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tels des Satzes von Pythagoras bestimmbar sind. Spiegelungen) ist. Euklidische Bewegungen sind Automorphismen bezüglich des Satzes von Pythagoras. Es gibt jedoch andere geometrische Strukturen, in denen dies nicht gilt. Das Parallelenaxiom Abb.:Satz des Pythagoras Es existieren ca. 36 veerschiedene Beweise für diesen Satz (vgl. Pickert (19,,) . Einen besonderes anschaulichen vermittelt die folgende Abbildung. Dieses Euklissche Axiom besagt: Durch einen Punkt der Ebene abseits einer kürzesten Linie gibt es genau eine Parallele.Im achtzehnten Jahrhundert versuchte man, diese Axiom als Satz aus den übrigen Axiomen abzuleiten und stieß dabei auf Strukturen, die in sich stimmig, aber von der Euklidischen Geometrie unterschieden waren, eben weil das Parallelenxiom in ihnen nicht gilt. Auf der Kugeloberfläche gibt es keinen zu einem Grp0kreis parallelen., Abb.: Anschaulicher Beweis des pythagoräischen Satzes. Aber auch dieser Beweis rekurriert auf die Winkelsumme im Dreieck und andere Axiome. Räumliche Struktur Der Satz des Pythagoras ist ein geometrisches Strukturmerkmal, weil seine Aussage invariant gegenüber euklidischen Bewegungen (Translationen, Drehungen, Abb.: Kugeloberfläche. Auf ihr verläuft durch einen Punkt abseits einer kürzesten Linie („Gerade“) keine andere kürzeste Linie gleichabständig („parallel“). Damit war der Streit entschieden, ob nichteuklidische Geometrien überhaupt existierten, Auf der Pseudosphäre existieren zue einer kürzesten Linier durch einen Punkt abseits von dieser mehrere Parallelen.
Abb.: Pseudosphäre. Auf ihrer Oberfläche verlaufen durch jeden Punkt abseits einer kürzesten Linie („Gerade“) zwei davon gleichabständige kürzeste Linien („Parallelen“). Damit war gezeigt, daß es mehrere verschiedene nichteuklidische Geometrien gibt. Im Jahre 1949 zeigte nun Luneburg, daß das menschliche Raumsehen, solange es auf binokulare Reize allein gestellt ist, die Struktur einer nichteuklidisch hyperbolischen Geometrie besitzt. Damit war gezeigt, daß derartige Geometrien sogar in uns wirksam sind. Der konvexe Kegel der Farben Der Farbkegel spielt für die Bestimmung der Farbmetrik die gleiche Rolle, wie der Raum-Zeit-Kegel bei Einstein: Er kann nicht überschritten werden, weil alle Farben konvexe Kombinationen der Spektralfarben sind (Yilmaz, 1962). Abb.:Der konvexe Kegel der Farben mit Farbton, Helligkeit und Sättigung als Zylinderkoordinaten. Die Kegelgleichung Man erhält die Gleichung eines quadratischen Kegels, wenn man von Farbtonlöschungskurven mit besonderer Wahl der zu löschenden Farbtöne ausgeht (Yilmaz, 1962). Dann nämlich lassen sich die Farbwertkurven durch die Gaußsche Normalverteilung und zwei ihrer Ableitungen beschreiben. In daraus gebildeten Normfarbwertkurven kürzen sich die Exponentialfunktionen heraus. Es bleibt eine Kegelgleichung zweiten Grades. Abb.: Farbtonlöschungskurven, die bei 555 nm verschwinden ermöglichen eine
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