Psychologische Diagnostik - Universität Regensburg

Mx = (X | f) o f ist eine zusammengesetzte
Abbildung, wobei X und f über dem
gleichen Wahrscheinlichkeitsraum definiert
sind. Nur auf die B bedingt, macht
Mx aus der Zufallsgröße X eine neue Zufallsgröße
Mx, im Raum aus einem Vektor
einen neuen. Man spricht deshalb von einem
Operator Mx.
Mx ein linearer Operator
Kovarianzen
cov(Mx,Y) = cov(X,My) = cov(Mx,My),
weil (MxY) = (Mxy) = (MxMy)
= (MxMy ) = (XMy). Weiterhin gilt
cov(Mx,Y) = (MxY) - ( (Mx)) (Y) =
(MxMy) - ((Mx))((My)) =
cov(Mx,My).
Es gilt Mx+y(ω) = ( X + Y | γ(ω))
= ( X | γ(ω)) + ( Y | γ(ω))
= Mx(ω) + My(ω), für jedes
ω Ω
und deshalb Additivität
Mx+y = Mx + My,
außerdem Homogenität
Mαx = α Mx, für alle α .
Reliabilität als True-Score Anteil
Satz 1: ² (X, Mx) = var(Mx) / var(X).
Beweis: Einsetzen von
cov(Mx,X) = cov(Mx,Mx) = var(Mx)
in die Definition von
² := cov(X, Mx)²/ (var(X)var(Mx)).
Sonderfall: Konstanten
Sei Y eine auf jeder Äquivalenzklasse von
Ω konstante Zufallsgröße.
Dann gilt wegen der Linearität
Mxy(ω) = ( XY | (ω) )
=(X| (ω) ) Y(ω)
=Mx (ω) Y(ω), für jedes ω Ω
und deshalb Mxy = Mx Y.
Wegen ( Mx | Ω) = ( X | Ω)
gilt ( Mx ) = (X). Außerdem
Mx-x = Mx - ( Mx).
Validität höchstens gleich Reliabilität
Satz 2: (X, My) (X, Mx).
Beweis: Wegen cov(Mx,My)²
var(Mx)var(My),
der Schwarzschen Ungleichung, und wegen
cov(Mx,Y) = cov(X,My)
nach Einsetzen unter Benutzung von Satz
1.
Bedingt unabhängige Zufallsgrößen
X1 und X2 sind bedingt unabhängige Zufallsgrößen
in Bezug auf f, wenn für alle
(ω) B aus < Ω, , > die Zufallgrößen
X1 | (ω) und X2 | (ω) unabhängig
sind. Für sie ist die bedingte Erwartung