Einführung in die Psychologie, Farbwahrnehmung - am Institut für ...

Fingerrechnen
Dieser Einbettungsvorgang ist jedem von
uns aus seiner Grundschulerfahrung geläufig,
wenn er sich an das Fingerrechnen
erinnert. Eine Grundmenge von Fingern
und die Operation des Zusammenfassens
mehrerer Finger besitzt Halbgruppenstruktur.
Dieses Zusammenfassen als arithmetische
Addition zu repräsentieren ist nur
beschränkt möglich. Auch wenn man ausdrücklich
drei Finger in einem Gegebenen
Zusammenhang als invers erklärt, erbringt
deren Zusammenfügung mit beispielsweise
einem Finger kein Ergebnis. Die Lehrerin
sagte damals, das Abziehen der drei von
einem „geht nicht“. Wir Schüler nahmen
das hin, ohne nach dem Warum zu fragen,
Erst in den oberen Klassen haben wir etwas
von negativen Zahlen und den zugehörigen
Sachverhalten, beispielsweise Geldschulden,
erfahren.
Kanonische Einbettung
Die Bemühungen unserer Grundschullehrerin
um das Fingerrechnen waren nicht
vergeblich, weil sich das Relativ bestehend
aus Fingern und ihrer Zusammenfügung in
eine empirische Gruppe ebenso einbetten
läßt, wie die Halbgruppe der natürlichen
Zahlen mit + in die Gruppe der ganzen
Zahlen mit +. Das geschieht dadurch, daß
man das kartesische Produkt der Menge
der natürlichen zahlen mit sich selbst bildet.
Man erhält die Menge von Paaren natürlicher
Zahlen und richtet das Augenmerk
auf die Differenz bei jedem Paar.
Paare mit gleicher Differenz in einer Richtung
(z. B. erster Paarling größer als der
zweite) erklärt man als neue Grundmenge.
Sie bildet mir einer neu zu definierenden
Addition der Differenzen weiterhin eine
Halbgruppe. Fügt man die Differenzen der
anderen Art (jetzt erster Paarling kleiner
als der zweite) hinzu, so besitzt jedes Element
der Ausgangsmenge nun ein inverses
Element, die Paare mit gleichen Paarlingen
sind neutrale Elmente. Will man, daß jedes
Element nur einmal vorkommt, so betrachtet
man nicht die eben konstruierte Menge
der Paare, sondern deren Äquivalenzklassen,
die jede stets gleiche Differenzen
enthält. Der Prozeß wird kanonische Einbettung
genannt.
Hölders Beitrag von 1901
Der Beitrag von Otto Hölder bestand darin,
daß er im einzelnen untersucht hat, welche
Halbgruppen sich in Gruppen einbetten
lassen. Dabei stieß er unter anderem auf
die sogenannte Aufhebungseigenschaft. Im
Zusammenhang des Farbensehens formuliert
verlangt sie: Sind zwei Farbreize metamer
(visuell nicht unterscheidbar) dann
bleiben sie metamer, wenn man zu beiden
den gleiche dritten Farbreiz hinzumischt.
Es fügt sich, daß Hermann Graßmann bereits
1853 diese Aussage experimentell
untersucht und für das Farbensehen bestätigt
gefunden hat. Sie heißt heute das zweite
Graßmannsche Gesetz. Grassman hat
darüber hinaus erkannt, daß dies die kritische
empirische Gegebenheit ist, die eine
Einbettung der Farbreize A und ihrer Mischung
in eine Gruppe gestatten.
Historische Anmerkung
Wenngleich uns der Durchbruch Hölders
(1901) im Verständnis der Messung vor
gut einhundert Jahren als ein lange zurückliegendes
Ereignis anmuten mag, fand er
doch vergleichsweise spät statt. Die Reduktion
der Elementargeometrie auf eine
Axiomatik, aus der sämtliche Lehrsätze
ableitbar sind, wurde von Euklid etwa 350
v. Chr. in Anknüpfung an eine lange, bis
nach Altägypten reichende Tradition geleistet.
Die Verbindung von Geometrie und
Arithmetik gelang Descartes im siebzehnten
Jahrhundert in der Entwicklung der
analytischen Geometrie. Trotzdem dauerte
es bis zum Ausgang des neunzehnten Jahrhunderts,
ehe eine der euklidischen geometrischen
Axiomatik entsprechende für
die natürlichen Zahlen durch Peano – nach
Vorarbeiten von Frege und Dedekind –