Einführung in die Psychologie, Farbwahrnehmung - am Institut für ...

ein Teilraum C eines Vektorraumes V. Die
physikalischen Reizspektren werden, wenn
m = 3 gilt, darin als Zahlentripel abgebildet.
Deren drei Komponenten sind die
drei Dosierungen, die zum Mischen der
jeweiligen Farbe aus den drei aktuellen
Primärfarben erforderlich sind. Die letzten
fünf Zeilen des Satzes erklären, um welche
Art von Homomorphismus es sich handelt:
Er ist additiv und homogen. Funktionen ,
die diese beiden Atrribute besitzen, nennt
man linear. Metamere Spektren werden auf
das gleiche Zahlentripel abgebildet. Weil
Metamerie eine visuelle Äquivalenz ist,
stellt der Satz einen Beitrag zur Psychologie
und nicht etwa zur Physik dar, obwohl
physikalische Reizspektren die Grundmenge
A bilden. Für die Psychologie ist nun
geklärt, was Farben sind: Sie sind Visuelle
Äquivalenzklassen von physikalischen
Reizspektren. Die am Schluß genannte
Eigenschaft garantiert, daß jeder Vektor
aus V mittels einer Differenz von zwei
Farbvektoren erzeugt werden kann. Man
spricht deshalb von einem minimalen Vektorraum
V.
Eindeutigkeitssatz
Die Zuordnung der Spektren zu den Farben
ist insofern nicht eindeutig, als bei unterschiedlichen
Farbskalierungsexperimenten
unterschiedliche Zahlentripel für die gleichen
Spektren auftreten können. Diese
Uneindeutigkeit ist jedoch durch eine bestimmte
Umrechenbarkeit der Zahlenwerte
eingeschränkt, wie der folgende Satz
angibt:
Satz 2: Gibt es einen anderen Homomorphismus
´ nach C´ aus V´, so existiert
eine nichtsinguläre Transformation T von
V nach V´, so daß für alle a aus A
T[ ( a )] = ´ ( a ).
Wechsel der drei Grundfarben
Der Eindeutigkeitssatz bezieht sich auf den
Umstand, daß Farben außer mittels der drei
aktuellen Primärfarben auch durch andere
Farbtripel ermischbar sind. Wegen der
gegebenen Vektorraumrepräsentation läßt
sich nun ein Wechsel des Primärfarbentripels
mittels Vektoralgebra berechnen.
a b c x a * x b * y c * z
d e f y d * x e * y f * z
g h k z g * x h * y k * z
Dabei sind x,y,z die Komponenten des
Farbvektors im alten System und a bis k
die zunächst unbekannten Komponenten
der Transformationsmatrix. Von ihr ist
Nichtsingularität vorausgesetzt, Das bedeutet,
keine Zeile oder Spalte darf aus den
beiden anderen Zeilen oder Spalten mittels
Linearkombination berechenbar sein. Für
das Farbmischungsexperiment gibt es dafür
eine klare Interpretation. Von den als
neue Primärfarben in Aussicht genommen
drei Farben darf keine aus den beiden anderen
ermischbar sein. Rechts ist der Farbvektor
mit seinen Koordinaten im neuen
System angegeben. Diese sind erst dann
gegeben, wenn die Koeffizienten a – k der
Transformationsmatrix ermittelt sind.
Die Umrechnungs-Koeffizienten
Um die unbekannten Komponenten der
Transformationsmatrix zu berechnen geht
man davon aus, daß die Farbkoordinaten
der neuen Grundfarben aus dem alten System
so transformiert werden müssen, daß
sie im neuen System eine Basis bilden.
r g b t t t
1 1 1 1,1 1,2 1,3
r g b t t t
2 2 2 2 ,1 2 ,2 2 ,3
r g b t t t
3 3 3 3,1 3,2 3,3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Dazu muß die Matrixgleichung
R T = E
nach T aufgelöst werden. Es ergibt sich
T = R^(-1),
die zu R inverse Matrix. Für sie gilt
T^(-1) T = E,
die Einheitsmatrix. Die Notwendigkeit
dieser Matrixinversion war es, die oben zur
Forderung nach Nichtsingularität geführt