Einführung in die Psychologie, Farbwahrnehmung - am Institut für ...

2. * besitzt als skalare Multiplikation
die Eigenschaften:
für alle a, b aus A und t,u aus +
gilt:
t*(u * a) = (t u) * a
t * (a b ) = ( t* a ) ( t * b )
(t + u ) * a = ( t* a ) ( u * a )
1 * a = a
3. ~ ist eine Äquivalenzrelation auf A.
4. Aufhebungseigenschaft bezüglich :
Für alle a,b,c aus A gilt
a ~ b g. d. w. a c ~ b c.
Aufhebungseigenschaft bezüglich * :
Für alle a,b aus A und r aus + gilt
wenn a ~ b, dann r * a ~ r * b.
5. Trichromatizität: Für alle a1, a2,a3, a4
aus A existieren positive Zahlen ri, ui, i =
0,1,2,3 so daß ri ui für mindestens ein i,
und daß für i = 0 ...3
ri * ai ~ ui * ai.
Die Summation bezieht sich auf .
Für alle a1, a2,a3 aus A existieren positive
Zahlen ri, ui, i = 0,1,2,3 so daß wenn für i
= 0 ...2
ri * ai ~ ui * ai,
dann ri = ui für i = 0,1,2.
Die Summation bezieht sich auf .
Von großer praktischer Bedeutung ist die
Nr. 5. Sie wurde von Helmholtz die „Dimensionsthatsache“
genannt. Weil die Dosierungen
von vier (oder mehr) Mischfarben
zur Herstellung der Metamerie mit
einer vorgegebenen Farbe nicht zu eindeutigen
vier Dosierungswerten führen, ist
damit gezeigt, daß vier Dimensionen mindestens
eine Dimension zu viel sind. Weil
drei Mischfarben zu eindeutigen Dosierungswerten
führen, sind (für Normalsichtige)
drei Dimensionen die richtige Anzahl.
Der Raum der Farben
Der Begriff des Raumes ist synonym zu
dem der Struktur. Es handelt sich um eine
Menge mit einer darauf erklärten Abbildung.
Ein Beispiel ist der Wahrscheinlichkeitsraum.
Räume im anschaulichen
Sinne sind geometrische Strukturen.
Die Grundmenge kann dabei aus Orten
bestehen, die Operation z. B. eine Bewegung
oder ein Wechsel des Bezugssystems
sein. Eine uns geläufige Bewegung ist z. B.
die euklidische, die Längen unverändert
läßt und deshalb Ortsverlagerung von Größenveränderung
zu trennen erlaubt.
Farben als räumliche Repräsentation der
Graßmannstruktur: Repräsentationssatz
Ist eine Graßmannstruktur gegeben, so läßt
sie sich geometrisch darstellen, oder geometrisch
repräsentieren. Dieser Umstand
ist beweisbar und wird deshalb als Satz
wiedergegeben. Repräsentationssätze haben
ein bestimmtes Format. Sie konstatieren,
daß unter gewissen Voraussetzungen
eine qualitative Struktur homomorph in
eine numerische Struktur abgebildet werden
könne. Ein Homomorphismus bildet
nicht allein die Mengenelemente in Zahlentupel
ab sondern ebenfalls die qualitativen
Relationen und Funktionen in entsprechende
numerische Relationen und
Funktionen. Wenn die qualitativen Voraussetzungen
in Laboratoriumsexperimenten
erfüllt sind, bleibt die Bedeutung des Satzes
nicht aufs Mathematische beschränkt,
sondern beschreibt ein Naturgesetz
.
Satz 1: Sei < A , , *, ~ > eine Graßmannstruktur,
dann existiert ein Vektorraum
V über , ein konvexer Kegel C V
und eine Funktion von A auf C, so daß
für alle a, b aus A, r aus + und v aus C
gilt:
( a b ) = ( a ) + ( b );
(r * a) = r . ( a );
a ~ b g.d.w. (a ) = ( b);
es existieren c, d aus A, so daß
v = (c ) - ( d ).
Im wesentlichen wird ausgesagt, daß die
durch die Graßmannstruktur oben beschriebene
Geometrie durch eine gewöhnliche
m-dimensionale analytische
Geometrie darstellbar ist. Der Bildraum ist