Psychologische Diagnostik - Universität Regensburg

Mx-Mx = (X – Mx) = 0, wegen Mx
= X.
True-score und Fehler unkorreliert
Weiterhin gilt
[(X – Mx)Y] = (XY)-(MxY) =
(XY) - (XMy) = [X(Y-My)], und
[(X-Mx)(y – My)] = (XY) - (MxMy)
= (XY)- (MxY). Weil (X – Mx) = (Y
– My) = 0,
ist hierdurch bewiesen, daß cov(X –
Mx),Y) =cov(X,Y – My)=cov(X – Mx,Y –
My),
speziell:
cov(X – Mx,X) = cov(X-Mx,Y – My) =
var(X – Mx).
Außerdem: cov(X – Mx,My) = cov(X,My
– MMy) = cov(X,0) = 0. Also:
Cov(X-Mx,Mx) = 0.
Geometrische Repräsentation
und m Testwiederholungen, ist L2() ein
n-dimensionaler Euklidischer Raum und
L2() ein m-dimensionaler Unterraum.
Das Skalarprodukt zweier auf den Erwartungswert
bezogenen Zufallsgrößen ist ihre
Kovarianz
< (X - X, Y - Y > = cov(X,Y).
Standardabweichung entspricht der
Vektorlänge
Die Norm einer auf ihren Erwartungswert
bezogene Zufallsgröße ist ihre Standardabweichung.
|| X - X || = X .
Für eine Zufallgröße X L2() ist die
bedingte Erwartung Mx durch die Projektion
von X auf L2() gegeben.
Fehlerverteilung als othogonale
Projektion
Das Komplement der bedingten Erwartung
X – Mx ist die Projektion von X auf
das orthogonale Komplement von L2().
Sei < Ω, , > ein Wahrscheinlichkeitsraum
und eine -Algebra, die
durch den zufälligen Punkt f : Ω induziert
ist. Sämtliche Zufallgrößen mit endlicher
Varianz, die auf < Ω, , > definiert
sind, bilden den Hilbert-Raum L2().
Er besitzt das Skalarprodukt < X1, X2 > =
(X1X2) und die Norm ||X|| = X² .
L2() bildet einen abgeschlossenen Unterraum
von L2().
Bei endlichen Wahrscheinlichkeitsräumen,
wenn Ω n Elemente und m
Elemente enthält, also z. B. bei N Tests
Der Operator M, der jedem X seine bedingte
Erwartung Mx zuordnet, und der
Operator 1 – M , der jedem X das Komplement
der bedingten Erwartung X - M
zuordnet, sind orthogonale Projektionen.
X² = T² + E² als Satz des Pythagoras
Jede Zufallsgröße X L2() ist die eindeutige
Summe einer Zufallgröße Mx im
Unterraum L2() und einer Zufallsgröße X
– Mx im orthogonalen Komplement von
L2(). Es gilt
||X||² = || Mx ||² + || X – Mx ||² ,