Vortragsunterlagen - an der UniversitÃ¤t Duisburg-Essen

Universität Duisburg-Essen 

 

Institut für Produktion und 

Industrielles Informationsmanagement 

Modellierung von Fairness 

– Verteilung von Effizienzgewinnen in Supply Webs 

aus spieltheoretischer Perspektive – 

Univ.-Prof. Dr. Stephan Zelewski 

Ringvorlesung „Unternehmensmodellierung“ am 19.12.2007 

an der Universität Duisburg-Essen

Agenda 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Effizienzgewinne in Supply Webs 

als betriebswirtschaftliches Problem 

Standard-Ansatz der kooperativen Spieltheorie 

als Lösung für das generische Verteilungsproblem 

Das Lösungskonzept des τ-Werts 

Exkurs (optional): Anwendungsbeispiel für den τ-Wert 

Diskussion des τ-Wert-Lösungskonzepts 

© Zelewski: „Modellierung von Fairness“ 19.12.2007 in Essen 2/ 56

Agenda 

 

 



 



 


 


 



1 Effizienzgewinne in Supply Webs als betriebswirtschaftliches Problem 

Anlässe (1/5) 

 

Motivation für das betriebswirtschaftliche Interesse an Supply Webs 

 

 

 

Erwartung, dass die Lieferketten 

übergreifende Koordinierung 

der Aktivitäten von teilautonomen 

Akteuren eines Supply Webs 

Effizienzgewinne 

zu realisieren gestattet, 

die nicht erreichbar wären, 

wenn die Akteure jeweils 

unkoordiniert ihre partiellen 

Handlungspläne optimieren würden 

Kommunikation 

Kommunikation 

Kooperation 

Kooperation 

Koordinierung 

Koordinierung 




 

theoretische Rechtfertigung 

 

 

globales Optimum eines Totalplanungsansatzes 

nicht schlechter, zumeist sogar echt besser 

als Aggregation mehrerer lokaler Optima von Partialplanungen 

 

aber: wenig überzeugend! 

 

 

 

mangelhafte Verfügbarkeit aller benötigten Informationen 

„dysfunktionale Nebeneffekte“ hinsichtlich der Motivation 

„entscheidungsfreudiger“, insbesondere teilautonomer Akteure 

z.B. „beißende“ Kritik von BRETZKE (2006) an der Verwendung 

„ganzheitlicher Supermodelle“ im Supply Chain Management 




 

Rechtfertigung durch umfangreiche Studien zum Bullwhip-Effekt 

 

Effizienzverluste durch 

überhöhte Lagerbestände und Kapazitätsvorhaltungen 

zu große Lieferzeiten 

häufige Out-of-Stock-Situationen mit Erlösausfall, Goodwillverlust 

 

Effizienzgewinne durch Linderung des Bullwhip-Effekts 

Gewinnsteigerungen von 5 bis 30% 

75 bis 100 Mrd. US-$ Lagerkostenreduzierung 

in der US-Lebensmittelindustrie 

alle Angaben unter „gebührenden Vorbehalten“! 




7,0 

6,5 

Bestellmengen (Stück) 

6,0 

5,5 

5,0 

4,5 

4,0 

Frau Dipl.-Ök. Susanne KELLER 

jetzt: Frau Dr. HOHMANN 

Quelle: Disputation 

3,5 

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 

Perioden (ZE) 

Produzent 

Großhändler 

Einzelhändler 

Endkonsument 

Bestellmengenschwankungen 

Zeitverzögerungen 

Bullwhip-Effekte (über t = 40) 

21,47 (Produzent) 

11,87 (Großhändler) 

6,63 (Einzelhändler) 

1 (Endkonsument) 




 

Rechtfertigung durch mehrere Unternehmens- und Marktstudien 

Restrukturierung des Supply Webs von Digital Equipment (1995) 

jährliche Kosteneinsparungen ca. 100 bis 200 Mio. US-$ 

Restrukturierung des Supply Webs von IBM (2000) 

jährliche Kosteneinsparungen ca. 750 Mio. US-$ 

Coopers & Lybrand (1996) 

Einsparpotenzial Lebensmittelbranche (Europa) 

ca. 5,7 % der Umsatzes, d.h. ca. 33 Mrd. US-$ 

Arthur D. Little (2000) 

250 Unternehmen (Europa): Lagerbestands-Reichweite 

von bis zu 40 Wochen über die Lieferkette hinweg 



Ermittlungsmodelle (1/2) 

 

Ermittlungsmodelle zur Quantifizierung erzielbarer Effizienzgewinne 

 

Modellierung der realen Planungshandlungen im Supply Web 

insbesondere Prognose- und Bestellmethoden 

 

anhand realer Verkaufs-, Liefer- und Bestandsdaten 

 

Vergleich zwischen jeweils zwei alternativen Modellvarianten 

 

 

Summe der Erfolgsgrößen aus den isolierten Partialoptimierungen 

bei jedem der Kooperationspartner eines Supply Webs 

Erfolgsgröße aus kollaborativer Planung für die gesamte Lieferkette 

z.B. Informationstransparenz über originäre Abverkaufsmengen 

am „point of sale“ oder Vendor Managed Inventory 

keine Totalplanungen, sondern i.d.R. „große“ Simulationsmodelle 



Ermittlungsmodelle (2/2) 

Ermittlungsmodell für unkoordinierte Partial-Optimierungen 

anhand von prognostizierten Nachfragemengen 

Vgl. ZÄPFEL/WASNER: Der Peitschenschlageffekt 

in der Logistikkette ... In: Logistik-Management, 

1. Jg. 1999, Heft 4, S. 297-309; hier: S. 300. 

Produzent (P) 

LA 

P 

t t-∆T MF 

 

P 

t+∆T IF 

PM = ... 

P 

t+∆T IF -1 

α•PM + ... 

(1- α )•BM 

GH 

t 

Definitionsgleichungen 

: 

GH 

= P tt-∆T − 

∆ 

T 

MF 

GH 

LZ t = LA 

GH 

P 

= EH 

tt+∆T − 

∆ 

T 

MF 

LZGH 

LA t = LZ 

LA 

LA 

LB 

GH 

GH 

t , 

∑ t 

EH 

{ 

BM τ-∆T IF 

τ=1 

τ 

= 

1 

BB 

SWB = 

⎪⎧ 

GH 

= 

min ⎨ 

LB t t-1 

− 

1 

+ 

LZ t t 

⎪⎩ 

GH 

t 

t 

= = 

∑ 

τ 

τ 

= 

1 

τ=1 

GH 

t 

t 

∑ t 

τ=1 

τ 

= 

1 

MF 

MF 

∑ ( t 

GH GH GH 

LZ( − 

LA− 

) 

GH 

+ ) 

LZ τ 

( BM − 

LZ 

+ ) 

GH GH 

τ τ 

Verhaltensgleichungen : 

EH GH 

T 

LA τ 

LB+ 

0 LB 

τ 

LZ τ τ 

( ) 

PM t GH = = 

α 

⋅α 

BM • PM t 

− 

∆t-1 

+ (1- 1 

−α 

)• 

⋅ ⋅BM 

PMEH 

IF 

t-∆TIF 

t 

− 

1 

⎪⎧ 

t−1 

BM 

GH 

⎨ 

− 

⋅ 

GH 

− 

= 

max 

0 , PM 

GH t β−LBGH 

LZτ 

LA 

GH 

t { 

τ 

⎪⎩ 

BB t-1 

− γ• t-1 

τ 

= 

1 

GH 

0 

+ 

SWB BB 

GH 

0 

Großhändler (GH) 

− 

t 

1 

∑ t-1 

τ=1 

LA τ 

GH 

} 

⎪⎫ 

t 

− 

1 

⎪⎫ 

) − 

⋅ ( GH 

− 

GH 

} γ ∑ BMτ 

LZ 

τ 

) ⎬ 

⎪ ⎭ 

τ 

= 

1 

 

Einzelhändler 

(EH) 

EH 

LZ t+ ∆T MF 

... 

EH 

BM t-∆TIF 

...


Verteilungsproblem (1/4) 

 

einerseits werden die Effizienzgewinne eines Supply Webs 

 

 

durch die Koordinierung der Aktivitäten von dessen Akteuren 

gemeinsam verursacht 

es gibt keine verursachungsgerechte Zuordnung 

von Gewinnanteilen auf die Akteure 

 

andererseits sind die „teilautonomen“ Akteure jeweils 

 

 

 

rechtlich und (zumeist) wirtschaftlich selbstständige Unternehmen 

mit einem „natürlichen“, d.h. marktordnungskonformen Interesse 

ihre eigenen Gewinnanteile zu Lasten 

der übrigen Akteure zu vergrößern 

© Zelewski: „Modellierung von Fairness“ 19.12.2007 in Essen 11 / 56



 

weit verbreitete Skepsis in der betrieblichen Praxis 

 

 

dass einzelne Akteure mit großer Marktmacht (z.B. fokale Unternehmen) 

den Großteil der Effizienzgewinne „abschöpfen“ 

BARRENSTEIN (1998): 

Aufgrund des insbesondere in Deutschland relativ 

gespannten Verhältnisses zwischen Industrie 

und Handel erscheint es allerdings fraglich, 

ob erfolgreiche Projekte dauerhaft durchgeführt 

werden können und ob eine „gerechte“ 

Aufteilung der Einsparungen zwischen den 

beteiligten Parteien gefunden werden kann.“ 

DELFMANN (1999): 

„Aufgrund der Ungleichverteilung der Effizienzfortschritte, 

die Handel bzw. Industrie erreichen, 

stellt sich die Frage nach deren Aufteilung. ... 

Die fehlende Klärung einer von beiden Seiten 

akzeptierten Verteilung ist heute eine der 

grundlegenden Barrieren für eine zügige 

Umsetzung von ECR.“ 

CRUIJSSEN/BORM/FLEUREN/HAMERS (2005): 

„Benefits cannot be shared in a fair way; the larger players will always benefit most.“ 

„The problem of allocating the jointly generated synergy savings is critical to any logistics cooperation ... .“ 

„ … practitioners often regard the problem of constructing a fair gain sharing mechanism as too difficult or academic.” 




 

„eingebauter“, systematischer Konflikt in Supply Webs zwischen 

 

dem Interesse der Akteure an einer Kooperation 

um koordinationsbedingte Effizienzgewinne zu erzielen 

 

der Neigung der Akteure zu einer Defektion 

zwecks Aneignung möglichst großer Anteile am Effizienzgewinn 

 

generisches Verteilungsproblem – kurz:Fairnessproblem 

 

 

 

Effizienzgewinne so auf die Akteure eines Supply Webs zu verteilen 

dass die Akteure es als vorteilhaft erachten zu kooperieren 

gemeinhin als „faire“ Gewinnaufteilung thematisiert 




 

„Modellierung von Fairness“ 

als eine betriebswirtschaftliche Herausforderung 

 

 

konventionelle betriebswirtschaftliche Ansätze der verursachungsgerechten 

Zurechnung von Gewinnanteilen a priori scheiden aus 

Fairness als „schillernder“ Begriff 

mannigfaltige intuitive und vage Vorverständnisse 

je nach Interessenlage mit unterschiedlichen Inhalten gefüllt 

gravierender Bedarf an begrifflicher Operationalisierung 

 

Fairness als Imputationsbegriff 

keine „objektive“ Eigenschaft von Gewinnverteilungskonzepten 

sondern das Ergebnis subjektiver Zuschreibungen 


Agenda 

 

 

 





 


 


 



2 Standard-Ansatz der kooperativen Spieltheorie 

als Lösung für das generische Verteilungsproblem (1/7) 

Lösungsangebote der kooperativen Spieltheorie 

SHAPLEY 

 

ausgereifte Fairness-Konzepte, insbesondere: 

SCHMEIDLER 

 

 

 

SHAPLEY-Wert als „Klassiker“ 

Nucleolus (SCHMEIDLER, neuerdings FROMEN) 

τ-Wert (TIJS, daneben vor allem auch DRIESSEN) 

TIJS 

 

„Berechenbarkeit“ von Fairness 

 

Operationalisierung des Fairnessbegriffs 

 

Rationalität und Kommunizierbarkeit von Gewinnaufteilungen 




reduziertes Verteilungsproblem – ohne explizite Fairnessforderung! – 

aus der Perspektive der kooperativen Spieltheorie 

 

Ermittlung einer Verteilungsfunktion v G 

 

die jedem Akteur A n aus der Gesamtkoalition oder großen Koalition 

K 0 = {A 1 ,…,A N } aller Akteure aus der Akteuremenge A mit N ≥ 2 

 

den Anteil v G.n am insgesamt erzielten Effizienzgewinn G zuordnet 

v :A 

→ 

 

G ≥0 

( ) 

A → v A = v 

n G n G.n 

mit der 

Problemlösung 

( ) 

v = v ,...,v 

G G.1 G.N 




2-stufiger Standard-Lösungsansatz der kooperativen Spieltheorie 

 

charakteristische Funktion c A 

c : ℘(A) 

A 

→ 

( ) 

K → c K = c 

m A m m 

mit den Normierungen c A 

(∅)=0 für die leere Koalition ∅ 

sowie c A 

(K 0 

)= G für die große Koalition K 0 

und mit ℘ als Potenzmengen-Operator 

 

 

mit Werten c A 

(K m 

) für jede der insgesamt 2 N kombinatorisch möglichen 

Koalitionen K m 

, die sich aus Akteuren des Supply Webs bilden lassen 

Interpretation: Gewinn/Verlust, den die Akteure aus der Koalition K m 

beim Defektieren, also außerhalb der großen Koalition K 0 

auf sich allein gestellt und somit aus eigener Kraft realisieren können 




 

Vorschrift für die Verteilungsfunktion v G in Abhängigkeit von c A 

mittels spieltheoretischer Lösungskonzepte spezifiziert 

 

z.B. Ermittlungsvorschrift für den SHAPLEY-Wert 

 

Informationsprämisse: 

die charakteristische Funktion c A 

ist für alle kombinatorisch 

möglichen Koalitionen „gegeben“ 

v 3 

 

v G 

L vG 

v 2 

 

v G 

dann lässt sich eine Lösung des 

reduzierten Verteilungsproblems 

(Verteilungsergebnis) ohne größere 

Schwierigkeiten berechnen 

v G.3 

ˆ0 

v G.2 

v G.1 

( ) 

v = v ,v ,v 

G G.1 G.2 G.3 

⎛v 

⎞ 

 

G.1 

v = L = v = v 

G 

⎜ 

⎜⎝v 

⎠⎟ 

T 

G v G.2 G 

v 1 

G.3 




 

betriebswirtschaftliche Bewertung 

c A : realitätsferne Informationsprämisse 

c A 

(∅)=0 und c A (K 0 

)= G 

stehen von vornherein fest 

z.B. für N=10: 1.022 Koalitionen 

 

 

„belastbare“ Wert-Informationen c A 

(K m 

) für 2 N -2 Außenseiter- 

Koalitionen K m 

stehen in der Realität kaum jemals zur Verfügung 

Fehler dritter Art (MASON/MITROFF): 

ein falsch gestelltes („gegebenes“) Problem wird „richtig“ gelöst 

 

v G : Ermittlungsvorschriften oftmals intuitiv nicht verständlich, 

z.B. für den SHAPLEY-Wert 

 

 

axiomatische Fundierung „weit weg“ vom betriebswirtschaftlichen 

Realproblem, stattdessen „teleologisch“ auf Eindeutigkeit fixiert 

alternatives Randomisierungsschema wirkt artifiziell 




Anforderungen an eine spieltheoretische Modellierung und Lösung 

des generischen Verteilungsproblems / Fairnessproblems aus BWL-Sicht 

 

Rationalitätsanforderung 

 

 

Explikation von Handlungsspielräumen für Verteilungsergebnisse 

konsistent vereinbar mit Annahmen zur Rationalität der Akteure 

 

Existenz- und Eindeutigkeitsanforderung 

 

genau eine Problemlösung als „Tribut“ an die betriebliche Praxis 

 

Anforderung minimaler Koalitionskenntnisse 

 

Einschränkung der Informationsprämisse auf möglichst wenige 

Außenseiter-Koalitionen und „glaubhaft“ beanspruchbare Gewinnanteile 




 

Intelligibilitäts- und Kommunizierbarkeitsanforderung 

 

 

die Lösung für das generische Verteilungsproblem und 

das zugrunde liegende Lösungskonzept sollen 

intuitiv verständlich und somit leicht kommunizierbar sein 

intersubjektiv nachvollziehbar und kritisch diskutierbar 

 

Akzeptabilitätsanforderung 

 

 

 

Explikation der „guten Gründe“ 

durch die sich ein Verteilungsergebnis als fair rechtfertigen lässt und 

die somit die Akzeptabilität des Verteilungsergebnisses v G 

stützen 


Agenda 

 



 

 

 




 


 



3 Das Lösungskonzept des τ-Werts 

Überblick (1/2) 

 

Lösungsziel: Überwindung 

 

 

des Realitätsdefekts der Informationsprämisse für Funktionen c A 

des Intelligibilitätsdefekts der Vorschriften für Funktionen v G 

 

Lösungsansatz auf der Basis des τ-Werts: 

 

 

 

1980 von TIJS eingeführt und mit DRIESSEN weiterentwickelt 

zunächst auf Kosten-Verteilungsprobleme fokussiert 

in der BWL für Gewinn-Verteilungsprobleme neuartig 

 

Lösungsidee: 

schrittweises, „rationales“ Einschränken des Lösungsraums N ≥0 



Überblick (2/2) 

 

anstelle des „technischen“ Denk- und Argumentationsansatzes 

 

ein Lösungskonzept aus der Perspektive seiner formalen 

Eigenschaften („Axiome“) und Berechenbarkeit zu analysieren 

 

ein betriebswirtschaftlich motiviertes Rechtfertigungsprogramm 

für spieltheoretische Lösungskonzepte 

 

 

 

ausgehend vom Realproblem der Verteilung von Effizienzgewinnen 

in Supply Webs 

ein Lösungskonzept schrittweise und nachvollziehbar so entwickeln, 

dass es sich aus plausiblen Anforderungen / guten Gründen „ergibt“ 

 

Rekonstruktion des „an sich“ bekannten τ-Wert-Lösungskonzepts 

aus anwendungsorientierter betriebswirtschaftlicher Perspektive 



sukzessives Eingrenzen des τ-Werts (1/11) 

 

Bedingung individueller Rationalität 

 

 

 

jeder Akteur A n erhält mindestens denjenigen Anteil v G.n 

am zu verteilenden Effizienzgewinn G, den er durch „Defektieren“ 

außerhalb der großen Koalition aus eigener Kraft realisieren könnte 

∀ 

({ }) 

n= 1,...,N: v ≥ c A = c 

G.n A n n 

schränkt im Normalfall mit c n ≥ 0 für alle Akteure A n 

N 

den Lösungsraum zumindest auf den „1. Quadranten“ ein 

Konzept vollständiger Rationalität: „homo oeconomicus“ 

≥0 

 

 

keine sozialen Präferenzen: Neideffekte, Gleichheitsvorliebe … 

unbeschränkte Informationserhebungs- und -verarbeitungskapazität 




v 3 

v 2 

Einschränkung des 

Lösungsraums 

durch die 

Bedingung 

individueller Rationalität 

c ≥ 0 

3 

c ≥ 0 

2 

ˆ0 

c ≥ 0 

1 

v 1 




 

Effizienzbedingung 

 

der Effizienzgewinn G ist auf die große Koalition 

K 0 = {A 1 ,…,A N } aller Akteure exakt aufzuteilen 

N 

∑ 

n= 

1 

v 

n 

= 

G 

 

es wäre irrational, weniger 

als den Effizienzgewinn zu 

verteilen wegen Verlusts 

der PARETO-Optimalität 

G 

v 3 

G 

v 2 

 

es wäre unzulässig, mehr 

als den Effizienzgewinn zu 

verteilen 

Hyperebene 

effizienter 

Verteilungen 

 

ergibt eine Hyperebene 

im N-dimensionalen Lösungsraum 

G 

v 1 


3 Das Lösungskonzept des 

τ-Werts … (4/11) 

v 3 



und 

individuelle 

Rationalität 

Einschränkung des 

Lösungsraums 

durch die 

Bedingung 

individueller Rationalität 

und 

durch die 


c ≥ 0 

1 

G 

c ≥ 0 

3 

c ≥ 0 

2 

c ≥ 0 

c ≥ 0 

3 

3 

G 

c ≥ 0 

c ≥ 0 

2 

1 

G 

© Zelewski: 


19.12.2007 in Essen 29 / 56 

v 1 

v 2



 

Rationalitätsbedingung für maximal zurechenbare Gewinnanteile 

 

jeder Akteur A n erhält höchstens den Betrag, 

um den der Effizienzgewinn der Marginalkoalition MK n = K 0 \{A n } 

durch den Eintritt des Akteurs A n in die große Koalition K 0 

bis zum Erreichen des Effizienzgewinns G steigen würde 

∀ 

( ) ( ) 

( ) { } 

n = 1,...,N : v = c K − c K \ A = G− 

c MK 

n.max A 0 A 0 n A n 

 

stellt eine besondere Form kollektiver Rationalität dar 

 

rationales „Konzessionsverhalten“ 

aller Akteure aus der Marginalkoalition 

 

ergibt eine obere Grenze OG oder einen Idealpunkt im Lösungsraum 




 

Rationalitätsbedingung für minimal zuzurechnende Gewinnanteile 

 

jeder Akteur A n erhält mindestens denjenigen Betrag, mit dem er 

durch Gründung wenigstens einer Außenseiterkoalition AK n.q 

mit q=1,…,Q n glaubhaft zu drohen vermag 

 

charakterisiert das Drohpotenzial eines Akteurs A n 

 

Seitenzahlungen: der Akteur A n zahlt allen anderen Mitgliedern A m 

aus seiner Außenseiterkoalition jeweils denjenigen Betrag, 

den sie in der großen Koalition bestenfalls erzielen könnten 

 

 

Seitenzahlungen v m.max 

aus dem bereits eingeführten Idealpunkt 

es gibt für Akteure A m 

(m≠n) keinen rationalen Grund, in der großen 

Koalition K 0 

zu verbleiben, weil sie in der Außenseiterkoalition 

niemals schlechter, oftmals sogar besser gestellt werden als in K 0 




 

 

der residuale Gewinnanteil verbleibt dem „anführenden“ Akteur A n 

negative Residualgewinne stellen keine glaubhaften Drohungen dar 

∀ 

a 

n 

n = 1,...,N : v = max 

n.min 

({ } ) { } 

{ 0,a ,b } 

n 

⎧ 

⎫ 

c ({ A 

A n} 

AKn.q) = cA ( AKn.q) 

− v ... 

m.max 

max⎪ 

∑ 

= ⎨ 

⎪ 

m∈( IN {} 

n.q\ n ) 

⎬ 

∅⊂AK ⊂A ∧ 

n.q 

{ An} 

⊂AK 

⎪⎩ 

n.q 

⎪⎭ 

n 

( ) { } 

b = c A AK = c A für AK = A 

n A n n.q A n n.q n 

 

ergibt eine untere Grenze UG oder Drohpunkt im Lösungsraum 




 

Integritätsbedingung für jeden Lösungspunkt L vG 

im Lösungsraum 

⎛ v 

v 

v ⎞ 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

G.1 1.min 

1.max 

⎟⎟ 

L ... UG ... OG ... 

= v 

G 

∧ = ∧ = 

⎜ v v v 

⎝ ⎜⎝ G.N⎠ ⎟ ⎜⎝ N.min ⎠⎟ 

⎝⎜ N.max ⎠ 

⎟⎠⎟ 

⎛ N N N 

⎞ 

→ v ≤ v = G ≤ v ∧ UG≤OG 

⎜ 

∑ n.min ∑ G.n ∑ n.max 

⎜⎝n= 1 n= 1 n= 

1 

⎠⎟ 

 

 

 

sichert die Existenz des τ-Werts 

durch Einschränkung auf die Klasse aller quasi-balancierten Spiele 

bedeutet keine wesentliche inhaltliche Einschränkung, 

weil die o.a. Quasi-Balanciertheit im Normalfall immer erfüllt ist 




 

der Teil UG ≤ OG besitzt den Charakter 

einer Stabilitätsbedingung 

 

andernfalls – d.h. bei v n.min > v n.max für mindestens 

einen Akteur A n – wäre es irrational 

aus der Perspektive der Mitglieder der Marginalkoalition MK n , 

an den Akteur A n mehr (v n.min ) als denjenigen Betrag zu zahlen, 

um den der Effizienzgewinn der Gesamtkoalition 

durch den Eintritt des Akteurs A n vermindern würde (v n.max ) 

aus der Perspektive des Akteurs A n , 

von der Marginalkoalition MK n weniger (v n.max ) zu erhalten, 

als er durch seine bestmögliche Außenseiterkoalition AK n.q 

selbst realisieren könnte (v n.min ) 




 

der Teil 

∑ ∑ ∑ 

N N N 

v ≤ v = G ≤ v 

n= 1 n.min n= 1 G.n n= 

1 n.max 

grenzt ökonomisch „unsinnige“ Konstellationen aus 

 

der insgesamt zu verteilende Effizienzgewinn G reicht nicht aus, 

um die Minimalansprüche v n.min 

aller Akteure A n 

aus der großen Koalition K 0 

zu decken 

G 

N 

< ∑ = 

n 1 

v 

n.min 

es ist noch nicht einmal möglich, den Drohpunkt UG zu realisieren! 

 

der insgesamt zu verteilende Effizienzgewinn G ist größer, 

als es zur Deckung der Maximalansprüche v n.max 

aller Akteure A n 

aus der großen Koalition K 0 

erforderlich wäre 

G 

N 

> ∑ = 

n 1 

v 

n.max 




 

Proportionalitätsbedingung als Fairness-Kriterium i.e.S. 

 

je größer die Verhandlungsstärke eines Akteurs A n ist 

 

hinsichtlich seiner „Beitragsleistung“ v n.max 

beim Eintritt in die Marginalkoalition MK n 

 

positiver Netzwerkeffekt 

+/− 

+/− 

 

hinsichtlich seines „Drohpotenzials“ v n.min 

der Bildung einer besser stellenden 

+/− 

+/− 

Außenseiterkoalition AK n.q 

 

negativer Netzwerkeffekt 

 

desto größer ist der zugerechnete Anteil v G.n am Effizienzgewinn G 



Ermittlung des τ-Werts (1/4) 

Theorem, bewiesen von TIJS 1981: 

 

es existiert genau eine Vorschrift für die Verteilungsfunktion v G 

 

zur Ermittlung der Gewinnanteile v G.n für alle Akteure A n 

 

die den voranstehend eingeführten 6 Bedingungen genügt 

 

der τ-Wert v τ = (v 1. τ ,…, v N. τ ) T 

 

der sich wie folgt numerisch ermitteln lässt … 




∀ 

v 

n = 1,...,N : 

n. τ 

normierte Verhandlungsstärken 

zu verteilender Effizienzgewinn 

⎧⎪ v 

v 

N 

N 

n.max 

n.min 

α i i G + β i i G ; falls v ≠ v 

∑ 

N 

N 

n.max ∑ 

n= 1 n= 

1 

⎪ ∑v 

v 

n.max ∑ n.min 

= ⎨ n= 1 n= 

1 

⎪⎪⎪⎪⎪ 

= = 

n.min 

⎪ 

⎪⎩ 

v v ; falls v v 

n.max n.min n.max n.min 

n= 1 n= 

1 

N 

∑ 

N 

∑ 

mit: 

Gewichtungen der Verhandlungsstärken 

Sonderfall 

α 

N N N N 

∑ ∑ ∑ ∑ 

G− 

v v v −G v 

n.min n.max n.max n.min 

n= 1 n= 1 n= 1 n= 

1 

= i 

β = 

N N N N 

v − v 

G 

v − v 

∑ ∑ ∑ ∑ 

n.max n.min n.max n.min 

n= 1 n= 1 n= 1 n= 

1 

i 

G 




kompaktere, aber äquivalente Darstellungsweise des τ-Werts als 

• diejenige Linearkombination aus Idealpunkt OG und Drohpunkt UG 

• die im Lösungsraum auf der Hyperebene der Effizienzbedingung liegt 

∀ 

mit : 

( γ) 

n = 1,...,N : v = γ • v + 1− 

• v 

n. τ 

n.max n.min 

γ 

⎧⎪ 

⎪ 

⎨ 

⎪ 

⎪⎩ 

N 

∑ 

G− 

N 

∑ 

n= 

1 

= v − 

v 

N 

∑ 

n.max 

n= 1 n= 

1 

n.min 

v 

n.min 

N 

∑ 

; falls v ≠ v 

N 

n.max 

n= 1 n= 

1 

0 ∨ 1 ; falls v = v 

N 

∑ 

∑ 

N 

∑ 

n.max 

n= 1 n= 

1 

n.min 

n.min 


X 



G 

v 3 

τ-Wert 

X 

Idealpunkt OG 

v 2 

G 

v 3.max 

Drohpunkt 

UG 

X 

v 2.min 

X 

v 2.max 

X 

X 

Hyperebene 

Hyperebene 

effizienter effizienter 

Verteilungen 

Verteilungen 

für für den den 

Effizienzgewinn EffizienzgewinnG 

v 3.min 

X 

v 1 

v 1.min 

v 1.max 

G

Agenda 

 



 



 

 

 


Exkurs: Anwendungsbeispiel für den τ-Wert 

 



4 Exkurs: ein Anwendungsbeispiel für den τ-Wert (1/7) 

 

Anwendungsbeispiel in enger Anlehnung an 

 

CURIEL (1997), S. 1 ff. 

FROMEN (2004), S. 35 f., 83 f., 106 (in Verbindung mit S. 247), 123 u. 131 

 

Instanz des generischen Verteilungsproblems mit 

5 Akteuren A 1 ,...,A 5 

Effizienzgewinn G in der Höhe von 100 T€ 

 

im Folgenden als Supply-Web-Verteilungsspiel bezeichnet 

 

Koalitionen: 

große Koalition K 0 = {A 1 ,...,A 5 } 

 

2 5 -1 = 31 Koalitionen K m 

5 Marginalkoalitionen MK n = K 0 \{A n } 

15 Außenseiterkoalitionen AK n.q je Akteur A n mit q=1,…Q n und Q n =15, 

also insgesamt 75 Außenseiterkoalitionen 



Werte c A 

(K m 

) der charakteristischen Funktion c A 



Werte c A 

(K m 

) der charakteristischen Funktion c A 

für alle Marginalkoalitionen MK n 


4 Exkurs: ein Anwendungsbeispiel für 

den τ-Wert (4/7) 

Drohpotenziale c A 

(AK n.q 

) der 

Außenseiterkoalitionen AK n.q 

zur Berechnung dieser Drohpotenziale 

werden „indirekt“ doch alle Werte der 

charakteristischen Funktion c A benötigt, 

sofern nicht von vornherein 

einzelne Außenseiterkoalitionen 

ausgeschlossen werden können: 

• nicht-maßgebliche Akteure 

• unwesentliche Außenseiterkoalitionen 

© Zelewski: 


19.12.2007 in Essen 45 / 56


Komponenten v n.max 

der oberen Grenze OG 

für den τ-Wert 

exemplarische 

Komponente v 5.min 

der unteren Grenze UG 

für den τ-Wert 

5.min 5 5 

{ } { 0,10,10} 

v = max 0,a ,b = = 10 

wegen: 

( ) ({ }) 

a = c AK = c A = 10 

b 

5 5.1 5 

5 

⎧⎪ 

⎫ 

c( AK5.q ) vm.max 

q 2,...,15 

⎪ 

= max⎨ − ∑ 

= ⎬ 

⎪ 

m∈( IN 5.q \{} 

⎩ 

5 ) 

⎪⎭ 

⎧20 −10,30 −20,35 −25,45 −35,40 − (10 + 20),45 − (10 + 25),55 − (10 + 35), ⎫ 

⎪ ⎪ 

= max ⎨55 − (20 + 25),65 − (20 + 35),70 − (23 + 35),65 −(10 + 20 + 25), ⎬ = 10 

⎪75 − (10 + 20 + 35),80 − (10 + 25 + 35),90 − (20 + 25 + 35) 

⎪ 

⎩ 

⎭ 



v τ = 1 / 23 • (170,340,425,625,740) 

Komponenten v n.τ 

des τ-Werts für das Supply-Web-Verteilungsspiel 



die τ-Wert-Funktion verläuft 

• weder proportional 

zum Indikator v 5.max 

für die Verhandlungsstärke 

des Akteurs A 5 

aufgrund des 

positiven Netzwerkeffekts, 

sondern lediglich unterproportional 

• noch proportional 

zum Indikator v 5.min 

für die Verhandlungsstärke 

des Akteurs A 5 

aufgrund des 

negativen Netzwerkeffekts, 

sondern sogar überproportional 

exemplarischer Verlauf der 

τ-Wert-Funktion für den Akteur A 5 

5.max 5.min 

( ) = 

f v ,v 

5. τ 5.max 5.min 

95 i v −10 i v 

85 + v −v 

5.max 

5.min 


Agenda 

 



 



 


 

 

 




5 Diskussion des τ-Wert-Lösungskonzepts (1/7) 

 

charakteristische Eigenschaften des τ-Werts als Lösung 

für das Problem, den Effizienzgewinn eines Supply Webs 

auf dessen Partner „fair“ zu verteilen 

 

Kompromisslösung als Linearkombination zwischen 

 

 

Idealpunkt für die Beitragsleistungen / positiven Netzwerkeffekte 

Drohpunkt für die Drohpotenziale / negativen Netzwerkeffekte 

aller Akteure, die im Supply Web kooperieren 

 

Kompromiss entspricht intuitiven Fairnessverständnissen 

 

 

intuitiv einfachster Kompromiss „geradlinige“ Verbindung 

PARETO-optimaler Kompromiss Erfüllung der Effizienzbedingung 



 

Erfüllung der Rationalitätsanforderung 

 

Explizierung von vier „vernünftigen“ Rationalitätsannahmen 

Bedingung individueller Rationalität 

Bedingung kollektiver Rationalität hinsichtlich 

der maximal zurechenbaren Gewinnanteile 

Bedingung kollektiver Rationalität hinsichtlich 

der minimal zuzurechenden Gewinnanteile 

„erste“ Kandidaten 

Minimalitätsbedingung 

z.B. kritisiert durch 

FROMEN (2004) 

Effizienzbedingung im Sinne der PARETO-Optimalität 

 

 

sukzessives Einschränken der Handlungsspielräume 

für „rational“ vertretbare Verteilungsergebnisse 

angreifbar durch Bezweifeln der Rationalitätsannahmen 



 

Erfüllung der Existenz- und Eindeutigkeitsanforderung 

 

 

für jede Instanz (Existenzaspekt) des generischen Verteilungsproblems 

gibt es genau eine Lösung (Eindeutigkeitsaspekt) 

Existenzanforderung nur dann nicht erfüllt, wenn in Sonderfällen 

die zusätzliche Integritätsbedingung für quasi-balancierte 

(Verteilungs-) Spiele verletzt wird 

 

Erfüllung der Anforderung minimaler Koalitionskenntnisse 

 

besser erfüllt als bei SHAPLEY-Wert und Nucleolus 

nur: große Koalition, Marginal- und Außenseiterkoalitionen 

Außenseiterkoalitionen können aber „indirekt“ 

alle denkmöglichen Koalitionen umfassen 

Fortentwicklungen: 

• nicht-maßgebliche 

Akteure 

• unwesentliche 

Außenseiterkoalitionen 



 

Erfüllung der Intelligibilitäts- und Kommunizierbarkeitsanforderung 

 

zwei Eigenschaften des τ-Werts unterstützen die intuitive 

Nachvollziehbarkeit, dass er eine faire Gewinnverteilung leistet 

Kompromisslösung zwischen widerstreitenden Interessen 

Proportionalität zwischen Verhandlungsstärke und Gewinnanteil 

 

Zustandekommen des τ-Werts durch sukzessives Einschränken des 

Lösungsraums mithilfe von Rationalitäts- und Integritätsbedingungen 

leicht nachvollziehbar und somit auch gut kommunizierbar 

 

3 betriebswirtschaftlich plausible „Ankerpunkte“ für den τ-Wert 

Idealpunkt, Drohpunkt und Hyperebene der PARETO-Optimalität 

 

τ-Wert als leicht nachvollziehbare Linearkombination 



 

Erfüllung der Akzeptabilitätsanforderung 

 

 

in der Tat gibt es − neben Rationalität / Integrität − „gute Gründe“, 

eine Verteilung von Effizienzgewinnen als fair zu akzeptieren 

Anteil eines Akteurs am zu verteilenden Effizienzgewinn 

„in etwa“ proportional zu seiner Verhandlungsstärke 

gemessen durch seine Beitragsleistung zum Zustandekommen 

der großen Koalition als positiver Netzwerkeffekt und 

gemessen durch sein Drohpotenzial, das Zustandekommen der 

großen Koalition durch Gründung von mindestens einer 

Außenseiterkoalition zu verhindern, als negativer Netzwerkeffekt 

 

Kompromisslösung zwischen den Interessen der Akteure 

manifestieren sich im Ideal- und im Drohpunkt 



 

Vorzug gegenüber alternativen spieltheoretischen Lösungskonzepten 

wie z.B. SHAPLEY-Wert und Nucleolus 

die „guten Gründe“ für die Akzeptabilität als faires Verteilungsergebnis 

offen zu legen (Explizitheit) und 

unmittelbar zum Gegenstand der Berechnung des τ-Werts zu machen 

(Operationalisierung) 

 

Schwäche gegenüber anderen spieltheoretischen Lösungskonzepten 

Explizitheit und präzise Operationalisierung laden zur Kritik ein 

• Gewinnanteile „notwendig“ ca. proportional zur Verhandlungsstärke? 

• Verhandlungsstärke „notwendig“ durch die o.a. positiven 

und negativen Netzwerkeffekte zu messen? 

nein! 



Fazit: 

 

 

Effizienzgewinne in Supply Webs lassen sich modellgestützt monetär ermitteln 

Effizienzgewinne lassen sich „fair“ auf die Partner eines Supply Webs verteilen 

 

mittels spieltheoretischer Konzepte 

 

 

 

Lösungen existieren 

Lösungen sind eindeutig 

Lösungen sind rational begründbar / kommunizierbar 

 

Voraussetzungen für die Konzeptanwendung 

 

 

umfangreiches Datenmaterial über Koalitionen aus der Praxis 

Expertise zur Modellierung und Lösung realer bzw. formaler Probleme 


Literaturhinweise (1/2) 

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• Zelewski, S.: Faire Verteilung von Effizienzgewinnen in Supply Webs – ein spieltheoretischer Ansatz auf der Basis des 

τ-Werts, in: Produktions- und Logistikmanagement, hrsg. v. H. Corsten u. H. Missbauer, München 2007, S. 551-572.

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