Einführung in die Psychologie, Farbwahrnehmung - am Institut für ...

Psychologie des Farbensehens
Prof. Dr. Jan Drösler
Universität Regensburg
WS 2010/2011
Vorbemerkung
Der Studienanfänger an einer wissenschaftlichen
Hochschule sollte berücksichtigen,
daß er in seinem Studium nicht mit
dem gesamten Bereich der Psychologie,
sondern nur mit den Teilbereichen davon
in Berührung kommt, die wissenschaftlich
bearbeitet sind. Wer andere Bereiche der
Psychologie erfahren will, wird sich mit
schöner Literatur, mit der bildenden Kunst
oder dem Theater auseinandersetzen.
Der Begriff der Wissenschaftlichkeit hat
sich in der Kulturgeschichte und Psychologie
fortentwickelt. Heute läßt er sich auf
die einfache Aussage reduzieren, wissenschaftliche
Sätze sind beweisbare Aussagen.
Ein Beweis wiederum ist eine logische
Ableitung aus bestimmten Voraussetzungen.
Ein psychologischer Satz ist demnach
eine Ableitung aus Voraussetzungen,
die sich auf menschliches Verhalten beziehen.
Es sind in der Regel Verhaltensbeobachtungen.
Diese Reduktion der Definition etwa im
Vergleich zur Zeit um 1900, als ein Wiener
Psychiater noch viel Beachtung fand, der
Gelegenheitsbeobachtungen oder gar eigene
Erlebnisse zur Grundlage weitreichender
Folgerungen machte, ist ihrerseits wieder
durch Erfahrung begründet. Experimentelle
Begründung ergibt bessere Prognosen,
während beispielsweise die Remission
von Symptomen krankhaften Verhaltens,
behandelt nach den Vorschriften des
erwähnten Wiener Psychiaters sich ebenso
schnell bzw. langsam vollzieht, wie die
Remission der gleichen Symptome bei
Personen, die wegen Überbeschäftigung
der Behandelnden keinerlei Konsultation
erhalten hatten (z. B. Eysenck, 1967).
Menschliches Verhalten ist im einzelnen
nicht vorhersagbar. Es erfüllt damit die
Kriterien, die in der Wahrscheinlichkeitslehre
den Begriff des zufälligen Ereignis
ausmachen. Sicher ist, um eine einfaches
Beispiel heranzuziehen, daß ein Proband
eine ihm vorgelegte Aufgabe löst oder
nicht löst. Diese Art von Charakterisierung
zufälligen Geschehens reicht aber mit einigen
anderen Annahmen aus, um eine anwendbare
Theorie der Wahrscheinlichkeit
zu begründen (Kolmogorov, 1933).
Der Zufallscharakter des menschlichen
Verhaltens als Gegenstand der Psychologie
ist bei Verhaltensbeobachtungen zur
Schaffung sachlicher Grundlagen von psychologischen
Sätzen besondere Anforderungen
zu berücksichtigen. Diese empirischen
Voraussetzungen werden in psychologischen
Experimenten gelegt. Von ihnen
ist gefordert, daß sie, wie die Experimente
in anderen Wissenschaften, deren Gegenstand
aus zufälligen Ereignissen besteht (
z. B. Meteorologie, Biologie, Volkswirtschaftslehre
oder Teilchenphysik),
gewisse Anforderungen der Inferenzstatistik
erfüllen (z. B. Winer, 1971)..
Diese Vorlesung benützt zur Einführung in
die Psychologie die Farbwahrnehmung,
eine Thematik, die angesichts vieler drängender
Probleme unserer Gesellschaft hergeholt
erscheinen mag. Leider sind die
psychologischen Aspekte von Phänomenen
wie der Kriminalität oder der menschlichen

Partnerwahl um nur zwei „interessante“
Gebiete zu nennen, experimentell und damit
naturwissenschaftlich so wenig erforsch,
daß darüber meist nur versuchsweise
(„essayistische“) Erörterungen zustande
kommen. Das Studium der Farbwahrnehmung
dagegen kann auf einen Forschungstand
zurückgreifen, der durch ein ausgewogenes
Verhältnis von experimentellen
Ergebnissen und einer geschlossenen, logisch
daraus ableitbaren Theorie zu beschreiben
ist. Die Theorie ist verzweigt
genug, neben den allgemeinen Aussagen
auch – was die Farbenfehlsichtigkeit angeht
– differentiellpsychologische Feststellungen,
sogar praktischer Art, zu treffen.
Das Reizgeschehen
Die Empfindung Farbe wird ausgelöst,
wenn bestimmte Elektromagnetische
Schwingungen auf die Zapfen genannten
Rezeptoren der Netzhaut eines gesunden
Auges fallen. Es sind dies die Schwingungen
einer Wellenlänge zwischen etwa 350
nm und 700 nm. Ein nm ist 10^-9 Meter,
also ein Millionstel Millimeter. Es gibt
elektromagnetische Strahlungen anderer
Wellenlängen, die im allgemeinen nicht
wahrnehmbar sind. Neben den sichtbaren
Wellenlängen gibt es Infrarot- oder Wärmestrahlen,
die mit eigenen Rezeptoren
wahrgenommen werden.
Der theoretische Bereich der Psychologie
des Farbensehens bedient sich darüber hinaus
kanonischer algebraischer Strukturen
mittels einer im Kleindetail experimenteller
Begründung. Damit beteiligt sich die
Psychologie an dem traditionell interdisziplinären
Projekt einer Farbenlehre, die
über die Wahrnehmungsfragen hinaus auch
Probleme etwa der Farbästhetik oder der
Nachrichtentechnik des Farbfernsehens
umfaßt. Daraus ergeben sich Gelegenheiten
für den angewandten Psychologen, der
sich etwa mit der Gewährleistung von
Farb-Invarianz zwischen Computerbildschirm
und Farbdrucker beschäftigt, auch
über die Grenzen der Wahrnehmungspsychologie
hinauszublicken.
Struktur
Eine Beschäftigung mit der Farbwahrnehmung
setzt Bekanntschaft mit einigen elementaren
Begriffen der Strukturlehre voraus,
wie sie auf den ersten Seiten von
Lehrbüchern der abstrakten Algebra eingeführt
werden ( z.B. v. d. Waerden, 1932),
Die verwendeten Begriffe werden sukzessive
definiert, ausgehend von Primitiva, die
zur „naiven“ ( d. h. nicht der axiomatischen)
Mengenlehre gehören.
Abbildung: Elektromagnetische Wellen
mit sichtbarem Bereich.
Ein Weg, sichtbare Elektromagnetische
Strahlung herzustellen, ist die Erwärmung
eiens schwer entzündbaren Gegenstandes,
z. B. Platin. Mit steigender Temperatur
verbreitet sich das Spektrum, also die wellenlängenabhängige
Energieverteilung

vom infraroten zum sichtbaren bereich und
darüber hinaus.
Strahlungserzeuger nennt man in diesem
Zusammenhang selbstleuchtend. Die Farbrezeptoren
werden aber auch von Strahlungen
getroffen, die von der Oberfläche der
Gegenstände zurückgeworfen werden. Der
Rückwurf der eingefallenen Strahlung
hängt von den spezifischen Absorbtionseigenschaften
der Materialien ab. Wolle löst
dann die Empfindung rot aus, wenn sie
kurzwellige Strahlung im sichtbaren Wellenlängenbereich
eher absorbiert und
langwellige eher reflektiert.
Lichtbrechung
Abbildung: Planckscher Strahler
Diese Erzeugung von Strahlung mittels des
Planckschen Strahlers heißt Inkandeszenz.
Eine andere Art der Strahlungserzeugung
ist die Fluoreszenz, wie sie beispielsweise
in Leuchtstoffröhren stattfindet. Das entstehende
Strahlungsspektrum hängt vom
Druck des fluoreszierenden Gases ab. Bei
niedrigem Druck entsteht ein Linienspektrum,
bei hohem Druck ein kontinuierliches
Spektrum.
Beim Übergang von einem Medium (z. B.
Luft ) in ein anderes (z. B. Glas) werden
elektromagnetische Strahlen in Abhängigkeit
vom Einfallswinkel, besonders aber
wellenlängenabhängig gebrochen. Längere
Wellenlängen werden stärker gebrochen.
Diesen Effekt benützt man, um zusammengesetzte
Strahlungsspektren, z. B. das
von der Sonne ausgehende, nach ihren, den
Wellenlängen zugehörigen Komponenten
aufzuschlüsseln. Die dazu dienliche Vorrichtung
ist ein Prisma.
Das dabei entstehende visuelle Phänomen
erinnert an einen Regenbogen, dessen Ursprung
tatsächlich auf die gleiche Weise zu
verstehen ist, nämlich durch die prismatische
Wirkung von Regentropfen.
Physik oder Psychologie?
Das Studium von Vorrichtungen zur Erzeugung
von Farben hat gelegentlich zu

der Auffassung geführt, Farbe sei Gegenstand
der Physik. Diese Meinung ist nicht
haltbar. Strahlung als Farbreiz ist, wie jeder
Sinnesreiz etwas Physikalisches. Die
Farbe selbst braucht für ihre Entstehung
einen Betrachter, im psychologischen Laborjagon
eine Versuchperson. Ohne Betrachter
keine Farbe!
Struktur der Farben
Munsell (1905) ließ mehrere hundert Farbplättchen
durch eine Versuchsperson nach
Farbähnlichkeit ordnen. Es ergibt sich in
reproduzierbarer Weise eine dreidimensionale
räumliche Anordnung.
Abb.: Ergebnis des Munsellschen Experiments
zur räumlichen Ordnung von Farbplättchen
nach Ähnlichkeit.
Die dabei zustande gekommenen Raumrichtungen
lassen sich als Farbattribute
identifizieren, Von unten nach oben steigt
die Helligkeit der Farbe, von innen nach
außen erhöht sich die Sättigung des Farbe
und im Umkreis um die senkrechte Achse
ändert sich der Farbton, gegen den Uhrzeigersinn
entsprechend der Abfolge im Regenbogen.
Räumliche Anordenbarkeit der Farben
führt zur Vermutung, daß die Menge der
Farben auch im wissenschaftlichen Sinne
eine Struktur trägt (vgl. z. B. v. d. Waerden,
1932). Struktur ist definiert als Menge
mit einer darauf erklärten Abbildung. Eine
Abbildung ist eine spezielle binäre Relation,
Also als eine Teilmenge des kartesischen
Produkts einer Menge mit sich
selbst. Abbildungen sind durch Linkstotalität
und Rechtseindeutigkeit ausgezeichnet.
Alle Elemente der ersten Menge stehen in
Relation zu genau einem Element der
zweiten Menge.
Für die Fachausdrücke der Strukturlehre
sind die folgenden Abkürzungen üblich:
Eine Relation R ist eine Teilmenge des
kartesischen Produkts einer Menge A mit
sich selbst: R A A. Eine Menge mit
einer Relation bildet ein Relativ. Beispiel:
Farbreize A und die Relation „mindestens
so hell“ : < A, > . Eine Abbildung
ist eine linkstotale rechts-eindeutige Relation.
Beispiel Farbmischung: : A A
A. Eine Struktur ist eine Menge mit einer
darauf erklärten Operation < A, >.
Es zeigt sich, daß diese Definition einer
Abbildung auch im technischen Sinne von
Farben erfüllt wird, wenn man Farbmischung
betrachtet. Je zwei Farben gemischt
ergeben genau eine neue Farbe. Hier ist
nicht von der Mischung von Farbstoffen
die Rede, sondern von der Übereinanderprojektion
von Reizspektren. Sie läßt sich
etwa durch Verwendung mehrerer Farbdia-
Projektionen verwirklichen. Die Grenze
der räumlichen Auflösung des menschlichen
Auges führt auch zu einer Farbmischung,
wenn die beiden Reizspektren nebeneinander
aber unter der räumlichen
Auflösungsschwelle des Auges projiziert
werden. Dieses Prinzip wird von den Farbfernseh-
und Computerbildschirmen genutzt.
Schließlich kommt Farbmischung ebenfalls
zustande, wenn die Zeitliche Auflösungsschwelle
des Auges bei Nacheinanderprojektion
der beiden Reizspektren unterschritten
wird. Das ist der Fall, wenn sie
im Rhythmus von 0,05 s oder schneller
abwechselnd projiziert werden. Diese
Technik der Farbmischung benutzte Goe-

the mittels eine Farbkreisels für seine
Farbversuche. Der Nachteil dieses ohne
selbstleuchtende Reize arbeitenden Verfahrens
liegt darin, daß hohe Leuchtintensitäten
nur sehr schwer, oder bei Goethe nicht
herstellbar waren. Er kam dadurch von
seinen Beobachtungen zu sachlich falschen
Schlüssen und fiel teilweise hinter den
Kenntnisstand von Newton, mehr als hundert
Jahre vor ihm zurück.
Die Versuchsanordnung
Da jede Fernsehbildröhre drei verschiedene
Phosphore verwendet, die blau, grün
und rot leuchten, kann man auf einem
Computerbildschirm ein einfaches Farbmischgerät
realisieren. Es gibt auf der linken
Seite einen Halbkreis, dessen Komponenten
zufällig ausgewählt vorgegeben
werden (Abbildung).
Die Komponenten des rechten Halbkreises
sind von der Versuchsperson mittels der
Computer-Maus einzeln regelbar (Abbildung).
Die Versuchsperson wird instruiert, visuelle
Ununterscheidbarkeit der beiden
Halbkreise herzustellen. Geräte diese Art
arbeiten zufriedenstellend, besitzen aber
den Nachteil, daß der vorgegebene Reiz
aus technischen Gründen immer nur aus
den gegebenendrei Primärfarben hergestellt
wird. Wünschenswert ist die Vorgabe
beliebiger physikalischer Spektren
Eigentliche und uneigentliche Farbmischung
Eine Schwierigkeit bei der Farbmischung
besteht darin, daß man mit einer festen
Anzahl – z. B. drei – Grundfarben stets nur
einen bestimmten Vorrat von Farben (englisch
gamut) ermischen kann. Dieser Vorrat
wechselt, wenn man andere Grundoder
Ausgangsfarben heranzieht. Eine
Theorie des Farbensehens will sich auf alle
Farben, also auf die Mengenvereinigung
aller möglicher Farbvorräte beziehen.
Graßmann (1853) erreichte dies durch Einführung
der uneigentlichen Farbmischung.
Ist eine vorgegebener Reiz durch drei bestimmte
Grundfarben für die Versuchsperson
nicht ermischbar, so kann sie trotzdem
Metamerie herstellen, indem sie eine der
Grundfarben zum vorgegebenen Reiz hinzumischt
und mittels geeigneter Dosierung
der beiden anderen dazu Metamerie herstellt.
Mittels eigentlicher oder uneigentlicher
Farbmischung sind alle Farben aus
einem festen Grundfarbentripel ermischbar.
Das Relativ < A, > bestehend aus
den Reizspektren und der Farbmischopration
ist eine Struktur-
Wenn Farbmischung empirisch eine
Struktur begründet, so ist von Interesse
welche Eigenschaften diese Struktur besitzt
und ob es sich dabei um eine auch
sonst in der Wissenschaft auftretende kanonische
Struktur handelt.
Kanonische Struktur: Gruppenstruktur
Ein Grund, Suche nach Strukturen zum
Ziel der wissenschaftlichen Forschung zu
erklären, liegt in der historischen Erfahrung,
daß häufig auch in neu erschlossenen
Sachbereichen die gleichen Strukturen
gefunden werden, die bereits in anderen
Bereichen aufgetreten sind. Eine solche
kanonische Struktur ist die Gruppenstruktur.
Das Relativ < A , o >, bestehend aus
einer Menge A und einer Verknüpfung o
bildet eine Gruppe, wenn die Verknüpfung
abgeschlossen und assoziativ ist, ein neutrales
Gruppenelement sowie zu jedem

Gruppenelement ein inverses Element
existiert- Assoziativität bedeutet: Für alle
a,b,c aus A gilt a o (b o c) = (a o b) o c.
Abgeschlossenheit heißt: Für alle a, b aus
A ist a o b wieder in A. Für ein neutrales
Element n aus A gilt für alle a aus A ; a o
n = a. Für alle a aus A ist -a ein inverses
Element, wenn gilt a o -a = n.
Bestimmte Zahlenmengen und die Addition
tragen Gruppenstruktur
Das Motiv für die Suche nach Gruppenstrukturen
in der Natur liegt darin, daß
wichtige theoretische Relative wie z. B. die
ganzen Zahlen Z mit der Addition +
Gruppenstruktur aufweisen. Obwohl das
Relativ ein rein theoretisches ist –
Zahlen und die darauf erklärten Operationen
sind vom Menschen erdacht – besitzt
es für Naturwissenschaftler große Anziehungskraft.
Wenn nämlich eine Sachbereich
die gleiche Struktur wie ein theoretischer
Bereich aufweist, dann kann mit letzterem
so theoretisiert werden, daß die erschlossenen
Ergebnisse nicht allein rechnerisch,
sondern auch sachlich richtig sind.
Auf der Ausnutzung derartiger Strukturgleichheiten
beruht zum wesentlichen Teil
der Fortschritt der Physik. Viele zu lösende
physikalische Alltagsprobleme gestatten
die (theoretische Berechnung ihrer Lösung.
Ein physikalisches Beispiel
Mit elektrischen Gleichspannungen kann
man deshalb so trefflich Berechnungen
anstellen, weil die Elemente der Grundmenge
als Batterien gesehen werden können,
das neutrale Element als leere Batterie
und die inversen Elemente als umgekehrt
gepolte Batterien. Assoziativität der Verknüpfung
ist bei Batterien ebenfalls gegeben.
Zu fragen wäre nun, ob die Menge der
Farbreize A zusammen mit der Mischungsoperation
Gruppenstruktur trägt.
Diese Frage läßt sich unmittelbar verneinen:
Zu keinem Farbreiz existiert ein inverses
Element, dessen Beimischung zu
einem neutralen Farbreiz führen würde,
einem Reiz also dessen Hinzumischung zu
einer beliebigen Farbe visuell nichts ändert.
Es sieht so aus, als wäre damit jeder
Versuch, das Farbensehen zu quantifizieren
als aussichtslos erledigt.
Andererseits läßt sich mit physikalischen
Mengen wie Massen oder Abständen sehr
sachgerecht rechnen, obwohl aus sie keine
Gruppenstruktur an den Tag legen. Es existiert
zu einer Masse keine Inverse, die zu
ersterer in der Waagschale hinzugeführt,
deren Gewicht neutralisieren würde. Ganz
entsprechend sucht man für Längen vergeblich
nach inversen Elementen, deren
Verknüpfung mit einer gegebenen Länge
diese annihilieren würde. Dennoch repräsentieren
Berechnungen mittels zahlenmäßiger
Gruppenstrukturen, z. B. der reellen
Zahlen und ihrer Addition + sehr realistisch
das , was sich beim Zusammenfügen
von Massen oder Abständen ergibt. Es
muß also eine Beziehung zwischen Relativen
und den arithmetischen Gruppen geben,
die theoretisch tragfähig ist, auch
wenn die empirischen Relative selbst keine
Gruppenstruktur besitzen,
Halbgruppen
Analysiert man das physikalische Geschehen,
das sich beim Zusammenlegen von
Massen in der Waagschale oder beim
Aneinanderlegen von Abständen abspielt,
do stellt man fest, daß diese physikalischen
Relative empirisch eine Halbgruppenstruktur
aufweisen, Die Grundmenge ist
jeweils mit einer abgeschlossenen assoziativen
Verknüpfung versehen. Die Attribute,
die daraus eine Gruppe machen würden,
fehlen. Wenn man mit diesen Halbgruppen
rechnerisch theoretisieren kann und bekanntlich
sachlich richtige Ergebnisse erhält,
so muß eine ausnutzbare Beziehung
zwischen empirischen Halbgruppen und
den arithmetischen Gruppen bestehen. Es
gibt sie. Sie wurde von Hölder,1901, beschrieben.
Das Stichwort heißt Einbettung
einer Halbgruppe in eine Gruppe.

Fingerrechnen
Dieser Einbettungsvorgang ist jedem von
uns aus seiner Grundschulerfahrung geläufig,
wenn er sich an das Fingerrechnen
erinnert. Eine Grundmenge von Fingern
und die Operation des Zusammenfassens
mehrerer Finger besitzt Halbgruppenstruktur.
Dieses Zusammenfassen als arithmetische
Addition zu repräsentieren ist nur
beschränkt möglich. Auch wenn man ausdrücklich
drei Finger in einem Gegebenen
Zusammenhang als invers erklärt, erbringt
deren Zusammenfügung mit beispielsweise
einem Finger kein Ergebnis. Die Lehrerin
sagte damals, das Abziehen der drei von
einem „geht nicht“. Wir Schüler nahmen
das hin, ohne nach dem Warum zu fragen,
Erst in den oberen Klassen haben wir etwas
von negativen Zahlen und den zugehörigen
Sachverhalten, beispielsweise Geldschulden,
erfahren.
Kanonische Einbettung
Die Bemühungen unserer Grundschullehrerin
um das Fingerrechnen waren nicht
vergeblich, weil sich das Relativ bestehend
aus Fingern und ihrer Zusammenfügung in
eine empirische Gruppe ebenso einbetten
läßt, wie die Halbgruppe der natürlichen
Zahlen mit + in die Gruppe der ganzen
Zahlen mit +. Das geschieht dadurch, daß
man das kartesische Produkt der Menge
der natürlichen zahlen mit sich selbst bildet.
Man erhält die Menge von Paaren natürlicher
Zahlen und richtet das Augenmerk
auf die Differenz bei jedem Paar.
Paare mit gleicher Differenz in einer Richtung
(z. B. erster Paarling größer als der
zweite) erklärt man als neue Grundmenge.
Sie bildet mir einer neu zu definierenden
Addition der Differenzen weiterhin eine
Halbgruppe. Fügt man die Differenzen der
anderen Art (jetzt erster Paarling kleiner
als der zweite) hinzu, so besitzt jedes Element
der Ausgangsmenge nun ein inverses
Element, die Paare mit gleichen Paarlingen
sind neutrale Elmente. Will man, daß jedes
Element nur einmal vorkommt, so betrachtet
man nicht die eben konstruierte Menge
der Paare, sondern deren Äquivalenzklassen,
die jede stets gleiche Differenzen
enthält. Der Prozeß wird kanonische Einbettung
genannt.
Hölders Beitrag von 1901
Der Beitrag von Otto Hölder bestand darin,
daß er im einzelnen untersucht hat, welche
Halbgruppen sich in Gruppen einbetten
lassen. Dabei stieß er unter anderem auf
die sogenannte Aufhebungseigenschaft. Im
Zusammenhang des Farbensehens formuliert
verlangt sie: Sind zwei Farbreize metamer
(visuell nicht unterscheidbar) dann
bleiben sie metamer, wenn man zu beiden
den gleiche dritten Farbreiz hinzumischt.
Es fügt sich, daß Hermann Graßmann bereits
1853 diese Aussage experimentell
untersucht und für das Farbensehen bestätigt
gefunden hat. Sie heißt heute das zweite
Graßmannsche Gesetz. Grassman hat
darüber hinaus erkannt, daß dies die kritische
empirische Gegebenheit ist, die eine
Einbettung der Farbreize A und ihrer Mischung
in eine Gruppe gestatten.
Historische Anmerkung
Wenngleich uns der Durchbruch Hölders
(1901) im Verständnis der Messung vor
gut einhundert Jahren als ein lange zurückliegendes
Ereignis anmuten mag, fand er
doch vergleichsweise spät statt. Die Reduktion
der Elementargeometrie auf eine
Axiomatik, aus der sämtliche Lehrsätze
ableitbar sind, wurde von Euklid etwa 350
v. Chr. in Anknüpfung an eine lange, bis
nach Altägypten reichende Tradition geleistet.
Die Verbindung von Geometrie und
Arithmetik gelang Descartes im siebzehnten
Jahrhundert in der Entwicklung der
analytischen Geometrie. Trotzdem dauerte
es bis zum Ausgang des neunzehnten Jahrhunderts,
ehe eine der euklidischen geometrischen
Axiomatik entsprechende für
die natürlichen Zahlen durch Peano – nach
Vorarbeiten von Frege und Dedekind –

vorgelegt werden konnte. Die Zahlen hatte
bis dahin ein Schein des Numinosen umgeben,
der noch 1960 einen in der theoretischen
und empirischen Forschung überaus
erfolgreichen Physiker von einer angeblich
„unreasonable effectiveness of mathematics
in the natural sciences“ (Wigner, 1960)
sprechen ließ. Bis dahin hatte sich der einfache
Gedanke Hölders von 1901 offenbar
noch nicht herumgesprochen, daß die
Arithmetik dann und nur dann sachlich
richtige Rechenergebnisse liefert, wenn die
Struktur des betroffenen Sachbereichs im
Kleindetail der Struktur der Zahlen entspricht.
Um dies besser zu verstehen und in
der Psychologie anwenden zu können, ist
ein Blich auf die Struktur der Zahlen erforderlich.
Sachliche Richtigkeit (Erfülltheit) der
Axiome der Arithmetik
Man versteht sofort, warum die gleiche
theoretische Summenbildung beim Zusammenschütten
von Flüssigkeiten manchmal
ein sachlich richtiges Ergebnis vorausberechnen
läßt, in anderen Fällen nicht,
etwa beim Zusammenschütten von Alkohol
und Wasser. In einem Falle sind die
Axiome der Addition empirisch erfüllt, im
anderen Falle sind sie empirisch verletzt:
Theoretische Struktur: Arithmetik
Seien die natürlichen Zahlen {0, 1, 2, ...}
und s( ) die Nachfolger-Relation. Das Relativ
< , s( ), + > ist eine Struktur., weil
s( ) und + Abbildungen sind Ihre Eigenschaften
lassen sich durch drei Annahmen
(„Axiome“) beschreiben. Diese Axiome
sind dann brauchbar gewählt, wenn sich
allein mit ihnen alle Sätze der Arithmetik
des + beweisen lassen.
Die Axiome der Addition
1. Für alle x : s(x) 0
2. Für alle x,y : wenn s(x) s(y),
dann x y
3. Für alle x : x + 0 = x
4. Für alle x,y : x + s(y) = s( x+y)
Satz: Für alle x: s(x) = x + s(0).
Beweis: Man setzt in 4. y = 0 und vertauscht
die Seiten.
Ist Anwendbarkeit auf Farbenmischung
gegeben?
Diese Theorie bezieht sich auf die Nachfolgerelation
der Zahlen, also auf deren
Anordnung. Farben sind empirisch durch
Versuchspersonen nicht wie eine Perlenkette
anordenbar. Sie erfüllen die Ordnungsaxiome
nicht. D. h., Versuchspersonen
können Farben nicht konnex, transitiv
und antisymmetrisch anordnen. Deshalb ist
die Theorie in dieser Formulierung nicht
auf Farben anwendbar. Nicht jede Axiomatik
einer Theorie, hier also der natürlichen
Zahlen, eignet sich für einen empirischen
Vergleich mit den im Experiment vorfindbaren
Gegebenheiten. Diese Schwierigkeit
kannte Graßman (1853) nicht. Er fand eine
empirische Struktur und deren theoretische
Entsprechung speziell für die Farben, die
später als Graßmannstruktur kanonisiert
worden ist, weil sie auch in einer unübersehbare
Vielfalt von empirischen Strukturen
andere Sachbereichen zu beobachten
ist. Die psychologische Forschung hat historisch
hier ausnahmsweise gegenüber der
anderer Disziplinen die Vorreiterstellung
eingenommen.
Addition von Mehrkomponentigem
Der Intention, Farbmischung durch arithmetische
Addition zu repräsentieren steht
zunächst der Umstand entgegen, daß
Farbmischung eine Angelegenheit von drei
Komponenten ist. Andererseits ist in der
Mechanik das Zusammenwirken mechanischer
Kräfte in der Ebene ist durch Addition
repräsentierbar. Diese „Vektoraddition“
ist weiter nichts als die komponentenweise
Ausführung der gewöhnlichen
Arithmetik. Ein Beispiel dafür liefert das
Kräfteparallelogramm. Ein gewichtigeres
Hindernis für die Benutzung der gewünschten
Repräsentation stellt der Sachverhalt
dar, daß die Mischungskomponenten
als Energiewerte stets positiv

sind, also keine Gruppenstruktur sondern
höchstens Halbgruppenstruktur tragen
können.
Verschiedene Wege der Einbettung
Die bei Wägung und Längenmessung beschrittenen
Wege der Einbettung von
Halbgruppen in Gruppen benutzen die
Anordnung der gegebenen Mengenelemente.Sie
sind für Farben wegen deren
fehlender Anordenbarkeit nicht gangbar.
Graßmann (1853) hat die Regularität oder
Aufhebungseigenschaft zusammen mit
Kommutativität als geeignete Voraussetzungen
für die Einbettung dieser Halbgruppe
in eine Gruppe erkannt.
Struktur der Farben
Krantz (1975) hat die Graßmannsche Entwicklung
in moderner Form dargestellt und
in einigen Punkten vervollständigt. Im einzelnen
hebt er folgendes hervor: Sei A die
Menge der Farbreize und die Operation
des Übereinanderprojizierens : A × A
A, so daß < A, > eine kommutative
Halbgruppe bildet. Sei * die Operation der
physikalischen Intensitätsverstärkung * : A
× A, so daß < A, *> eine kommutative
Halbgruppe bildet.
Sei die zweistellige Äquivalenzrelation
der Metamerie. Für jede Äquivalenzrelation
gilt:
Sei eine zweistellige Relation auf A. für
alle a,b,c aus A gilt:
a a ,
(Reflexivität)
a b g.d.w. b a,
(Symmetrie)
wenn a b und b c , dann a c
(Transitivität).
Eine Halbgruppe < A, > ist kommutativ,
g.d.w für alle a,b aus A gilt:
a b b a.
Die Halbgruppe < A, > ist regulär g. d.
w. für alle a,b,c aus A gilt:
a b g.d.w. a c b c
Die Halbgruppe < A ,* > ist regulär, g.d.w.
für alle a,b aus A und t aus gilt:
a b g.d.w. a * t b * t
Regularität wird auch Aufhebungseigenschaft
genannt.
Die Surjektivität von
Das Relativ < A, > ist nur dann eine für
die Beschreibung der Farben brauchbare
Struktur, wenn die Operation surjektiv
ist, d. h. wenn sämtliche Farben aus einer
gewissen Anzahl von Ausgangsfarben ermischbar
sind. Das ist durch direktes
Übereinanderprojizieren („eigentliche
Farbmischung“) nicht der Fall. Man definiert
deshalb die „uneigentliche Farbmischung“
ganz entsprechend wie beim Wägen
die Plazierung der als inverses Element
dienenden Masse in die andere
Waagschale.
Graßmannstruktur
Nach diesen Vorüberlegungen läßt sich
diejenige Struktur definieren, die Farben
zusammen mit der Operation Farbmischung
besitzen müssen, um theoretisch
durch die kanonische Struktur eines Vektorraumes
repräsentiert zu werden. Ob diese
Struktur tatsächlich für eine gegebene
Versuchsperson realisiert ist, wird durch
ein Farbmischungsexperimente empirisch
entschieden. Dazu ist für jede empirisch
prüfbare Voraussetzung ein eigenes Experiment
erforderlich. Es ist für die Psychologenschaft
von besonderem Interesse, daß
diese heute kanonische Struktur der mehrdimensionalen
analytischen Geometrie
damals von Graßmann zur Beschreibung
des Farbensehens entwickelt worden ist
und erst später in anderen Disziplinen zur
Anwendung kam.
Definition: Eine Graßmannstruktur ist ein
Quadrupel < A , , *, ~ >, bei dem A eine
Menge, eine Funktion auf A × A, * eine
Funktion auf + × A und ~ eine Binärrelation
auf A × A sind, die folgende fünf
Voraussetzungen erfüllen:
1. < A , > ist eine kommutative
Halbguppe.

2. * besitzt als skalare Multiplikation
die Eigenschaften:
für alle a, b aus A und t,u aus +
gilt:
t*(u * a) = (t u) * a
t * (a b ) = ( t* a ) ( t * b )
(t + u ) * a = ( t* a ) ( u * a )
1 * a = a
3. ~ ist eine Äquivalenzrelation auf A.
4. Aufhebungseigenschaft bezüglich :
Für alle a,b,c aus A gilt
a ~ b g. d. w. a c ~ b c.
Aufhebungseigenschaft bezüglich * :
Für alle a,b aus A und r aus + gilt
wenn a ~ b, dann r * a ~ r * b.
5. Trichromatizität: Für alle a1, a2,a3, a4
aus A existieren positive Zahlen ri, ui, i =
0,1,2,3 so daß ri ui für mindestens ein i,
und daß für i = 0 ...3
ri * ai ~ ui * ai.
Die Summation bezieht sich auf .
Für alle a1, a2,a3 aus A existieren positive
Zahlen ri, ui, i = 0,1,2,3 so daß wenn für i
= 0 ...2
ri * ai ~ ui * ai,
dann ri = ui für i = 0,1,2.
Die Summation bezieht sich auf .
Von großer praktischer Bedeutung ist die
Nr. 5. Sie wurde von Helmholtz die „Dimensionsthatsache“
genannt. Weil die Dosierungen
von vier (oder mehr) Mischfarben
zur Herstellung der Metamerie mit
einer vorgegebenen Farbe nicht zu eindeutigen
vier Dosierungswerten führen, ist
damit gezeigt, daß vier Dimensionen mindestens
eine Dimension zu viel sind. Weil
drei Mischfarben zu eindeutigen Dosierungswerten
führen, sind (für Normalsichtige)
drei Dimensionen die richtige Anzahl.
Der Raum der Farben
Der Begriff des Raumes ist synonym zu
dem der Struktur. Es handelt sich um eine
Menge mit einer darauf erklärten Abbildung.
Ein Beispiel ist der Wahrscheinlichkeitsraum.
Räume im anschaulichen
Sinne sind geometrische Strukturen.
Die Grundmenge kann dabei aus Orten
bestehen, die Operation z. B. eine Bewegung
oder ein Wechsel des Bezugssystems
sein. Eine uns geläufige Bewegung ist z. B.
die euklidische, die Längen unverändert
läßt und deshalb Ortsverlagerung von Größenveränderung
zu trennen erlaubt.
Farben als räumliche Repräsentation der
Graßmannstruktur: Repräsentationssatz
Ist eine Graßmannstruktur gegeben, so läßt
sie sich geometrisch darstellen, oder geometrisch
repräsentieren. Dieser Umstand
ist beweisbar und wird deshalb als Satz
wiedergegeben. Repräsentationssätze haben
ein bestimmtes Format. Sie konstatieren,
daß unter gewissen Voraussetzungen
eine qualitative Struktur homomorph in
eine numerische Struktur abgebildet werden
könne. Ein Homomorphismus bildet
nicht allein die Mengenelemente in Zahlentupel
ab sondern ebenfalls die qualitativen
Relationen und Funktionen in entsprechende
numerische Relationen und
Funktionen. Wenn die qualitativen Voraussetzungen
in Laboratoriumsexperimenten
erfüllt sind, bleibt die Bedeutung des Satzes
nicht aufs Mathematische beschränkt,
sondern beschreibt ein Naturgesetz
.
Satz 1: Sei < A , , *, ~ > eine Graßmannstruktur,
dann existiert ein Vektorraum
V über , ein konvexer Kegel C V
und eine Funktion von A auf C, so daß
für alle a, b aus A, r aus + und v aus C
gilt:
( a b ) = ( a ) + ( b );
(r * a) = r . ( a );
a ~ b g.d.w. (a ) = ( b);
es existieren c, d aus A, so daß
v = (c ) - ( d ).
Im wesentlichen wird ausgesagt, daß die
durch die Graßmannstruktur oben beschriebene
Geometrie durch eine gewöhnliche
m-dimensionale analytische
Geometrie darstellbar ist. Der Bildraum ist

ein Teilraum C eines Vektorraumes V. Die
physikalischen Reizspektren werden, wenn
m = 3 gilt, darin als Zahlentripel abgebildet.
Deren drei Komponenten sind die
drei Dosierungen, die zum Mischen der
jeweiligen Farbe aus den drei aktuellen
Primärfarben erforderlich sind. Die letzten
fünf Zeilen des Satzes erklären, um welche
Art von Homomorphismus es sich handelt:
Er ist additiv und homogen. Funktionen ,
die diese beiden Atrribute besitzen, nennt
man linear. Metamere Spektren werden auf
das gleiche Zahlentripel abgebildet. Weil
Metamerie eine visuelle Äquivalenz ist,
stellt der Satz einen Beitrag zur Psychologie
und nicht etwa zur Physik dar, obwohl
physikalische Reizspektren die Grundmenge
A bilden. Für die Psychologie ist nun
geklärt, was Farben sind: Sie sind Visuelle
Äquivalenzklassen von physikalischen
Reizspektren. Die am Schluß genannte
Eigenschaft garantiert, daß jeder Vektor
aus V mittels einer Differenz von zwei
Farbvektoren erzeugt werden kann. Man
spricht deshalb von einem minimalen Vektorraum
V.
Eindeutigkeitssatz
Die Zuordnung der Spektren zu den Farben
ist insofern nicht eindeutig, als bei unterschiedlichen
Farbskalierungsexperimenten
unterschiedliche Zahlentripel für die gleichen
Spektren auftreten können. Diese
Uneindeutigkeit ist jedoch durch eine bestimmte
Umrechenbarkeit der Zahlenwerte
eingeschränkt, wie der folgende Satz
angibt:
Satz 2: Gibt es einen anderen Homomorphismus
´ nach C´ aus V´, so existiert
eine nichtsinguläre Transformation T von
V nach V´, so daß für alle a aus A
T[ ( a )] = ´ ( a ).
Wechsel der drei Grundfarben
Der Eindeutigkeitssatz bezieht sich auf den
Umstand, daß Farben außer mittels der drei
aktuellen Primärfarben auch durch andere
Farbtripel ermischbar sind. Wegen der
gegebenen Vektorraumrepräsentation läßt
sich nun ein Wechsel des Primärfarbentripels
mittels Vektoralgebra berechnen.
a b c x a * x b * y c * z
d e f y d * x e * y f * z
g h k z g * x h * y k * z
Dabei sind x,y,z die Komponenten des
Farbvektors im alten System und a bis k
die zunächst unbekannten Komponenten
der Transformationsmatrix. Von ihr ist
Nichtsingularität vorausgesetzt, Das bedeutet,
keine Zeile oder Spalte darf aus den
beiden anderen Zeilen oder Spalten mittels
Linearkombination berechenbar sein. Für
das Farbmischungsexperiment gibt es dafür
eine klare Interpretation. Von den als
neue Primärfarben in Aussicht genommen
drei Farben darf keine aus den beiden anderen
ermischbar sein. Rechts ist der Farbvektor
mit seinen Koordinaten im neuen
System angegeben. Diese sind erst dann
gegeben, wenn die Koeffizienten a – k der
Transformationsmatrix ermittelt sind.
Die Umrechnungs-Koeffizienten
Um die unbekannten Komponenten der
Transformationsmatrix zu berechnen geht
man davon aus, daß die Farbkoordinaten
der neuen Grundfarben aus dem alten System
so transformiert werden müssen, daß
sie im neuen System eine Basis bilden.
r g b t t t
1 1 1 1,1 1,2 1,3
r g b t t t
2 2 2 2 ,1 2 ,2 2 ,3
r g b t t t
3 3 3 3,1 3,2 3,3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Dazu muß die Matrixgleichung
R T = E
nach T aufgelöst werden. Es ergibt sich
T = R^(-1),
die zu R inverse Matrix. Für sie gilt
T^(-1) T = E,
die Einheitsmatrix. Die Notwendigkeit
dieser Matrixinversion war es, die oben zur
Forderung nach Nichtsingularität geführt

hat, denn singuläre Matrizen sind nicht
invertierbar.
Matrixinversion erfordert viel umständliche
Rechnung. Deshalb benutzt man
heute dazu ein Expertensystem, wie Maple
oder Mathematica. Ein Maple-Skript wird
in der Virtuellen Universität Regensburg
beigegeben. Es ist von praktischer Bedeutung,
da ein Wechsel der Primärfarben
nicht selten ansteht, etwa bei einem Beleuchtungswechsel
oder beim Übergang
von einer Farbfernsehbildröhre zu einer
anderen mit unterschiedlichen Phosphoren.
Helmholtz’ Dimensionsthatsache
Die Anzahl der Dimensionen des Farbraumes
wird durch die Angabe m variabel
gehalten. Das liegt daran, daß nur für
Normalsichtige m = 3 gilt. Farben blinde,
über die noch später zu berichten sein
wird, besitzen meistens ein m =2. Welche
Dimensionszahl vorliegt ist theoretisch (in
der Graßmannstruktur) durch die lineare
Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit der
Farbkoordinaten, also der Dosierungen der
Primärfarben zur Mischung einer vorgegebenen
Farbe bestimmt. Die größte Anzahl
linear unabhängiger Farbkoordinaten (eindeutiger
Dosierungen) bestimmt die Dimensions-zahl
m. Deshalb ist der folgende
Satz beweisbar:
Satz 3: Der Vektorraum ist m-dimensional,
g.d.w. < A , , *,~> m-chromatisch ist.
Die Beweise
Die Beweise für die drei Sätzt findet man
bei Krantz (1975). Dieser Autor hat die
Entdeckungen von Graßmann (1853) präzisiert
und, wo nötig ergänzt. Der Beweisgedanke
ist grundsätzlich der gleiche wie
bei der mathematischen Rechtfertigung des
Fingerrechnens. Eine Halbgruppe, hier die
Halbgruppe der Spektren zusammen mit
der Operation der Farbmischung, läßt sich
in eine Gruppe einbetten, weil sie die dafür
erforderlichen zusätzlichen Eigenschaften
besitzt, nämlich die Aufhebungseigenschaften.
Das Gedankengebäude betrifft
die Psychologie, weil sich die beiden Aufhebungseigenschaften
als Graßmannsche
Gesetze im Wahrnehmungslabor experimentell
realisieren lassen. Die Details der
Beweise übersteigen den Stoff dieser Darstellung.
Der Vektorraum der Farben
Wenn nun durch die Repräsentation eine
analytische Geometrie zur Verfügung
steht, läßt sich diese auch anschaulich, man
sagt synthetisch, nutzen. In der Abbildung
sieht man den Teilraum C, auf den sich die
Repräsentation bezieht, als Tütenförmigen
Bereich. Ein Primärfarbentripel ist durch
die Vektoren R,G,B hervorgehoben.
Abb.: Der konvexe Kegel der Farben im
Farbraum. Eingezeichent die Ebene (1, 1,
1).
In dem abgebildeten Falle durchstoßen die
Primärvalenzen den Rand des tütenförmigen
konvexen Kegels. Das macht den Bereich
der Farben, die aus diesem Tripel in
eigentlicher Mischung herstellbar sind,
besonders groß. Grundsätzlich können aber
die Primärvalenzen beliebig in den Kegel
gelegt werden, solange sie nicht alle drei in
einer einzigen Ebene zu liegen kommen.
Dann wäre stets eine der vorgesehen Primärvalenzen
aus den beiden anderen ermischbar,
und sie würden deshalb keinen
dreidimensionalen Farbraum aufspannen.

Zu Vektoren außerhalb des konvexen Kegels
gehören keine Farben. Derartige Vektoren
sind als Farben nicht realisierbar.
Farbwertkurven
Farbwertkurven nennt man die Graphen
der auf ein Primärfarbentripel bezogenen
Farbkoordinaten sämtlicher schmalbandiger
Reize im sichtbaren elektromagnetischen
Spektrum. Da physikalisch 5 nm das
schmalste realisierbare Band im Spektrum
sichtbarer elektromagnetischer Reize ist,
lassen sich zwischen 380 und 780 nm etwa
80 schmalbandige, auch monochromatisch
genannte Reize herstellen. Visuell sind das
die einzelnen Regenbogenfarben, da auch
ein Prisma das Spektrum nach den einzelnen
Wellenlängen auflöst.
Abb.: Farbwertkurven, bezogen auf diejenigen
schalbandigen Reize als Grundfarben,
bei denen jeweils zwei Kurven den
Wert Null annehmen.
Farbwertkurven enthalten normalerweise
negative Kurvenverläufe, da auch die
schmalbandigen Reize manchmal nur
durch uneigentliche Farbmischung zu mischen
sind. Ein Wechsel der Grundfarben
führt zu andern Farbwertkurven-Tripeln.
Man unterscheidet Farbwertkurven, die
sich auf
• gegebene Grundfarben,
• Koordinaten, die selbst keine Farben
repräsentieren,
• hypothetischen Rezeptorempfindlichkeiten,
• gemessene Rezeptorempfindlichkeiten,
• Farbtonlöschungsexperimente,
beziehen.
Bezug auf drei Grundfarben
Diese Grundfarben müssen unabhängig
sein Keine von ihnen darf durch die beiden
anderen ermischbar sein. Auch die
Grundfarben können schmalbandige Reize
bestimmter Wellenlängen sein.
Bestimmung der Farbkoordinaten zum
Farbreiz
Farbkoordinaten sind stets auf ein bestimmtes
Primärfarbentripel bezogen Den
Beitrag des Reizspektrums zu jeder Farbkoordinate
ermittelt man wegen der Linearität
der Repräsentation durch Gewichtung
der jeweiligen Farbwertkurve mit dem
Reizspektrum. Die Graßmann-Repräsentation
begründet diese Gewichtung durch
wellenlängenweise Multiplikation und anschließende
Summation. Für jedes Reizspektrum
P lassen sich die Farbwerte berechnen,
wenn die Farbwertkurven gegeben
sind.
780
B P b ( ) d
380
780
G P g ( ) d
380
780
R P r ( ) d
380
Obwohl es sich um eine Summierung von
etwa 80 Produkten handelt, schreibt man
hier Integrale. Sie sollen ausdrücken, daß
die Summierung in beliebig feinen Wellenlängenschritten
erfolgen kann.

IBK-Farbwertkurven
Die XYZ-Kurven wurden von der Internationalen
Beleuchtungskommission allein
zur Vermeidung negativer Zahlenwerte auf
Farbwerte bezogen, zu denen keine Farben
existieren. Neben diesem alle Summierungen
erleichternden praktischen Gesichtspunkt
spielte wohl auch die Hoffnung
mit, in diesen Kurven bereits in etwa die
damals noch unbekannten Rezeptorcharakteristiken
zu erfassen.
Abb.: Hypothetische Rezeptorempfindlichkeiten
nach der Young-Helmholtz
Theorie.
Dem entgegen sand die Gegenfarbentheorie
von Hering, die auf vier Rezeptorenarten
hinzuweisen schien.
Gemessene Rezeptorempfindlichkeiten
Abb.: Die Farwertkurven x,y,z der Internationalen
Beleuchtungskommission.
Hypothetische Rezeptorkurven
Im 19. Jahrhundert wurde über die Empfindlichkeit
der Rezeptoren spekuliert, ehe
diese entdeckt worden waren. Auf der einen
Seite wurde für die Young-Helmholtz
Theorie argumentiert, die drei Arten von
Rezeptoren unterstellte, deren Antworten
auf schmalbandige Reizung sich in drei
glockenförmigen Kurven niederschlagen
Neurophysiologische Messungen der elektrischen
Reaktion von neuroanatomisch
isolierten Rezeptorzellen ergab im 20.
Jahrhundert, daß man von der Reaktion her
tatsächlich drei Rezeporarten, Zapfen genannt,
unterscheiden kann. Es sind dies die
sogenannten kurz-, mittel- und langwelligen
Zapfen. Gemessen wurden die Rezeptorempfindlichkeiten
erst von Bowmaker
& Dartnall (1980) mittels Mikrospektrographie.
Die Theorie von Young
und Helmholtz fand sich auf diese Weise
neurophysiologisch bestätigt.

Abb.: Gemessene Rezeptorantworten auf
schmalbandige elektromagnetische Reizung
Daß diese Kurven ein anderes Erscheinungsbild
besitzen liegt allein an der logarithmischen
Verzerrung der Ordinatenrichtung.
Farbtonlöschungskurven
Versuchsperson können durch Hinzumischen
der Gegenfarbe einen im gegebenen
Reiz sichtbaren Farbton „löschen“. Z. B.
löscht mehr oder weniger Beimischen von
Grün einen vorhandene rötliche Tönung
(Brückner, 1928). Tragt man für schmalbandige
Reize die erforderlichen Dosierungen
zur Farbtonlöschung von rot oder
grün, bzw. blau oder gelb gegen die Wellenlängen
ab, so ergeben sich Kurven die
fast mit denen der Heringschen Gegenfarbentheorie
übereinstimmen.
Abb.: Die mittels Farbtonlöschungs-
Experimenten erzeugten Farbwertkurven
verlaufen entsprechend derr Gegenfarbentheorie
von Hering.
Als dritte Kurve ist die glockenförmige
Kurve der Lichtausbeute, V , eingezeichnet.
Sie gibt die reziproken Absolutschwellen
für schmalbandige Reizung der jeweiligen
Wellenlänge an. Obwohl diese drei
Kurven völlig anders erscheinen als andere
Farbwertkurven, stehen sie zu ihnen nicht
im Widerspruch. Sie sind nämlich durch
eine nichtsinguläre lineare Transformation
in jene überführbar, bewegen sich also
innerhalb der Eindeutigkeit der Graßmann-
Repräsentation. Das bedeutet, daß die Gegenfarben
im visuellen System wohl ein
anderes Prozessniveau als das der Rezeptoren
betreffen.
Normfarbwerte
Gibt man statt der Farbwerte deren Anteile,
bezogen auf ihre jeweilige Summe wieder,
so spricht man von Normfarbwerten. Für
manche Zwecke reicht es aus, Normfarbwerte
zu betrachten.
r
R
G
g
R G B R G B
B
b r g b
R G B
1

Normfarbwertkurven
Normfarbtafel eingetragen werden. Ein
angenähert weißes Spektrum geht von der
Sonne aus.
Die Normfarbtafel
Wegen der konstanten Summe von Eins
läßt sich der dritte Normfarbwert jeweils
aus zwei gegebenen bestimmen. Dies
macht sich die Normfarbtafel zunutze. Sie
ist als Ebene im Farbraum eine zweidimensionale
Landkarte der Farben.
Abb.: Die Normfarbwertkurven addieren
sich für jede Wellenlänge zu Eins.
Der Spektralzug
Die Normfarbwerte (hier im IBK-System)
der monochromatischen Reize liegen auf
dem Spektralzug.
Abb.: Die Normfarbtafel in der Ebene
(1,1,1) des Farbraums.
Farbphänomene
Abb.:Die Farborte der Schmalbandigen
elektromagnetischen Reize bilden eine
hufeisenförmige Kurve im Farbraum.
Der Weißpunkt
Das energiegleiche Spektrum sieht weiß
aus. Es hat die Normfarbwerte x = 1/3, y =
1/3, z = 1/3 und kann entsprechend in die
Die zweidimensionale Normfarbtafel ist
geeignet, die Vektorraum-Repräsentation
verschiedener Phänomene des Farbensehens,
Farbmischung, Gegenfarben usw.
geometrisch zu repräsentieren.
Eigentliche Farbmischung
Alle Punkte einer Verbindungslinie repräsentieren
die eigentlichen Mischfarben der
beiden Ausgangsfarben. Alle Punkte innerhalb
eines Dreiecks deren eigentliche
Mischfarben, wie im Beispiel des Far-
Farbmonitor

Abb.: Die Phosphore eines Farbbilschirms
spannen in der Normfarbtafel das Dreieck
der durch sie in eigentlicher Mischung
reproduzierbarer Farben auf.
Komplementärfarben
Alle Farben, deren Verbindungslinie in der
Normfarbtafel durch den Weißpunkt verläuft,
lassen sich in geeigneter Dosierung
zu weiß mischen. Sie sind Gegen- oder
Komplementärfarben
Niedere Farbmetrik
Auch uneigentliche Farbmischung und
Gegenfarben sind in der Normfarbtafel
abzulesen, nicht aber Farbähnlichkeit oder
gar Farbname. Deshalb wird die Graßmannsche
Farbskalierung manchmal niedere
Farbmetrik genannt. Die Bezeichnung
ist irreführend, da von einer Metrik im
Sinne einer Abstandsbestimmung hier
nicht die Rede ist.
Abb:. Die RGB-Farbwertkurven von
Normalsichtigen (normiert auf jeweils Eins
bei den verwendetn schmalbandigen Primärfarben)
unterscheiden sich für verschiedene
Versuchspersonen.
Deshalb verwendet man für alle Berchnungen
von Farborten Durchnittskurven , die
mit überstrichenen Buchstaben, zum Beispiel
r, g, b bezeichnet werden.
Farbfehlsichtigkeit
Für ca. 5% der Männer sind drei Farben
stets linear abhängig. Ihr Farbraum ist
zweidimensional. Zur Beschreibung ihres
Farbmischverhaltens kommt man deshalb
mit Paaren von Farbwertkurven aus. Es
gibt drei Typen von Dichromaten: Protanope
, Deuteranope und Tritanope.
Individuelle Unterschiede
Die RGB-Farbwertkurven unterscheiden
sich für verschiede normalsichtige Personen
geringfügig.

Abb.: Bei den beiden rot-grün-blinden
Typen von Farbfehlscihtigkeit fehlen die
rot-grün Farbwertkurven.
Typen der Farbfehlsichtigkeit
Abb.: Entsprechend ihrer Rot-Grün-
Blindheit verlaufen die Verwechslungslinien
der Protanopen von Rot nach Grün.
Die Zweidimensionalität des dichromatischen
Farbraums wird dadurch repräsentiert,
daß Dichromaten alle Farben auf
bestimmten Flächen im Raum der Trichromaten
(Linien in der Normfarbtafel)
verwechseln.Von den drei Typen von
Dichromaten kommen Tritanope nur sehr
selten vor. Das Verhalten der drei Typen
ist durch jeweils spezifische Verwechslungslinien
charakterisiert.
Von besonderem Interesse dind diejenigen
Verwechslungslinene, die dirch den Weißpunkt
(0,33; 0,33) verlaufen. An ihnen
kann man erkennen, welche Regenbogenfarben
für die verschiedenen Farbsehgestörten
achromatisch („grau“) ausssehen,
da sie zum Weißüunkt metamer sind. Es
sind dies für Rot-Grün-Blinde eben rot und
grün, für die Tritanopen blau und gelb.
Abb.: Die Verwechslungslinien der Deuteranopen
verlaufen ebenfalls von rot nach
grün.

Physik oder Psychologie?
Diese Berechnung wird ohne unmittelbaren
Rückgriff auf die Aussagen einer Versuchsperson
vollzogen. Es ist trotzdem ein
rein psychologischer Gedankengang, da
das Verhalten der Versuchsperson in die
Farbwertkurven eingegangen ist. Colorimeter
sind nicht etwa Physikalische sondern
psychologische Meßinstrumente, weil
sie die Farbwertkurven „eingebaut“ haben
Die Normfarbtafel als „Landkarte“ der
Farben
Abb.: Die Verwechslungslinien der
Tritanopen verlaufen von blau nach gelb.
Kurvenvergleich
Vergleich der Farbwertkurven des durchschnittlichen
Beobachters mit den von
Smith & Pokorny (1975) aus Daten von
Farbfehlsichtigen abgeleiteten Kurven.
Kann die Normfarbtafel weitere Farbphänomene
wiedergeben? Gedacht ist an
Farbähnlichkeit bzw.Unähnlichkeit und an
Farbenreichtum (englisch gamut).Eine
Schwierigkeit bei der Beantwortung dieser
Frage zeigen Untersuchung der Unterschiedsempfindlichkeit
für Farben.
McAdam Ellipsen
McAdam (1943) hat gemessen, wie groß
der ebenmerkliche Unterschied zweier
Farben, ausgedrückt im Unterschied der
beiden Farbkoordinaten ist.
Abb:. Die aus Farbmischexperimenten von
Farbfehlsichctigen abgeleiteten Farbwertkurven
sind tatsächlich im Rahmen der
Eindeutigkeit der Graßmannrepräsentation
aus Farbmischdaten Normalsichtiger darzustellen.
Abb.:McAdam-Ellipsen sind alle unterschiedlich
groß obwohl sie die gleiche
psychologische Distanz „ein ebenmerklicher
Unterschied“ ausdrücken.

Farbähnlichkeit würde durch das Normfarbkarte
repräsentiert, wenn sämtliche
McAdam Ellipsen dort als gleichgroße
Kreise erscheinen würden. McAdam selbst
hat versucht, einen derartigen Uniform
Color Space mittels Ausnutzung der Uneindeutigkeit
der Graßmann-Repräsentation
durch Probieren herzustellen. Er konnte
eine Näherungslösung ereichen, die sich
aber theoretisch nicht begründen lässt. Die
freien linearen Transformationen des Eindeutigkeitssatzes
sind ja alle gleichberechtigt.
Außerdem bleibt bei dem Probierverfahren
unklar, in wie weit die McAdamschen
Unterschiedsempfindlichkeiten auch
an anderen Bereichendes Farbraums, abseits
der Ebene der Normfarbtafel auf diese
Weise normiert worden sind.
Das Thema blieb jedoch Mitte des zwanzigsten
Jahrhunderts aktuell, Wrights dashes
geben experimentelle Ergebnisse wieder,
in denen die Unähnlichkeit von Farbpaaren
direkt untersucht worden sind. >uch
hier teigt sich die ungleiche Länge von
psychologisch gleichen Distanzen.
Auch Uniform Color Spaces sind wiederholt
durch verschiedene Probierverfahren
ermittelt worden. Breckenridge-Schaub
(1939)gelang es, dies mittels orthogonaler
Transformationen zu erreichen. Dennoch
greift hier die gleich Kritik wie oben. Die
Ergebnisse besitzen allenfalls praktischen
Wert, fördern aber nicht die Einsicht in den
Prozeß des Farbensehens.
Abb.:Projektiver UCS nach McAdam
(1937).
Auch Breckenride-Schaub (1939) versuchte,
durch lineare Entzerrung der McAdam-Ellipsen
eine Uniform Color Space
herzustellen, in dem diese als Kreise gleichen
Durchmessers erscheinen.
Abb.:Experimente von Wright (1946) haben
Farbpaare gleicher Unähnlichkeit ermittelt.

Abb.: Rectangular Uniform Color Space
Abb.:Eine Merkatorprojektion (unten)
bildet kürzeste Verbindungslinien als Bögen
ab. Eine loxodrome Projektion (oben)
besitzt diesen Mangel nicht
.
Geographische Flächentreue
Geometrie des Farbraumes
Das UCS Vorgehen ist auch abgesehen
von seinem Probiercharakter nicht vertretbar,
weil es den geometrischen Charakter
jeder Metrik verkennt. Einige der dabei
auftretenden Schwierigkeiten lassen sich
an dem Problem der Geographie erläutern,
die Kugeloberfläche des Globus als Landkarte
auf ebenes Papier so abzubilden, daß
brauchbare Eigenschaften der Landkarte
gegeben sind. Dies können Längentreue,
Richtungstreue, Winkeltreue oder Flächentreue
sin, niemals abe alle gleichzeitig.
Abb.:Vergleich von Grönland und Afrika
in Merkator-Projektion
.
Geographische Richtungstreue
Abb.:Die gleiche Gegenüberstellung in
flächentreuer Lambert-Projektion.
Eine Vielzahl diese Projektionen und ihrer
Eigenschaften lassen sich praktisch erproben
unter:
http://www.aquarius.geomar.de/omc/make
_map.html

Längentreue
Für psychologische Landkarten ist in erster
Linie Längentreue gefragt. Die ersten Ansätze,
auch die Farb-(Un)Ähnlichkeit zu
erfassen stammen von Helmholtz, Stiles
und Schrödinger. Alle diese Autoren orientierten
sich an Fechner (1860), der das
Webersche Gesetz S/S = const. Für den
ebenmerklichen Unterschied zu einer Differentialgleichung
umdeutete. Diese löste
er dann asl R = k log(S), dem Fechnerschen
Gesetz. Damit hatte er gezeigt, welche
Reizinkremente zu gleichen Empfindungszuwächsen
führen.
Das Linienelement
Helmholtz (1896) erweiterte einfach das
Webersche Gesetz auf drei Dimensionen
und ging zur Grenze über:
((dr/R)² + (dG/G)² + (dB/B)² )^(1/2) =
const = ds
Die Lösung dieser Differentialgleichung
hat sich nicht als psychologisches Gesetz
durchsetzen können. Sie war empirisch
ungenau und nicht begründbar.
das sich selbst mit ¾ c bewegt, ergibt –
von außen betrachtet – 1 ½ c.
Automorphismen
Repräsentiert man Geschwindigkeit als
Weg / Zeit, so lassen sich Systeme verschiedener
gleichförmiger Geschwindigkeit
als Linien unterschiedlicher Steigungen
in einem Koordinatensystem auffassen.
Der Übergang von einem System zu
einem anderen ist als Drehung repräsentiert.
Deren Invariante ist das Euklidische
Abstandsmaß (x² + y)^(1/2). Addition von
Geschwindigkeiten ist ebenfalls als Drehung
repräsentiert.
Relativistischer Übergang
Damit keine Lichtgeschwindigkeiten grßer
als c entstehen können, muß die Drehung
entsprechend beschränkt werden. Das erreichte
Einstein durch Einführung einer
Pseudodrehung, die anstatt auf einer
Kreisbahn auf der einer Hyperbel verläuft.
Auch durch Addition kann so die erreichte
Geschwindigkeit nicht über die Asymptote
der Hyperbel, c, anwachsen. Die Invariante
ist nicht mehr x² + y² sondern x² - y² entsprechend
dem Unterschied Der Gleichungen
von Kreis- und Hyperbelbahn.
Einstein und die Metrik-Frage
Eine andere Quelle, aus der man zur Lösung
des Metrik-Problems schöpfen kann,
ist Einstein(1905).Er hat in seiner speziellen
Relativitätstheorie gezeigt, daß man die
Bestimmung einer Metrik auch ohne Differentialgleichungen
erreichen kann und dadurch
sogar näher an den Beobachtungen
bleibt. Das Relativitätsprinzip besagt, daß
in allen gleichförmig bewegten Systemen
die Naturgesetze gleich sind. Das gilt auch
für die Lichtgeschwindigkeit c. Daraus
ergibt sich in der klassischen Physik ein
Widerspruch: Z. B. ¾ c, in Bewegungsrichtung
ausgestrahlt von einem System,
Kreis- bzw. Hyperbelbahn
Ab.:,:Verschiedene Invarianten
Die Kreisgleichung lautet x² + y² = const.

Die Hyperbelgleichung x² - y² = const. Sie
beitzen demnach unterschiedliche Invarianten.
Dreht man die Hyperbel rechts um
die Abszisse, was auf de Betrachtung einer
zweiten räumlichen Ausdehnung hinausläuft,
so entsteht ein Rotationsellipsoid, das
an den konvexen Kegel im Farbraum erinnert.
Die Anregung aus der Einsteinschen
Theorie führt dazu, den konvexen Kegel
als unüberschreitbare Begrenzung aufzufassen.
Farbadaptation
Dazu hatten bereits Burnham, Evans &
Newhall (1957) bemerkenswerte Experimente
angestellt. Sie ließen nur ein Auge
adaptieren. Damit stand das andere für
Vergleichsurteile zur Verfügung.
Dies hat Yilmaz (1962) vorgeschlagen. Er
betrachtete den konvexen Kegel der Farben
relativistisch. Keine Bewegung im Farbraum
kann dessen Begrenzung überschreiten.
Bewegungen im Farbraum aber sind
Farb-Adaptationen.
Frühe Adaptationstheorien
v. Kries (1905) hielt Farbadaptation für
eine Ermüdungserscheinung der damals
noch hypothetischen Rezeptoren. Farbwertkurven,
mittels derer Adaptation als
einfache Proportionalität beschreibbar wären,
müßten Rezeptorcharakteristiken sein.
Heute weiß man das eine derartige Theorie,
die Farbadaptation als Ergebnis der
fehlenden Eindeutigkeit der Repräsentation
auffaßt, nicht gültig sein kann. Die Theorie
läßt nämlich erwarten, daß durch Adaptation
Farben auch unsichtbar werden könnten
oder gänzlich neue entstehen könnten, weil
sie sich durch den Vorgang aus dem
schildförmigen Bereich der Normfarbtafel
hinausbewegen. Beides ist nicht der Fall.
Invarianten des Farbraumes
Yilmaz (1962) hat erkannt, daß die Begrenzung
des konvexen Kegels eine Invariante
sein muß, damit durch Adaptation
Farben nicht in Unsichtbares transformiert
werden oder umgekehrt . Wenn diese Begrenzung
ein Kegel ist, dann legt dessen
Invarianz auch eine Metrik fest. Eine Metrik
ist eine Abstandsbestimmung, die sich
unter Bewegung nicht ändert.
Die höhere Farbmetrik ist eng verwandt
mit Einsteins(1905) Raum-Zeit Metrik.
Abb.:Binokularer Farbabgleich, bei dem
ein Auge auf eine bestimmte Farbe (hier
gelb) adaptiert war, führt zu einer Bewegung
im Farbraum. Dem adaptierten Auge
erscheint weiß, was dem anderen Auge
gelblich erscheint.
Euklidische und nichteuklidische Geometrie
Die Überlegungen der letzten Absätze geben
Anlaß, auf die Nichteuklidische Geometrie
einzugehen, Sie stellt nicht allein
eine Bemerkenswerte Ausformung der
abendländischen Geistesgeschichte dar,
sondern ist auch mannigfach mit der Psychologie
verwoben. Jahrtausendelang war
man der Auffassung, es gäbe nur eine
Geometrie, die nach Euklid benannte, deren
Axiome und Sätze er in seinem berühmten
Buche etwa 350 vor Christus
sammelte. Dies Geometrie ist dadurch ausgezeichnet,
daß Längen in der Ebene mit-

tels des Satzes von Pythagoras bestimmbar
sind.
Spiegelungen) ist. Euklidische Bewegungen
sind Automorphismen bezüglich des
Satzes von Pythagoras. Es gibt jedoch
andere geometrische Strukturen, in denen
dies nicht gilt.
Das Parallelenaxiom
Abb.:Satz des Pythagoras
Es existieren ca. 36 veerschiedene Beweise
für diesen Satz (vgl. Pickert (19,,) . Einen
besonderes anschaulichen vermittelt die
folgende Abbildung.
Dieses Euklissche Axiom besagt: Durch
einen Punkt der Ebene abseits einer kürzesten
Linie gibt es genau eine Parallele.Im
achtzehnten Jahrhundert versuchte man,
diese Axiom als Satz aus den übrigen
Axiomen abzuleiten und stieß dabei auf
Strukturen, die in sich stimmig, aber von
der Euklidischen Geometrie unterschieden
waren, eben weil das Parallelenxiom in
ihnen nicht gilt. Auf der Kugeloberfläche
gibt es keinen zu einem Grp0kreis parallelen.,
Abb.: Anschaulicher Beweis des pythagoräischen
Satzes.
Aber auch dieser Beweis rekurriert auf die
Winkelsumme im Dreieck und andere Axiome.
Räumliche Struktur
Der Satz des Pythagoras ist ein geometrisches
Strukturmerkmal, weil seine Aussage
invariant gegenüber euklidischen Bewegungen
(Translationen, Drehungen,
Abb.: Kugeloberfläche. Auf ihr verläuft
durch einen Punkt abseits einer kürzesten
Linie („Gerade“) keine andere kürzeste
Linie gleichabständig („parallel“).
Damit war der Streit entschieden, ob nichteuklidische
Geometrien überhaupt existierten,
Auf der Pseudosphäre existieren zue einer
kürzesten Linier durch einen Punkt abseits
von dieser mehrere Parallelen.

Abb.: Pseudosphäre. Auf ihrer Oberfläche
verlaufen durch jeden Punkt abseits einer
kürzesten Linie („Gerade“) zwei davon
gleichabständige kürzeste Linien („Parallelen“).
Damit war gezeigt, daß es mehrere verschiedene
nichteuklidische Geometrien
gibt. Im Jahre 1949 zeigte nun Luneburg,
daß das menschliche Raumsehen, solange
es auf binokulare Reize allein gestellt ist,
die Struktur einer nichteuklidisch hyperbolischen
Geometrie besitzt. Damit war gezeigt,
daß derartige Geometrien sogar in
uns wirksam sind.
Der konvexe Kegel der Farben
Der Farbkegel spielt für die Bestimmung
der Farbmetrik die gleiche Rolle, wie der
Raum-Zeit-Kegel bei Einstein: Er kann
nicht überschritten werden, weil alle Farben
konvexe Kombinationen der Spektralfarben
sind (Yilmaz, 1962).
Abb.:Der konvexe Kegel der Farben mit
Farbton, Helligkeit und Sättigung als Zylinderkoordinaten.
Die Kegelgleichung
Man erhält die Gleichung eines quadratischen
Kegels, wenn man von Farbtonlöschungskurven
mit besonderer Wahl der zu
löschenden Farbtöne ausgeht (Yilmaz,
1962). Dann nämlich lassen sich die Farbwertkurven
durch die Gaußsche Normalverteilung
und zwei ihrer Ableitungen beschreiben.
In daraus gebildeten Normfarbwertkurven
kürzen sich die Exponentialfunktionen
heraus. Es bleibt eine Kegelgleichung
zweiten Grades.
Abb.: Farbtonlöschungskurven, die bei
555 nm verschwinden ermöglichen eine

einfache Formulierung der Kegelgleichung.
Die Normfarbtafel als Projektion
Weil die Normfarbtafel eine Projektion ist,
manifestiert sich die Abstandsformel dort
als projektive Metrik. Damit sie gegenüber
den durch Farbadaptation hervorgerufenen
„Bewegungen“ der Farbkoordinaten von
einem Farbort zum anderen invariant ist,
nimmt sie eine besondere Gestalt an. Für je
zwei Farben im Farbraum gibt ein geometrisches
(logarithmierten) Doppelverhältnis
die Farbähnlichkeit wieder.
Das Doppelverhältnis
Für je vier Punkte PQUV auf einer Geraden
ist der Bruch
u - p v - p
(PQUV) = ----- : -----,
q - u q - v
wobei p, q, u, v die Koordinaten der Punkte
sind, das Doppelverhältnis. Zur Erhaltung
des Kegels müssen U und V auf dem
Spektralzug liegen.
Metrik
Es läßt sich beweisen, daß (P,Q)= log
(PQUV) die Eigenschaften einer Metrik
besitzt:
1. (X,X) = 0.
2. (X,Y) = (Y,X) > 0, für X Y.
3. (X,Y) + (Y,Z) (X, Z).
Diese Eigenschaften besitzt auch die euklidische
Metrik.
Validierung
Die Prüfung dieser Metrik kann durch einen
Vergleich der empirischen Längen
von Wrights dashes und den mittels der
Metrik berechneten Werten. Es ergibt sich
ein Korrelationskoeffizient von 0.84 (Drösler,
19 ..).Damit ist im übrigen auch die
unterschiedliche Größe der McAdam-
Ellipsen theoretisch aufgeklärt.
Räumliche Einflüsse
Ebenso wie zeitliche Vorbehandlung des
visuellen Systems als Farbadaptation zu
einer farblichen Umstimmung führt, gibt es
eine räumliche Nachbarschaftswirkung in
der Farbwahrnehmung. Hintergrundfarbreize
bestimmen die Wahrnehmung des
betrachteten Farbreizes mit. Deshalb gilt
die Graßmann-Repräsentation nur, wenn
solche Einflüsse als Störfaktoren im Experiment
ausgeschaltet sind.
Photometrie
Die Reizgröße ist der Strahlungsfluß in
Watt [W] einer punktförmige Strahlungsquelle.z.
B. Platin bei Schmelztemperatur.
Die Strahlstärke ist die ausgesandte Strahlungsleistung
pro Einheit des Raumwinkels
[Watt / Steradian].
Raumwinkel.
Der Raum um einen punktförmigen Strahler
enthält 4 Steradian. Daher sendet ein
Strahler von 1 Candela Lichtstärke insgesamt
einen Lichtstrom von 4 aus. Bei
einer ausgedehnten strahlenden Oberfläche
(z.B. einem LED Chip) trägt jedes Element
der Fläche zur Lichtstärke der Quelle in
jede gegebene Richtung bei. Die Lichtstärke
in der gegebenen Richtung (Candela)
geteilt durch die bestrahlte Fläche (z. B.
m²) in dieser Richtung wird Leuchtdichte
genannt. Man spricht in diesem Zusammenhang
auch oft von der "Helligkeit"
oder photometrischer Helligkeit.
Empfindungsgröße
Lichtstrom (" luminance"). Lumen [ lm ] (1
Lumen entsteht bei Reizung mit 1/683
Watt bei λ = 555 nm). Helligkeitsempfindlichkeit
(Lichtausbeute wird gemessen in

Lumen/Watt). Das Maximum der Helligkeitsempfindlichkeit
beim Tagessehen beträgt
680 Lumen/Watt bei 555 nm Wellenlänge.
Etwa die halbe Hellempfindlichkeit
liegt bei 510 und 610 nm Die Empfindungsgröße
ist die Candela [cd]. Sie bezeichnet
den Lichtstrom pro Einheit des
Raumwinkels.
Wird fortgesetzt!
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