Psychologische Diagnostik - Universität Regensburg

Ist die Abbildung so gewählt, daß die
Differenz c des Bildes b = (x) und des
Urbildes x orthogonal zu allen Elementen
U ist, so spricht man von einer Projektion
auf U. Es gilt dann x = b c. Diese Zerlegung
von x ist eindeutig. Man sagt, diese
beiden Unterräume sind Orthogonalkomplemente
voneinander.
Ein für die Testtheorie wichtiger Satz
konstatiert die folgenden Gleichheiten:
a, b ab | a | | b | cos
(1.1)
1
n
i
i
m it 0 .
Daraus folgt ,daß das Skalarprodukt < a,b>
dividiert durch |a| uns |b| gleich dem cos
ist, also zwischen -1 und +1 liegt. Auf
Grund dieser Ungleichung kann man den
Korrelationskoeffizienten geometrisch
durch den Kosinus des von den Testvektoren
eingeschlossenen Winkels repräsentieren.
Auf diese Weise werden Tests als
Vektoren der Länge ihrer Standardabweichungen
in einer Richtung repräsentiert,
die durch ihre Korrelation mit Bezugstests
gegeben ist.
Summen von Zufallsgrößen
Werden die Zufallsgrößen X,Y : Ω →
als stets auf die Komponenten ω Ω, z. B.
Rohwertklassen, bezogen zusammengezählt,
so ist die Operation additiv:
(X Y)(ω) : = X(ω) +Y(ω) für jedes ω.
Beispiel: Sei X die Auswertung der einer
Aufgabensammlung der weiblichen Vpn.,
Y die entsprechende Auswertung der ännlichen,
so ist die Summe eine Zufallgröße,
über alle Personen. Sie besitzt Erwartungswert
und Varianz.
Produkte von X und Y
Der Begriff des (auf jede Ausprägung ω
der Zufallsgrößen X und Y bezogenen)
Produktes von Zufallsgrößen ist definiert.als
(X Y)(ω) := X(ω)Y(ω) für jedes ω.
Beispiel: Die Berechnung der Produktes
der Ergebnisse X und Y aus dem vorangegangenen
Beispiel. Auch hier ist der Bezug
wieder auf die Ausprägungen ω der Zufallsgrößen.
Produktbildung geht ein in die
Berechnung der Kovarianz
cov(X,Y) = (XY) - (X) (Y).
Zimmermann (1975)hat gezeigt, daß die
Repräsentation der Addition und Multiplikation
von Testergebnissen als reellwertige
Zufallsgrößen X über einem gemeinsamen
Wahrscheinlichkeitsraum < Ω, , > die
Grundbegriffe der klassischen Testtheorie
als die Eigenschaften einer geometrischen
extensiven Struktur repräsentierbar macht.
Sie gestattet eine besonders transparente
Darstellung der Theorie.
Ein (reeller) Hilbert-Raum
ist definiert als vollständiger linearer Vektorraum
über , in dem ein skalares Vektorprodukt
(X,Y) = Σ XY gegeben ist, bei
dem stets gilt (X,X) ≥ 0, und aus (X,X) = 0
folgt X = 0. Ein Beispiel ist der gewöhnliche
uns umgebende dreidimensionale
Raum. Bei den Anwendungen aus der
Testtheorie ist die Anzahl der Dimensionen,
über die bei der Skalarproduktbildung
zu summieren ist, meist gleich der Anzahl
der vorkommenden Testwerte. Ein dreidimensionales
Beispiel ist ein Test, dessen