Einführung in die Psychologie, Farbwahrnehmung - am Institut für ...

vorgelegt werden konnte. Die Zahlen hatte
bis dahin ein Schein des Numinosen umgeben,
der noch 1960 einen in der theoretischen
und empirischen Forschung überaus
erfolgreichen Physiker von einer angeblich
„unreasonable effectiveness of mathematics
in the natural sciences“ (Wigner, 1960)
sprechen ließ. Bis dahin hatte sich der einfache
Gedanke Hölders von 1901 offenbar
noch nicht herumgesprochen, daß die
Arithmetik dann und nur dann sachlich
richtige Rechenergebnisse liefert, wenn die
Struktur des betroffenen Sachbereichs im
Kleindetail der Struktur der Zahlen entspricht.
Um dies besser zu verstehen und in
der Psychologie anwenden zu können, ist
ein Blich auf die Struktur der Zahlen erforderlich.
Sachliche Richtigkeit (Erfülltheit) der
Axiome der Arithmetik
Man versteht sofort, warum die gleiche
theoretische Summenbildung beim Zusammenschütten
von Flüssigkeiten manchmal
ein sachlich richtiges Ergebnis vorausberechnen
läßt, in anderen Fällen nicht,
etwa beim Zusammenschütten von Alkohol
und Wasser. In einem Falle sind die
Axiome der Addition empirisch erfüllt, im
anderen Falle sind sie empirisch verletzt:
Theoretische Struktur: Arithmetik
Seien die natürlichen Zahlen {0, 1, 2, ...}
und s( ) die Nachfolger-Relation. Das Relativ
< , s( ), + > ist eine Struktur., weil
s( ) und + Abbildungen sind Ihre Eigenschaften
lassen sich durch drei Annahmen
(„Axiome“) beschreiben. Diese Axiome
sind dann brauchbar gewählt, wenn sich
allein mit ihnen alle Sätze der Arithmetik
des + beweisen lassen.
Die Axiome der Addition
1. Für alle x : s(x) 0
2. Für alle x,y : wenn s(x) s(y),
dann x y
3. Für alle x : x + 0 = x
4. Für alle x,y : x + s(y) = s( x+y)
Satz: Für alle x: s(x) = x + s(0).
Beweis: Man setzt in 4. y = 0 und vertauscht
die Seiten.
Ist Anwendbarkeit auf Farbenmischung
gegeben?
Diese Theorie bezieht sich auf die Nachfolgerelation
der Zahlen, also auf deren
Anordnung. Farben sind empirisch durch
Versuchspersonen nicht wie eine Perlenkette
anordenbar. Sie erfüllen die Ordnungsaxiome
nicht. D. h., Versuchspersonen
können Farben nicht konnex, transitiv
und antisymmetrisch anordnen. Deshalb ist
die Theorie in dieser Formulierung nicht
auf Farben anwendbar. Nicht jede Axiomatik
einer Theorie, hier also der natürlichen
Zahlen, eignet sich für einen empirischen
Vergleich mit den im Experiment vorfindbaren
Gegebenheiten. Diese Schwierigkeit
kannte Graßman (1853) nicht. Er fand eine
empirische Struktur und deren theoretische
Entsprechung speziell für die Farben, die
später als Graßmannstruktur kanonisiert
worden ist, weil sie auch in einer unübersehbare
Vielfalt von empirischen Strukturen
andere Sachbereichen zu beobachten
ist. Die psychologische Forschung hat historisch
hier ausnahmsweise gegenüber der
anderer Disziplinen die Vorreiterstellung
eingenommen.
Addition von Mehrkomponentigem
Der Intention, Farbmischung durch arithmetische
Addition zu repräsentieren steht
zunächst der Umstand entgegen, daß
Farbmischung eine Angelegenheit von drei
Komponenten ist. Andererseits ist in der
Mechanik das Zusammenwirken mechanischer
Kräfte in der Ebene ist durch Addition
repräsentierbar. Diese „Vektoraddition“
ist weiter nichts als die komponentenweise
Ausführung der gewöhnlichen
Arithmetik. Ein Beispiel dafür liefert das
Kräfteparallelogramm. Ein gewichtigeres
Hindernis für die Benutzung der gewünschten
Repräsentation stellt der Sachverhalt
dar, daß die Mischungskomponenten
als Energiewerte stets positiv