EinfÃ¼hrung in die Psychologie, Farbwahrnehmung - am Institut fÃ¼r ...

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

Gruppenelement ein inverses Element existiert- Assoziativität bedeutet: Für alle a,b,c aus A gilt a o (b o c) = (a o b) o c. Abgeschlossenheit heißt: Für alle a, b aus A ist a o b wieder in A. Für ein neutrales Element n aus A gilt für alle a aus A ; a o n = a. Für alle a aus A ist -a ein inverses Element, wenn gilt a o -a = n. Bestimmte Zahlenmengen und die Addition tragen Gruppenstruktur Das Motiv für die Suche nach Gruppenstrukturen in der Natur liegt darin, daß wichtige theoretische Relative wie z. B. die ganzen Zahlen Z mit der Addition + Gruppenstruktur aufweisen. Obwohl das Relativ ein rein theoretisches ist – Zahlen und die darauf erklärten Operationen sind vom Menschen erdacht – besitzt es für Naturwissenschaftler große Anziehungskraft. Wenn nämlich eine Sachbereich die gleiche Struktur wie ein theoretischer Bereich aufweist, dann kann mit letzterem so theoretisiert werden, daß die erschlossenen Ergebnisse nicht allein rechnerisch, sondern auch sachlich richtig sind. Auf der Ausnutzung derartiger Strukturgleichheiten beruht zum wesentlichen Teil der Fortschritt der Physik. Viele zu lösende physikalische Alltagsprobleme gestatten die (theoretische Berechnung ihrer Lösung. Ein physikalisches Beispiel Mit elektrischen Gleichspannungen kann man deshalb so trefflich Berechnungen anstellen, weil die Elemente der Grundmenge als Batterien gesehen werden können, das neutrale Element als leere Batterie und die inversen Elemente als umgekehrt gepolte Batterien. Assoziativität der Verknüpfung ist bei Batterien ebenfalls gegeben. Zu fragen wäre nun, ob die Menge der Farbreize A zusammen mit der Mischungsoperation Gruppenstruktur trägt. Diese Frage läßt sich unmittelbar verneinen: Zu keinem Farbreiz existiert ein inverses Element, dessen Beimischung zu einem neutralen Farbreiz führen würde, einem Reiz also dessen Hinzumischung zu einer beliebigen Farbe visuell nichts ändert. Es sieht so aus, als wäre damit jeder Versuch, das Farbensehen zu quantifizieren als aussichtslos erledigt. Andererseits läßt sich mit physikalischen Mengen wie Massen oder Abständen sehr sachgerecht rechnen, obwohl aus sie keine Gruppenstruktur an den Tag legen. Es existiert zu einer Masse keine Inverse, die zu ersterer in der Waagschale hinzugeführt, deren Gewicht neutralisieren würde. Ganz entsprechend sucht man für Längen vergeblich nach inversen Elementen, deren Verknüpfung mit einer gegebenen Länge diese annihilieren würde. Dennoch repräsentieren Berechnungen mittels zahlenmäßiger Gruppenstrukturen, z. B. der reellen Zahlen und ihrer Addition + sehr realistisch das , was sich beim Zusammenfügen von Massen oder Abständen ergibt. Es muß also eine Beziehung zwischen Relativen und den arithmetischen Gruppen geben, die theoretisch tragfähig ist, auch wenn die empirischen Relative selbst keine Gruppenstruktur besitzen, Halbgruppen Analysiert man das physikalische Geschehen, das sich beim Zusammenlegen von Massen in der Waagschale oder beim Aneinanderlegen von Abständen abspielt, do stellt man fest, daß diese physikalischen Relative empirisch eine Halbgruppenstruktur aufweisen, Die Grundmenge ist jeweils mit einer abgeschlossenen assoziativen Verknüpfung versehen. Die Attribute, die daraus eine Gruppe machen würden, fehlen. Wenn man mit diesen Halbgruppen rechnerisch theoretisieren kann und bekanntlich sachlich richtige Ergebnisse erhält, so muß eine ausnutzbare Beziehung zwischen empirischen Halbgruppen und den arithmetischen Gruppen bestehen. Es gibt sie. Sie wurde von Hölder,1901, beschrieben. Das Stichwort heißt Einbettung einer Halbgruppe in eine Gruppe.
Fingerrechnen Dieser Einbettungsvorgang ist jedem von uns aus seiner Grundschulerfahrung geläufig, wenn er sich an das Fingerrechnen erinnert. Eine Grundmenge von Fingern und die Operation des Zusammenfassens mehrerer Finger besitzt Halbgruppenstruktur. Dieses Zusammenfassen als arithmetische Addition zu repräsentieren ist nur beschränkt möglich. Auch wenn man ausdrücklich drei Finger in einem Gegebenen Zusammenhang als invers erklärt, erbringt deren Zusammenfügung mit beispielsweise einem Finger kein Ergebnis. Die Lehrerin sagte damals, das Abziehen der drei von einem „geht nicht“. Wir Schüler nahmen das hin, ohne nach dem Warum zu fragen, Erst in den oberen Klassen haben wir etwas von negativen Zahlen und den zugehörigen Sachverhalten, beispielsweise Geldschulden, erfahren. Kanonische Einbettung Die Bemühungen unserer Grundschullehrerin um das Fingerrechnen waren nicht vergeblich, weil sich das Relativ bestehend aus Fingern und ihrer Zusammenfügung in eine empirische Gruppe ebenso einbetten läßt, wie die Halbgruppe der natürlichen Zahlen mit + in die Gruppe der ganzen Zahlen mit +. Das geschieht dadurch, daß man das kartesische Produkt der Menge der natürlichen zahlen mit sich selbst bildet. Man erhält die Menge von Paaren natürlicher Zahlen und richtet das Augenmerk auf die Differenz bei jedem Paar. Paare mit gleicher Differenz in einer Richtung (z. B. erster Paarling größer als der zweite) erklärt man als neue Grundmenge. Sie bildet mir einer neu zu definierenden Addition der Differenzen weiterhin eine Halbgruppe. Fügt man die Differenzen der anderen Art (jetzt erster Paarling kleiner als der zweite) hinzu, so besitzt jedes Element der Ausgangsmenge nun ein inverses Element, die Paare mit gleichen Paarlingen sind neutrale Elmente. Will man, daß jedes Element nur einmal vorkommt, so betrachtet man nicht die eben konstruierte Menge der Paare, sondern deren Äquivalenzklassen, die jede stets gleiche Differenzen enthält. Der Prozeß wird kanonische Einbettung genannt. Hölders Beitrag von 1901 Der Beitrag von Otto Hölder bestand darin, daß er im einzelnen untersucht hat, welche Halbgruppen sich in Gruppen einbetten lassen. Dabei stieß er unter anderem auf die sogenannte Aufhebungseigenschaft. Im Zusammenhang des Farbensehens formuliert verlangt sie: Sind zwei Farbreize metamer (visuell nicht unterscheidbar) dann bleiben sie metamer, wenn man zu beiden den gleiche dritten Farbreiz hinzumischt. Es fügt sich, daß Hermann Graßmann bereits 1853 diese Aussage experimentell untersucht und für das Farbensehen bestätigt gefunden hat. Sie heißt heute das zweite Graßmannsche Gesetz. Grassman hat darüber hinaus erkannt, daß dies die kritische empirische Gegebenheit ist, die eine Einbettung der Farbreize A und ihrer Mischung in eine Gruppe gestatten. Historische Anmerkung Wenngleich uns der Durchbruch Hölders (1901) im Verständnis der Messung vor gut einhundert Jahren als ein lange zurückliegendes Ereignis anmuten mag, fand er doch vergleichsweise spät statt. Die Reduktion der Elementargeometrie auf eine Axiomatik, aus der sämtliche Lehrsätze ableitbar sind, wurde von Euklid etwa 350 v. Chr. in Anknüpfung an eine lange, bis nach Altägypten reichende Tradition geleistet. Die Verbindung von Geometrie und Arithmetik gelang Descartes im siebzehnten Jahrhundert in der Entwicklung der analytischen Geometrie. Trotzdem dauerte es bis zum Ausgang des neunzehnten Jahrhunderts, ehe eine der euklidischen geometrischen Axiomatik entsprechende für die natürlichen Zahlen durch Peano – nach Vorarbeiten von Frege und Dedekind –
Seite 1 und 2: Psychologie des Farbensehens Prof.
Seite 3 und 4: vom infraroten zum sichtbaren berei
Seite 5: the mittels eine Farbkreisels für
Seite 9 und 10: sind, also keine Gruppenstruktur so
Seite 11 und 12: ein Teilraum C eines Vektorraumes V
Seite 13 und 14: Zu Vektoren außerhalb des konvexen
Seite 15 und 16: Abb.: Gemessene Rezeptorantworten a
Seite 17 und 18: Abb.: Die Phosphore eines Farbbilsc
Seite 19 und 20: Physik oder Psychologie? Diese Bere
Seite 21 und 22: Abb.: Rectangular Uniform Color Spa
Seite 23 und 24: Die Hyperbelgleichung x² - y² = c
Seite 25 und 26: Abb.: Pseudosphäre. Auf ihrer Ober
Seite 27: Lumen/Watt). Das Maximum der Hellig

EinfÃ¼hrung in die Psychologie, Farbwahrnehmung - am Institut fÃ¼r ...

Erfolgreiche ePaper selbst erstellen

Template löschen?

Als Template speichern?