EinfÃ¼hrung in die Psychologie, Farbwahrnehmung - am Institut fÃ¼r ...

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vorgelegt werden konnte. Die Zahlen hatte bis dahin ein Schein des Numinosen umgeben, der noch 1960 einen in der theoretischen und empirischen Forschung überaus erfolgreichen Physiker von einer angeblich „unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences“ (Wigner, 1960) sprechen ließ. Bis dahin hatte sich der einfache Gedanke Hölders von 1901 offenbar noch nicht herumgesprochen, daß die Arithmetik dann und nur dann sachlich richtige Rechenergebnisse liefert, wenn die Struktur des betroffenen Sachbereichs im Kleindetail der Struktur der Zahlen entspricht. Um dies besser zu verstehen und in der Psychologie anwenden zu können, ist ein Blich auf die Struktur der Zahlen erforderlich. Sachliche Richtigkeit (Erfülltheit) der Axiome der Arithmetik Man versteht sofort, warum die gleiche theoretische Summenbildung beim Zusammenschütten von Flüssigkeiten manchmal ein sachlich richtiges Ergebnis vorausberechnen läßt, in anderen Fällen nicht, etwa beim Zusammenschütten von Alkohol und Wasser. In einem Falle sind die Axiome der Addition empirisch erfüllt, im anderen Falle sind sie empirisch verletzt: Theoretische Struktur: Arithmetik Seien die natürlichen Zahlen {0, 1, 2, ...} und s( ) die Nachfolger-Relation. Das Relativ < , s( ), + > ist eine Struktur., weil s( ) und + Abbildungen sind Ihre Eigenschaften lassen sich durch drei Annahmen („Axiome“) beschreiben. Diese Axiome sind dann brauchbar gewählt, wenn sich allein mit ihnen alle Sätze der Arithmetik des + beweisen lassen. Die Axiome der Addition 1. Für alle x : s(x) 0 2. Für alle x,y : wenn s(x) s(y), dann x y 3. Für alle x : x + 0 = x 4. Für alle x,y : x + s(y) = s( x+y) Satz: Für alle x: s(x) = x + s(0). Beweis: Man setzt in 4. y = 0 und vertauscht die Seiten. Ist Anwendbarkeit auf Farbenmischung gegeben? Diese Theorie bezieht sich auf die Nachfolgerelation der Zahlen, also auf deren Anordnung. Farben sind empirisch durch Versuchspersonen nicht wie eine Perlenkette anordenbar. Sie erfüllen die Ordnungsaxiome nicht. D. h., Versuchspersonen können Farben nicht konnex, transitiv und antisymmetrisch anordnen. Deshalb ist die Theorie in dieser Formulierung nicht auf Farben anwendbar. Nicht jede Axiomatik einer Theorie, hier also der natürlichen Zahlen, eignet sich für einen empirischen Vergleich mit den im Experiment vorfindbaren Gegebenheiten. Diese Schwierigkeit kannte Graßman (1853) nicht. Er fand eine empirische Struktur und deren theoretische Entsprechung speziell für die Farben, die später als Graßmannstruktur kanonisiert worden ist, weil sie auch in einer unübersehbare Vielfalt von empirischen Strukturen andere Sachbereichen zu beobachten ist. Die psychologische Forschung hat historisch hier ausnahmsweise gegenüber der anderer Disziplinen die Vorreiterstellung eingenommen. Addition von Mehrkomponentigem Der Intention, Farbmischung durch arithmetische Addition zu repräsentieren steht zunächst der Umstand entgegen, daß Farbmischung eine Angelegenheit von drei Komponenten ist. Andererseits ist in der Mechanik das Zusammenwirken mechanischer Kräfte in der Ebene ist durch Addition repräsentierbar. Diese „Vektoraddition“ ist weiter nichts als die komponentenweise Ausführung der gewöhnlichen Arithmetik. Ein Beispiel dafür liefert das Kräfteparallelogramm. Ein gewichtigeres Hindernis für die Benutzung der gewünschten Repräsentation stellt der Sachverhalt dar, daß die Mischungskomponenten als Energiewerte stets positiv
sind, also keine Gruppenstruktur sondern höchstens Halbgruppenstruktur tragen können. Verschiedene Wege der Einbettung Die bei Wägung und Längenmessung beschrittenen Wege der Einbettung von Halbgruppen in Gruppen benutzen die Anordnung der gegebenen Mengenelemente.Sie sind für Farben wegen deren fehlender Anordenbarkeit nicht gangbar. Graßmann (1853) hat die Regularität oder Aufhebungseigenschaft zusammen mit Kommutativität als geeignete Voraussetzungen für die Einbettung dieser Halbgruppe in eine Gruppe erkannt. Struktur der Farben Krantz (1975) hat die Graßmannsche Entwicklung in moderner Form dargestellt und in einigen Punkten vervollständigt. Im einzelnen hebt er folgendes hervor: Sei A die Menge der Farbreize und die Operation des Übereinanderprojizierens : A × A A, so daß < A, > eine kommutative Halbgruppe bildet. Sei * die Operation der physikalischen Intensitätsverstärkung * : A × A, so daß < A, *> eine kommutative Halbgruppe bildet. Sei die zweistellige Äquivalenzrelation der Metamerie. Für jede Äquivalenzrelation gilt: Sei eine zweistellige Relation auf A. für alle a,b,c aus A gilt: a a , (Reflexivität) a b g.d.w. b a, (Symmetrie) wenn a b und b c , dann a c (Transitivität). Eine Halbgruppe < A, > ist kommutativ, g.d.w für alle a,b aus A gilt: a b b a. Die Halbgruppe < A, > ist regulär g. d. w. für alle a,b,c aus A gilt: a b g.d.w. a c b c Die Halbgruppe < A ,* > ist regulär, g.d.w. für alle a,b aus A und t aus gilt: a b g.d.w. a * t b * t Regularität wird auch Aufhebungseigenschaft genannt. Die Surjektivität von Das Relativ < A, > ist nur dann eine für die Beschreibung der Farben brauchbare Struktur, wenn die Operation surjektiv ist, d. h. wenn sämtliche Farben aus einer gewissen Anzahl von Ausgangsfarben ermischbar sind. Das ist durch direktes Übereinanderprojizieren („eigentliche Farbmischung“) nicht der Fall. Man definiert deshalb die „uneigentliche Farbmischung“ ganz entsprechend wie beim Wägen die Plazierung der als inverses Element dienenden Masse in die andere Waagschale. Graßmannstruktur Nach diesen Vorüberlegungen läßt sich diejenige Struktur definieren, die Farben zusammen mit der Operation Farbmischung besitzen müssen, um theoretisch durch die kanonische Struktur eines Vektorraumes repräsentiert zu werden. Ob diese Struktur tatsächlich für eine gegebene Versuchsperson realisiert ist, wird durch ein Farbmischungsexperimente empirisch entschieden. Dazu ist für jede empirisch prüfbare Voraussetzung ein eigenes Experiment erforderlich. Es ist für die Psychologenschaft von besonderem Interesse, daß diese heute kanonische Struktur der mehrdimensionalen analytischen Geometrie damals von Graßmann zur Beschreibung des Farbensehens entwickelt worden ist und erst später in anderen Disziplinen zur Anwendung kam. Definition: Eine Graßmannstruktur ist ein Quadrupel < A , , *, ~ >, bei dem A eine Menge, eine Funktion auf A × A, * eine Funktion auf + × A und ~ eine Binärrelation auf A × A sind, die folgende fünf Voraussetzungen erfüllen: 1. < A , > ist eine kommutative Halbguppe.
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