wird daher ein sehr gut durchdachter Verstärker nötig sein, um die geringere
Lichtmenge bei stärkerem Rauschen zu messen.
85

A. Anhang
Listing A.1: Netzliste zu schematischem Schaltplan A.1
∗ g n e t l i s t −g s p i c e −sdb −o preamp_sim . net preamp_sim . sch
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
∗ Spice f i l e generated by g n e t l i s t ∗
∗ s p i c e −sdb v e r s i o n 4 . 2 8 . 2 0 0 7 by SDB −− ∗
∗ p r o v i d e s advanced s p i c e n e t l i s t i n g c a p a b i l i t y . ∗
∗ Documentation at http : / /www. brorson . com/gEDA/SPICE/ ∗
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
∗vvvvvvvv Included SPICE model from /home/max/work/
+e l e c t r o n i c s / p r o j e c t s / models /MAX4230 . mod vvvvvvvv
∗ MAX4230 MACROMODEL
∗ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
∗ Revision 0 , 10/2003
∗^^^^^^^^ End o f i n c l u d e d SPICE model from /home/max/
+work/ e l e c t r o n i c s / p r o j e c t s / models /MAX4230 . mod ^^^^^^^^
∗vvvvvvvv Included SPICE model from /home/max/work/ e l
+e c t r o n i c s / p r o j e c t s / models /MAX4478 .FAM vvvvvvvv
∗ MAX4478MACROMODEL
∗ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
∗ Revision 0 . 5/2004
∗ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
∗^^^^^^^^ End o f i n c l u d e d SPICE model from /home/max/work
+/ e l e c t r o n i c s / p r o j e c t s / models /MAX4478 .FAM ^^^^^^^^
∗
∗vvvvvvvv Included SPICE model from /home/max/work/ e l e c t r o n i c s
+/ p r o j e c t s / models / real_cap . mod vvvvvvvv
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
∗ Begin .SUBCKT model ∗
∗ s p i c e −sdb ver 4 . 2 8 . 2 0 0 7 ∗
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
.SUBCKT real_cap 3 1 cnom=100nF r s e r i e s =10mOhm l s e r i e s =700pH
+rpar=50MegOhm
∗============== Begin SPICE n e t l i s t o f main design ============
87

A. Anhang
L_series 2 4 { l s e r i e s }
R_series 4 3 { r s e r i e s }
R_parallel 1 2 { rpar }
C_nom 1 2 {cnom}
. ends real_cap cnom=100nF r s e r i e s =1mOhm l s e r i e s =1mH rpar=1MegOhm
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
∗^^^^^^^^ End o f i n c l u ded SPICE model from /home/max/work/
+e l e c t r o n i c s / p r o j e c t s / models / real_cap . mod ^^^^^^^^
∗
∗============== Begin SPICE n e t l i s t o f main design ============
C107 op4out op4in {C_int}
∗C107 op4out op4in 10p
Rpzb 10 op1bout {R_pz}
Rpza 4 op1aout {R_pz}
Vnoise2 5 op2in DC 0 AC 0
Xcap1 VCC 0 real_cap cnom=4.7F r s e r i e s =10mOhm l s e r i e s =700pH
+rpar=50MegOhm
CbypassVM VM 0 10uF
.OPTIONS r e l t o l =0.001
RsCC VCC 11 0 .01
VnBias VB 8 DC 0 AC 0
VnCC 11 7 DC 0 AC 0
B6 0 C_input V = C_pin+C_feedback
B5 en2 0 V=4∗k_boltz ∗mytemp∗10Ohm+4.5n ∗4.5 n
∗B4 in2 0 V=2∗e_charge ∗I_dark
B4 in2 0 V=2∗e_charge ∗I_dark+4∗k_boltz ∗mytemp∗(1/ R_bias+1/
+R_discharge )+0.5 f ∗0.5 f
B3 0 rfb_t V=v ( out )∗ s q r t (4∗ k_boltz ∗mytemp∗ R_discharge /(1+
+(2∗c_pi∗HERTZ∗ R_discharge ∗( C_feedback+C_pin ) ) ^ 2 ) )
B2 0 rbias_t V=v ( out )∗ s q r t (4∗ k_boltz ∗mytemp∗R_bias /(1+(2∗
+c_pi∗HERTZ∗R_bias ∗( C_feedback+C_pin ) ) ^ 2 ) )
B1 0 d_sn V=v ( out )∗ s q r t (2∗ I_dark∗ e_charge )/(2∗ c_pi∗HERTZ∗
+C_pin )
∗ .AC DEC 100 1 1 e8
∗ .INCLUDE f u n c t i o n s . c f g
.INCLUDE params_slow . c f g
Vnoise 3 op1ain DC 0 AC 1
I2 inB 0 DC 0
CpinB 0 inB {C_pin}
RbB inB 1 {R_bias}
X2 op1bout op1bin VM VCC 0 MAX4478_S
88

∗R6 5 10 1K
Cdiffb 10 op1bout { C_diff }
CfB op1bout op1bin {C_feedback}
RfB op1bin op1bout { R_discharge }
R103 9 op1bin 0
CcB 9 inB { C_coupling }
I1 inApre 0 DC 0 EXP(0 { p u l s e h e i g h t } { delay } { r i s e t i m e }
+{delay } { pulsewidth })
Vtest1 inApre inA DC 0
∗ Vtest1 inApre 0 DC 0 PULSE(0 −1m 1u 10n 10n 10u 20u )
∗ Ctest1 inApre inA 1p
X5 VCC 0 VM op4in op4out OPAMP
X4 op3out op3in VM VCC 0 MAX4478_S
X3 op2out op2in VM VCC 0 MAX4478_S
X1 op1aout op1ain VM VCC 0 MAX4478_S
R2 0 out 50
Vbias 8 0 DC 2 . 5V
VCC 7 0 DC 5V
CpinA 0 inA {C_pin}
R118 0 VM 10K
R117 VM VCC 10K
C116 0 VM 100nF
C115 0 VM 100nF
C114 0 VCC 100nF
C113 0 VCC 100nF
C108 out 6 {C_out}
R113 op4out 6 47
R112 op3out op4in 4 . 7 k
R110 op4in op4out 10K
R109 op2out op3in 1K
C106 op3out op3in {C_int}
R108 op3in op3out 10k
C105 op2out op2in {C_int}
R107 op2in op2out 10k
R106 5 4 1K
C d i f f a 4 op1aout { C_diff }
CfA op1aout op1ain {C_feedback}
RfA op1ain op1aout { R_discharge }
R104 2 3 0
CcA 2 inA { C_coupling }
C101 0 1 100nF
89

A. Anhang
RbA inA 1 {R_bias}
R101 VB 1 10K
. end
Listing A.2: Parameterliste zu schematischem Schaltplan A.1
. param C_feedback =4.7p
. param R_discharge=100meg
. param R_bias=100meg
. param C_diff =3.3nF
∗ . param R_pz=R_discharge ∗C_feedback/ C_diff
. param R_pz=68k
. param C_int=330p
. param C_out=2.2uF
. param C_coupling =0.1uF
. param pulsewidth =300n
. param p u l s e h e i g h t =3.333n
. param r i s e t i m e=5n
. param delay=1u
. param testamp=0
. param C_test=1p
. param I_dark=3nA
. param C_pin=85p
. param e_charge =1.6021928 e−19C
. param c_pi =3.14
. param k_boltz =1.38 e−23
. param mytemp=300
Listing A.3: Skript zur Pulsformanalyse
. c o n t r o l
tran 100n 60u 1u
l e t mag = v ( out )
l e t magn = norm (mag)
l e t magn2 = magn^2
l e t dmag = d e r i v (magn)
l e t dmag2 = dmag^2
meas tran tmin0 min_at mag td=1u from=1u to =100u
90

l e t tmin= tmin0−1u
p r i n t tmin
meas tran f i i n t e g magn2 from=1u to =100u
l e t Fin = f i /tmin
echo Fi = $&Fin
meas tran fv i n t e g dmag2 from=1u to =100u
l e t Fvn = fv ∗tmin / 2 .
echo Fv = $&Fvn
l e t enc2 = e ^2/8 ∗ ( tmin∗ f i n ∗ in2+fvn ∗en2∗C_input∗C_input / tmin )
l e t enc = s q r t ( enc2 [ 1 ] ) / 1 f
l e t enc_el = enc /( echarge )∗1 f
echo enc = $&enc fC = $&enc_el e−h p a i r s
meas tran charge i n t e g i ( v n o i s e ) from=1u to =100u
meas tran vmin min v ( out ) from=1u to =100u
l e t amp_q = vmin / charge
echo charge a m p l i f i c a t i o n i s $&amp_q V/C
l e t vrms = amp_q∗ enc ∗1 f ∗ s q r t ( 2 )
echo thus Vrms = $&vrms V
. endc
Listing A.4: Netzliste zur Simulation des Vorverstärkers
∗ g n e t l i s t −g s p i c e −sdb −o stage0 . net stage0 . sch
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
∗ Spice f i l e generated by g n e t l i s t ∗
∗ s p i c e −sdb v e r s i o n 4 . 2 8 . 2 0 0 7 by SDB −− ∗
∗ p r o v i d e s advanced s p i c e n e t l i s t i n g c a p a b i l i t y . ∗
∗ Documentation at http : / /www. brorson . com/gEDA/SPICE/ ∗
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
∗vvvvvvvv Included SPICE model from /home/max/work/
+e l e c t r o n i c s / p r o j e c t s / models /MAX4478 .FAM vvvvvvvv
∗ MAX4478MACROMODEL
∗ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
∗ Revision 0 . 5/2004
∗ Copyright ( c ) 2003−2012 Maxim I n t e g r a t e d Products . All
∗ Rights Reserved .
91

A. Anhang
∗^^^^^^^^ End o f i n c l u ded SPICE model from /home/max/work/
∗ e l e c t r o n i c s / p r o j e c t s / models /MAX4478 .FAM ^^^^^^^^
∗
∗============== Begin SPICE n e t l i s t o f main design ============
C6 1 2 200nF
Lblock op1out out 1GH
Cblock e x c i t e out 1G
Vn 0 vnn 2 . 5
Vp vpp 0 2 . 5
X2 op1out in 0 vpp vnn MAX4478_S
V6 0 e x c i t e DC 0 AC 1
R6 0 1 100meg
R4 2 in 10
R2 in out 100meg
C4 in out 4 . 7 p
C2 0 1 85p
. end
92

V=2*e_charge*I_dark+4*k_boltz*mytemp*(1/R_bias+1/R_discharge)+0.5f*0.5f
V=4*k_boltz*mytemp*10Ohm+4.5n*4.5n
V = C_pin+C_feedback
in2 en2 C_input
B3
B2
B1
{C_int}
R2 50
out
C107
R110
{C_int}
C106
R108
{C_int}
C105
R107
10k VCC
10k VCC
10K VCC
{C_out}
op4in op4out
3
R113
5
op2out op3in op3out
R109 3
R112
5
5
−
4
4
4
1 X4
330 +
3
op2in
1
47
C108
1 X5
10k
X3
−
+
−
+
2
2
2
GND
GND
GND
VM
VM
VM
TITLE
FILE: REVISION:
DRAWN BY:
PAGE OF
1K
R6
10uF
A10 SPICE options A2 SPICE include
reltol=0.001
File: params_slow.cfg
R101
VB
10K
{C_feedback}
{R_bias}
RbB
{R_bias}
100nF
RbA
C101
CfA
{C_coupling} R104 10
CpinA
GND
RfA
inA
{R_pz}
Rpza
{C_pin}
{R_discharge}
VCC
CcA
5
{C_diff}
−
3
Vnoise
DC 0 AC 1
CpinB
inB
4
X1
op1ain
{C_pin}
1
I1
op1aout
+
Cdiffa
2
R106
EXP(0 {pulseheight} {delay} {risetime} {delay} {pulsewidth})
VM GND
{C_feedback}
1K
CfB
RfB
{C_coupling} R103
{R_discharge}
op1bin VCC
10
GND
DC 5V
CcB
{C_diff}
op1bout
5
−
3
DC 2.5V
+ −
Vbias
+ −
VCC
4
X2
1
+
Cdiffb
2
{R_pz}
Rpzb
VM GND
DC 0 AC 0
VnBias
VnCC
DC 0 AC 0
VB VCC
VM
R117
RsCC
10K
100nF
C114
100nF
C113
4.7uF
C112
0.01
R118
10K
C115
100nF
C116
100nF
C116a
Abbildung A.1.: Schematischer Schaltplan der Pulsformanalyse in NgSpice.
93

A. Anhang
Abbildung A.2.: Definition der Maße der BGO-Kristalle.
94

95
Tabelle A.1.: Ergebnisse der Messung mit kosmischen Myonen. M1-M3 bezeichnen die Datensätze der drei verschiedene
Messungen. Normierung, µ, σ und λ bezeichnen die Parameter der angepassten Funktion. Modus und
Mittelwert wurden aus diesen Parametern bestimmt. In Klammer steht jeweils der statistische Fehler
der letzten Stellen.
M Z Pedestal Breite Normierung µ σ λ Modus Mittelwert
M3 0 681,73(9) 60,795(63) 1,402(24)× 10 5 1744,1(53) 105,9(55) 3,7238(12) × 10 −3 1864,1(66) 2013(67)
M1 0 681,39(7) 63,281(54) 3,363(38)× 10 5 1786,6(36) 113,8(39) 3,8187(09) × 10 −3 1910,1(46) 2048(48)
M1 1 462,28(7) 63,644(54) 3,436(39)× 10 5 1577,1(38) 114,7(40) 3,4019(08) × 10 −3 1707,7(47) 1871(45)
M2 1 646,74(12) 71,380(85) 3,262(37)× 10 5 1759,3(37) 111,8(42) 3,7529(09) × 10 −3 1882,6(47) 2026(48)
M2 2 382,83(11) 68,232(81) 2,473(33)× 10 5 1593,5(52) 130,8(57) 3,7841(13) × 10 −3 1727,3(62) 1858(62)
M2 3 458,19(12) 71,346(85) 2,054(29)× 10 5 1574,8(46) 109,8(43) 3,7939(11) × 10 −3 1696,3(56) 1838(54)
M2 4 441,18(12) 73,449(87) 2,392(32)× 10 5 1511,6(42) 107,7(46) 3,8345(10) × 10 −3 1631,2(54) 1772(49)
M3 5 537,12(9) 66,462(69) 1,034(29)× 10 5 2025(11) 143(16) 3,5652(35) × 10 −3 2169(16) 2306(220)
M3 6 543,95(9) 63,545(66) 0,816(19)× 10 5 1732,3(77) 111,6(94) 3,7335(19) × 10 −3 1855(10) 2000(100)
M3 7 473,76(9) 62,267(65) 0,949(22)× 10 5 1710,8(83) 124,6(95) 3,3397(19) × 10 −3 1848(10) 2010(110)
M1 8 429,92(7) 65,372(56) 2,530(34)× 10 5 1646,2(44) 113,5(49) 3,5935(11) × 10 −3 1772,9(57) 1925(58)
M3 8 480,69(9) 65,509(68) 1,581(27)× 10 5 1685,0(56) 113,4(64) 3,6690(14) × 10 −3 1810,6(72) 1958(74)
M1 9 1009,6(7) 62,830(54) 3,778(41)× 10 5 2017,5(29) 93,5(36) 3,8879(10) × 10 −3 2127,2(39) 2275(44)
M3 9 949,51(10) 67,577(70) 1,049(21)× 10 5 2035,0(56) 100,5(60) 3,6688(14) × 10 −3 2152,2(73) 2308(88)
M1 A 496,44(8) 67,923(58) 2,781(34)× 10 5 1601,8(35) 99,5(34) 3,8465(09) × 10 −3 1716,0(43) 1862(43)
M2 A 427,50(12) 74,854(89) 3,641(42)× 10 5 1545,1(33) 103,0(45) 3,7770(08) × 10 −3 1662,5(45) 1810(38)
M1 B 497,06(10) 88,080(75) 2,472(33)× 10 5 1629,6(46) 124,4(51) 3,7271(10) × 10 −3 1760,8(55) 1898(53)
M2 B 949,29(14) 83,75(10) 4,044(41)× 10 5 2050,9(33) 112,6(33) 3,8381(08) × 10 −3 2173,5(39) 2312(48)
M2 C 468,55(12) 74,434(89) 3,762(40)× 10 5 1569,7(33) 108,6(33) 4,0440(09) × 10 −3 1687,1(41) 1817(39)
M1 D 330,84(7) 64,308(55) 4,162(41)× 10 5 1047,0(22) 84,3(20) 5,4603(10) × 10 −3 1136,2(26) 1230(23)
M3 D 427,73(10) 69,413(72) 0,850(18)× 10 5 1182,3(54) 95,0(47) 5,6557(26) × 10 −3 1275,7(61) 1359(62)
M1 E 897,39(8) 66,125(56) 2,024(30)× 10 5 2097,3(53) 118,9(56) 3,6079(12) × 10 −3 2227,2(63) 2375(80)
M3 E 576,00(10) 68,465(71) 1,751(33)× 10 5 1825,6(66) 131,7(95) 3,9690(17) × 10 −3 1956,9(89) 2078(90)
M1 F 518,66(7) 61,790(53) 2,025(31)× 10 5 1733,0(50) 109,7(60) 3,5955(12) × 10 −3 1857,3(67) 2011(69)

A. Anhang
Tabelle A.2.: Kalibrationskonstante A E für die Umrechnung von QDC-Kanälen in
MeV nach der Messung mit kosmischen Myonen.
Zelle A E in QDC-Kanälen/MeV Fehler auf A E in QDC-Kanälen/MeV
0 51,1 1,6
1 53,9 1,7
2 58,2 1,8
3 53,6 1,7
4 51,5 1,6
5 70,6 2,3
6 56,7 1,8
7 59,5 1,9
8 51,6 1,9
9 46,7 1,7
A 47,9 1,8
B 47,5 1,8
C 47,3 1,8
D 32,9 1,2
E 53,6 2,0
F 52,0 1,9
96

Tabelle A.3.: Maßtabelle der geschnittenen und polierten BGO-Kristalle. Die Maße
M1-M6 sind in Abb. A.2 gezeigt. Teil 1 bezeichnet die vordere Hälfte
eines L3-Kristall, Teil 2 die hintere. Alle Maße in mm.
Seriennummer Teil M1 M2 M3 M4 M5 M6 Länge
29116 1 21,75 22,1 21,2 25,2 25,75 24,6 118,9
29116 2 27,15 27,6 26,6 30,8 31,45 30,2 119,0
29117 1 21,7 22,05 21,1 25,2 25,7 24,6 118,4
29117 2 27,35 27,7 26,7 30,8 31,45 30,45 114,2
29119 1 21,75 22,1 21,2 25,2 25,75 24,6 118,9
29119 2 27,25 27,5 26,65 30,75 31,45 30,20 118,6
30080 1 23,2 23,8 22,85 27 27,55 26,55 119,1
30080 2 25,65 26,1 24,85 28,9 29,5 28,4 113,7
30115 1 21,75 22,1 21,1 25,35 25,85 24,85 120,3
30115 2 25,5 25,9 24,85 28,9 29,4 28,1 116,9
30116 1 21,7 22,1 21,1 25,35 25,9 24,6 119,3
30116 2 25,5 25,9 24,9 28,9 29,4 28,5 118,8
30117 1 23,25 23,75 22,8 27 27,5 26,4 118,9
30117 2 25,45 26,1 24,9 28,8 29,5 28,25 115,9
30118 1 21,7 22,15 21,15 25,3 25,85 24,7 119,1
30118 2 25,4 25,85 24,8 28,9 29,45 28,2 119,1
97

Abbildungsverzeichnis
2.1. Ein invertierender Spannungsfolger (links) und ein invertierender Addierer
(rechts). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Ein Differenzierer (links) und ein Integrierer (rechts). . . . . . . . . . 20
2.3. Ein stromrückgekoppelter Operationsverstärker. . . . . . . . . . . . . 21
2.4. Bode-Diagramm eines Tiefpasses [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5. Nyquist-Diagramm eines Tiefpasses [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6. Blockschaltbild eines gegengekoppelten Regelkreises. . . . . . . . . . 24
2.7. Ersatzschaltbild für die Berechnung des Rauschens aus [36]. . . . . . 27
2.8. Blockschaltbild eines CR-RC-Shapers. . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.9. Typische Kennlinie der rausch-äquivalenten Ladung Q n (T P ) aus [36]. 32
3.1. Das Myonenteleskop. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.1. Puls eines potentiellen Myon-Ereignisses nach Digitalisierung im FADC. 41
4.2. Puls aus 4.1 nach Anwendung eines Mittelwertfilters mit Mittelwertbildung
über 200 Samples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1. Vakuumkammer des Flugzeitspektrometers mit aktiven Komponenten 43
6.1. Simulation der Pulsform in NgSpice. . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.2. Schematischer Schaltplan zur Simulation der Schleifenverstärkung des
Vorverstärkers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.3. Bode-Diagramm der Simulation der Schleifenverstärkung des Vorverstärkers.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.4. Bode-Diagramm der Schleifenverstärkung der ersten Pulsformerstufe. 54
6.5. Bode-Diagramm der Schleifenverstärkung der zweiten Pulsformerstufe. 55
6.6. Bode-Diagramm der Schleifenverstärkung der dritten Pulsformerstufe. 56
6.7. Geometrie der Geant4 Simulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.8. MC-Verteilung der deponierten Energie kosmischer Myonen im BGO-
Kristall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.9. Statistische Verteilung des wahrscheinlichsten Wertes der Energiedeposition
durch zufallsverteilte Parameter. . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.1. Testplatine an PIN-Dioden-Verstärker. . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
99

Abbildungsverzeichnis
7.2. Bilder der Testbox von oben mit Verstärkerplatine (links), von der
Seite mit Americiumstrahler (mitte) und von unten mit PIN-Diode
(rechts). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.3. Anpassung einer Normalverteilung an die Samples eines Pedestaldatensatzes.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.4. Anpassung der Summe zweier Normalverteilungen an das Spektrum
einer Messung mit 241 Am direkt auf einer PIN-Diode. . . . . . . . . 67
7.5. Verteilung der Parameter A Q und Q N der einzelnen Verstärkerplatinen. 68
7.6. Histogramm einer Kalorimeterzelle bei Trigger auf kosmische Myonen. 70
7.7. Anpassung einer Faltung aus Exponential- und Normalverteilung an
einen Ausschnitt des Histogramms aus Abb. 7.6. . . . . . . . . . . . 71
7.8. Pedestal-bereinigte Werte für das wahrscheinlichste Signal der 16
Kalorimeterzellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.9. Verteilung des Kalibrationsfaktors A E der 16 Kalorimeterzellen. . . . 73
7.10. Verteilung der Energie-Linienbreite σ el der 16 Kalorimeterzellen. . . 74
7.11. Verteilung der Lichtausbeute LY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.12. Untergrundspektrum (schwarz) und 228 Th-Spektrum der Kalorimeterzelle
6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.13. Quellen-(grün), Untergrund-(schwarz) und Pedestalspektrum (blau)
der 228 Th-Messung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.14. Standardabweichung der QDC-Digitalwerte während einer schrittweisen
Erhöhung der Verarmungsspannung von 0 auf 90 V. . . . . . . . 81
A.1. Schematischer Schaltplan der Pulsformanalyse in NgSpice. . . . . 93
A.2. Definition der Maße der BGO-Kristalle. . . . . . . . . . . . . . . . . 94
100

Tabellenverzeichnis
2.1. Kennzahlen für Thallium-dotiertes Cäsiumiodid und Wismut-Germanat
nach [5, 33, 34] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.1. Kenndaten der PIN-Diode [17] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2. Parameter des PIN-Dioden-Verstärkers . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.1. Ergebnisse der Transientenanalyse in NgSpice . . . . . . . . . . . . 50
6.2. Ergebnisse der Simulation kosmischer Myonen mit verschiedenen Abmessungen
des Kristalls. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.1. Ergebnisse der Messung mit einer 241 Am-Probe, die auf eine PIN-Diode
gerichtet wird. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.2. Ergebnis der Modellanpassung aus 7.4 für 5 aufeinanderfolgende Unterabschnitte
einer Messung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.3. Ergebnisse der Auswertung der Messung mit 228 Th an Kalorimeterzelle
6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
A.1. Ergebnisse der Messung mit kosmischen Myonen. . . . . . . . . . . . 95
A.2. Kalibrationskonstante A E für die Umrechnung von QDC-Kanälen in
MeV nach der Messung mit kosmischen Myonen. . . . . . . . . . . . 96
A.3. Maßtabelle der geschnittenen und polierten BGO-Kristalle. . . . . . 97
101

Glossar
CSA engl. charge-sensitive amplifier, ladungsempfindlicher Verstärker. 22, 29
FADC engl. flash analog-to-digital converter, digitalisiert eine Eingangsspannung in
Zeit und Amplitude. 40, 48, 64
G-APD engl. geiger-mode avalanche photodiode, eine spezielle Photodiode, die oberhalb
ihrer Durchbruchspannung bei sehr geringer Beleuchtungsintensität kurze
Spannungspulse liefert. 17, 103
LED engl. leading-edge discriminator, Anstiegsflankendiskriminator. 69
OPV Operationsverstärker. 18, 22
QDC engl. charge-to-digital converter, integriert Eingangsströme über einen extern
erzeugtes Torsignal und digitalisiert diese. 40, 47, 69, 71, 74
SiPM engl. silicon photomultiplier, segmentierte G-APD. 17, 44
TDC engl. time-to-digital converter, digitalisiert den zeitlichen Abstand zweier Signale.
40
103

Index
BGO, 14, 49, 61
kosmische Myonen, 49, 53, 56, 69
Nyquist-Kriterium, 25, 53
Photonenausbeute, 61, 62
PIN-Diode, 49
Rauschen, 25–27, 61–63
Trigger, 64
105

Literaturverzeichnis
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[8] CAEN: N840 / Discriminators. http://www.caen.it/csite/CaenProd.jsp?
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[17] Hamamatsu Photonics: Si PIN photodiode S2744-08. https://www.
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[19] Hvezda, Ales: gplEDA: All things GPL and EDA. http://www.gpleda.org/
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[25] Lewke, Ronja: Integration of a Fiber Tracker into a Time-of-Flight Spectrometer
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[29] Rabaey, Jan M.: The Spice Home Page. http://bwrcs.eecs.berkeley.edu/
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[37] Stöcker, Horst: Taschenbuch der Physik. Frankfurt am Main : Verlag Harri
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Driftkammergases der T2K-TPC, RWTH Aachen, Diplomarbeit, 2008
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[41] Vogt, Holger ; Nenzi, Paolo: Ngspice circuit simulator. http://ngspice.
sourceforge.net/. Version: 2013
110

Erklärung
Ich versichere, dass ich diese Master-Arbeit selbständig verfasst und keine weiteren als
die angegebenen Quellen und Hilfsmittel verwendet habe. Zitate habe ich kenntlich
gemacht.
Aachen, den 30. September 2013
Max Emde