Psychologische Diagnostik - Universität Regensburg

ihres Produkts gleich dem Produkt ihrer
bedingten Erwartungen:
Satz: Mx1x2 = Mx1 Mx2,
Beweis: Wegen
Mx1x2 = (X1X2| (ω))
= (X1 |(ω))( X2 |(ω))
=Mx1(ω)Mx2(ω), für jedes ω Ω.
Paralleltests
Zufallsgrößen X1 und X2 sind bedingt auf
f identisch verteilt, wenn für alle D Λdie
Zufallsgrößen X1|D und X2|D identisch
verteilt sind, d. h., die induzierten Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Px1|D und
PX2|D sind gleich.
Wenn dies für X1 und X2 der Fall ist, so
gilt Mx1 = Mx2, aber nicht ohne weiteres
die Umkehrung.
Paralleltest-Korrelation als Reliabilität
Satz 3: Seien X1 und X2 bedingt unabhängige,
bedingt identisch verteilte Zufallsgrößen.
Dann gilt
ρ(X1,X2) = var(Mx1) / var (X1).
Beweis:
cov(X1,X2)=X1X2 - X1X2
=Mx1x2 - Mx1 Mx2, wegen Mx =
X,
=Mx1,Mx2 - Mx1Mx2, wegen Mx1x2
= Mx1Mx2,
=cov(Mx1,Mx2) = var(Mx ) = var(Mx2),
und Einsetzen in
(X1,X2) = cov(X1,X2)/(X1X2)
Def.: Zufallsgrößen X1 und X2 sind bezogen
auf f bedingt unkorreliert, wenn für
alle D Λ die Zufallsgrößen X1|D und
X2|D unkorreliert sind, d. h.
cov(X1|D,X2|D) = 0.
Bedingt unabhängige Zufallsgrößen sind
bedingt unkorreliert, aber i. a. nicht umgekehrt.
X1 und X2 sind bedingt unkorreliert,
gdw. Mx1x2 = Mx1 Mx2.
Testverlängerung durch parallele
Teile
Satz 4: Seien X1, X2, ...Xn bedingt unabhängige,
bedingt identisch verteilte Zufallsgrößen
und Sn = X1 + X2 + ... + Xn.
Es gilt
ρ²(Sn,Msn)
= n ρ²(X1,Mx) /[1 +(n-1) ²(X1,Mx1)].
Beweis: Da X1, X2, ...Xn bedingt unabhängig
und bedingt identisch verteilt sind,
gilt cov(Xi,Xj)=cov(Mxi,Mxj)=var(Mx1)
für i,j=1,2,...,n. Außerdem gilt,
wie im Beweis von Satz 3 Var(Sn)=
Σvar(Xi)+cov(Xi,Xj)=n var(X1)+n (n-
1)var(Mx1),
und var((Msn)= n² var(Mx1). Wegen
ρ²(Sn,Msn) = var(Msn/var(Sn) und
ρ²(X1,Mx1)= var(Mx1)/varX1) nach Einsetzen
gilt wegen ²(X,Mx) = var(Mx)/
var(X) die Behauptung.
Der Meßfehler
Def: Das Komplement der bedingten Erwartung
von X bezogen auf f ist eine Zufallsgröße
(X – Mx) : Ω , gegeben durch
(X - Mx)() =X() –Mx(), für jedes
Ω.
Bezeichnet man den Identitätsoperator mit
1, so lässt sich 1 – M als der Operator auffassen,
der aus der Zufallsgröße X die Zufallsgröße
X – Mx macht. Mx-Mx =0 wegen
MMx= Mx und